2025届深圳某中学九年级上学期开学数学试卷（含答案）

广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校九年级

（上）开学数学试卷

一.选择题（共8小题）

2.（3分）3是下列哪个不等式的解（）

A.x+3>0B.x+3<0C.x-3>0D.x-5>0

3.(3分)对多项式47-1进行因式分解，正确的是()

A.4.V-1=(x+1)(X-1)B.4?-1=(2x+l)(2x-1)

2

C.4x2-1=(4x+i)(4X-i)D.4X-1=(l+2x)(1-2x)

4.(3分)分式二-与上互为相反数，则x的值为()

1-xX

A.1B.-1C.-2D.-3

5.(3分)在△A3C中，ZC=90°,ZB=2ZA()

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.（3分）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强p（ZPa）与汽缸内气体的体积V（租/"-6。1工」.通

PV

过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少20%时（相/）,则可列方程为（）

A60006000R60006000

0.8xxex0.8x10

60006000D60006000

r1.2xx=15x1.2x=15

7.（3分）如图，E,尸分别是平行四边形ABC。的边AB,CD上的点，8尸与CE相交于点。，若S^APD

=a,S^BQC=b,SCJABCD=C,则阴影部分的面积为（）

第1页（共22页）

C.c-la-bD.2〃+Z?

8.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=3,D为BC边上一点,£为AC边上一动点，连接

)

C.3D.M

二.填空题（共5小题）

9.（3分）分解因式：孙2-J?y=.

2

10.（3分）化简（工「_]+注的结果是__________.

x-33-x，2x

11.（3分）如图，直线y=ax+b与直线y=mx+〃的图象如图所示，则关于x的不等式wtr+〃>ax+6的解集

12.（3分）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BC=10cm,动点P、。分别从A、C同时出发，点。以

2cm/s的速度由C向3运动，其中一动点到达终点时，设运动时间为/秒.当点尸、。与四边形ABCD

的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，，=.

第2页（共22页）

ZA=45°,CD为AB边上的高，CD=6,Pi，尸2分别为点尸关

于直线AB,AC的对称点，连接PP2,则线段尸户2长度的取值范围是

14.解方程：(1)工，;

x+1x-2

⑵李，2

二7

15.先因式分解，再计算求值:

4xGn-2)-3x(m-2)2,其中x=1.5,m=6.

16.如图，在边长为1的小正方形方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上.将AABC使点A变换为点

A'

(1)请在图中画出平移后的△AB'C；

(2)求△A'B'C的面积.

17.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工,

具体信息如下:

第3页(共22页)

信息一

工程队每天施工面积(单位：m2)每天施工费用(单位：元)

甲x+2003000

乙X2000

信息二

甲工程队施工1500〃，所需天数与乙工程队施工900/712所需天数相等.

(1)求尤的值；

(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，则乙

工程队至少施工多少天.

18.如图直线：刀=息+6经过点A(-6,0),B(-1,5).

(1)求直线AB的表达式；

(2)若直线”=-2x-3与直线AB相交于点M,求点M的坐标；

(3)根据图象，直接写出关于x的不等式履+b>-2x-3》。的解集.

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.

(1)理解并填空：

①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？(填“是”或“不是”)

②若某三角形的三边长分别为1、炉、2,则该三角形(填“是”或“不是”)奇异三角形.

(2)探究：在RtaABC,两边长分别是a、c,且“2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形？

请说明理由.

20.【特例感知】

(1)如图1,△A03和△COD是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,点。在8。的延长线上,

第4页(共22页)

连接A£>,线段AO与BC的数量关系是;

【类比迁移】

(2)如图2,将图1中的△CO。绕着点。顺时针旋转a(0°<a<90°),那么第(1),证明你的结

论；如果不成立

【方法运用】

(3)如图3,若AB=8,点C是线段AB外一动点向，连接BC.

①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,连接AD,则AD的最大值是；

②若以BC为斜边作(B,C,。三点按顺时针排列)，ZCDB=90°,连接AO,直接写出4。

的值.

第5页(共22页)

2024-2025学年广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校九年级

（上）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

,M.©

C.D,念）

【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B.既是轴对称图形，故本选项符合题意；

C.是轴对称图形，故本选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后和原图形重合.

2.（3分）3是下列哪个不等式的解（）

A.x+3>0B.x+3<0C.x-3>0D.%-5>0

【分析】先解出不等式的解集，即可作出判断.

【解答】解：A：x+3>0,x>-3.

B：x+3V0,x<-8.

Cix-3>0,x>3.

D：x-5>0,x>7.

故选：A.

【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的

第6页（共22页）

方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或

除以同一个负数不等号的方向改变.

3.(3分)对多项式47-1进行因式分解，正确的是()

A.4.x2-1=(x+1)(x-1)B.4X2-1=(2x+l)(2x-1)

C.4X2-1=(4x+l)(4x-1)D.4/-1=(l+2x)(1-2x)

【分析】利用平方差公式对各选项进行判断.

【解答】解：4?-2=(2x+l)(5x7).

故选：B.

【点评】本题考查了因式分解-公式法：灵活运用平方差公式是解决问题的关键.

4.(3分)分式工与2互为相反数，则x的值为()

1-xX

A.1B.-1C.-2D.-3

【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可.

【解答】解：由题意得上总加，

1-xX

去分母3x+4(1-x)=0,

解得x=-4.

经检验得x=-2是原方程的解.

故选：C.

【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键.结果要检验.

5.(3分)在△A2C中，ZC=90°,ZB=2ZA()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】直接利用三角形内角和定理即可得到结论.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,

AZA+ZB=90°,

"：ZB=2ZA,

：.ZA+ZB=ZA+2ZA=90°,

AZA=30°,

故选：B.

