九年级数学旋转和旋转变换培优教程二

九年级数学旋转和旋转变换培优教程二考点·方法·破译1．能利用旋转性质进行开放探究；2．能运用类比推理思想进行开放探究；3．学会在旋转变换中寻找不变几何关系。经典·考题·赏板【例１】（山西）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC.试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG,你认为（1）的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。【解法指导】解：（1）答：AE⊥GC.证明：延长GC交AE于点H.在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°∴AE⊥GC（2）答：成立证明：延长AE和GC相交于点H.在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG.∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90°∴∠1=∠2=90°-∠3∴△ADE≌△CDG∴∠5=∠4.又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°∴∠6=∠7.又∵∠AEB+∠6=90°,∠AEB=∠CEH∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC【变式题组】1．（烟台）如图，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，∠BCD的平分线于点E,连接BE.（1）求证：BC=CD（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG。求证：CD垂直平分EG。（3）延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点。【例２】（台州）如图1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°。△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值．【解法指导】（1）①=②＞（2）＞证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD，则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．∵30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（3）∠CDF=15°，=【变式题组】2．填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F.（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=_____；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB=_____；（2）如图③，若∠BAC=，则∠AFB=_____（用含的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤，在图④中，∠AFB=与∠的数量关系是______；在图⑤中，∠AFB=与∠的数量关系是______，请你任选其中一个结论证明。【例３】已知将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转（0°＜＜90°），在旋转的过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N,分别过M、N作直线AB的垂线垂足为G、H。当=30°时，（如图2），求证：AG=DH；当=60°时，（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的结论，并说明理由；当0°＜＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论并根据图4说明理由。【解法指导】本题属于旋转类动态问题，是开放探究题，在旋转变化中，始终有两组三角形全等（或相似）。（1）证明：∵∠A=∠ADM=30°，

∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，

∴AG=AD.

∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，

∴CB=CD.

∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，

∴DH=DB.

∵AD=DB，

∴AG=DH.

(2)解：结论成立.

∵∠ADM=60°，

∴∠NDB=90°-60°=30°.

∴∠MAD=∠NDB.

又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，

∴△MAD≌△NDB.

∴MA=ND.

∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，

∴Rt△MAG≌Rt△NDH.

∴AG=DH.

(3)解：结论成立.在Rt△AMG中，∠A=30°，

∴∠AMG＝60°＝∠B.

又∠AGM=∠NHB=90°，

∴△AGM∽△NHB.

∴.

∵∠MDG=α，

∴∠DMG=90°-α=∠NDH.

又∠MGD=∠DHN=90°，

∴Rt△MGD∽Rt△DHN.

∴

∴

∴∴AG=DH.【变式题组】3．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【例４】如图①，两个图形（与比2：1），∠BAD=120°，对角线均在轴上，抛物线y=x2经过AD中点M．

（1）填空：A点坐标为_____，D点坐标为______；（2）操作：如图②，固定，将绕点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长E交AD于P，延长H交CD于Q．探究1：在旋转过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α值；若不存在，说明理由；探究2：设AP=x，四边形OPDQ面积s，求s与x之间函数关系式，并指出x取值范围．【解法指导】（1）A（0，2），D（，0）．（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．理由如下：∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°∴菱形EFGH的边长EF=AD=2，∠FEO=60°∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP又∵EF=AM=2∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，设TQ=y，则：PR=AP•sin60°=，OR=OA﹣AR=2﹣AP•cos60°=2﹣x，OT=OD﹣DT=﹣TQ•tan60°=2﹣y∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT∴Rt△POR∽Rt△QOT∴∴，化简得：y=∴S=S△OPD+S△ODQ=×2（2﹣x）+×2×=2﹣x+．即S与x的函数关系式为：S=2﹣x+．（0＜x＜4）【变式题组】4．（宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q．（1）四边形OA′B′C′的形状是________矩形，当α=90°时，的值是________；（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.（武汉选拔赛）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S则BE的长为（ ）A．2 B．3 C． D．2演练巩固·反馈提高01．（茂名）如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（ ）A． 点O1的坐标是（1,0） B．点C1的坐标是（2，-1） C．四边形O1BA1B1是矩形 D．若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是302．（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0）.月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（ ）A．（2,2）B．（2,4） C． （4,2） D．（1,2）03．（包头）如图，已知△ACB与△的DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小的锐角为30°，将两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为______cm（保留根号）.04．（河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

（1）①当α______度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD长为______；②当α______度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD长为______；（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.培优升级·奥赛检测01．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个02．（武汉选拔赛）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3.则PC所能达到的最大值为（ ）A． B． C． 5 D．603．（常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．04．（随州）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使