【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题关

键.

第7页(共22页)

6000

6.（3分）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强p（%Pa）与汽缸内气体的体积V（m/）p=.通

过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少20%时（加/）,则可列方程为（）

A60006000B.60006000

=15

.0.8x—x0.8x

C.60006000D.6000$000

=15

1.2xxx1.2x

【分析】设加压前汽缸内气体的体积为无加/,则对汽缸顶部的活塞加压后气体的体积为0.8x根据

已知关系式和“气体对气缸壁所产生的压强增加15止列出方程，此题得解.

【解答】解：根据题意，得600。16000

0.8xX10

故选：A.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是

解决问题的关键.

7.（3分）如图，E,尸分别是平行四边形ABC。的边AB,CO上的点，B/与CE相交于点。若SAAPD

D.2a+b

【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形即C的面积，连接E、P两点，由三

角形的面积公式我们可以推出SAEFQ=SABCQ，SAEFD=S^ADF,所以SAEFG=SABCQS&EFP=SAADF,因

此可以推出四边形EPFQ的面积就是S^APD+S^BQC.再根据面积差可得答案.

【解答】解：连接E、F两点，

S口ABCD=DC*EM=c，

：.S^DEC=1C,

2

■：四边形ABCD是平行四边形,

.'.AB//CD,

A£FC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等,

•,S/\EFC--S/\BCF，

第8页（共22页）

:，SAEFQ=SABCQ，

同理：SAEFD=SAADF,

••SAEFP=S/xADP，

S/\APD=CIJSABQC=b,

:.S四边形EPFQ=a+b，

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关

系.

8.（3分）如图，在△A2C中，ZACB^90°,BC=3,D为BC边上一点,E为AC边上一动点，连接

DE,连接BF,则BF的最小值为（）

-------------

CE八

A.1B.2C.3D.百

【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM,连接EM,证明△BDF之△MDE（SAS）,可得

BF=ME,故当ME最小时，最小，此时ME_L4C,过M■作MN_LBC于N,即可得ME=NC=2,

从而知BF最小值是2.

【解答】解：以BD为边,在BD右侧作等边三角形如图：

,?ABDM和是等边三角形,

第9页（共22页）

：.DE=DF,DM=BD,

：.ZBDM-ZMDF=ZFDE-ZMDF,即/BDF=/MDE,

：.4BDFqAMDE(SAS),

：.BF=ME,

...当ME最小时，3P最小，如图：

过M作MN_LBC于N,

VBC=3,0)=1,

：.BD=2,

：.ND=1BD=7,

2

而/MNC=NNCE=/CEM=90°,

四边形MNCE是矩形，

：.ME=NC=2,

而BF=ME,

尸最小值是2.

故选：B.

【点评】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造

全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值.

二.填空题(共5小题)

9.(3分)分解因式：xy2-Wy=xy因＞-x).

【分析】直接提取公因即可.

【解答】解：xy1-^y=xy(y-x).

故答案为：xy(y-x).

【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有

直接提公因式法，公式法，十字相乘法等.

第10页(共22页)

2

10.（3分）化简iX“二_）一:至'的结果是2X..

3-x'2x

【分析】先通分化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解.

2c

【解答】解：二①

x-33-x73x

_X2-912x

x-8"x+3

='；x+6；'tx-3）.3x

x-3'x+3

=2x,

故答案为：3x.

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

11.（3分）如图，直线y=ox+6与直线y=wu+〃的图象如图所示，则关于x的不等式的+〃＞办+6的解集

【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题.

【解答】解：由函数图象可知，

当了＞-3时，一次函数＞=»«+〃的图象在一次函数y=cix+6图象的上方，

所以关于x的不等式mx+n＞ax+b的解集为：尤＞-3.

故答案为：x＞-3.

【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，熟知一次函数与一元一次不等

式之间的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键.

12.（3分）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,BC=10cm,动点尸、。分别从A、C同时出发，点。以

2cm/s的速度由C向8运动，其中一动点到达终点时，设运动时间为/秒.当点尸、。与四边形

的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，f=也或2或4.

-3

第11页（共22页）

【分析】设/秒后四边形A2QP是平行四边形，由题意得CQ=2tcm,由AP=B。列方程求

解即可；当四边形。CQ尸是平行四边形，由题意得CQ=2tcm,由尸。=CQ或尸。=8。列

方程求解即可.

【解答】解：设f秒后四边形ABQP是平行四边形，

由题意得，AP—tcm,

则BQ=(10-2力cm,

'：AD//BC,

.,.当AP=BQ时，四边形ABQ尸是平行四边形，

/./=10-26

解得，3,

4

即型秒时四边形A8QP是平行四边形；

3

当四边形DCQP是平行四边形，

则PD=(6-t)cm,

'：AD//BC,

：.当尸。=C。时，四边形DCQP是平行四边形，

/-4r=6-1,

解得t=1,

当尸。=BQ时，10-6r=6-r,

解得t=4,

型或2或4秒时，

7

故答案为：蛇或2或4.

5

【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的判定方法，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

13.(3分)如图，在三角形△ABC中，ZA=45°,CO为A3边上的高，CZ)=6,Pi,七分别为点尸关

第12页(共22页)

于直线AB,AC的对称点，连接尸1尸2,则线段PP2长度的取值范围是2等WP1P2W12.

作AHLBC于H.证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出PiP2=

：~PA,求出必的取值范围即可解决问题.

【解答】解：如图，连接4Pi，AP,AP?,作AH_LBC于

VP3.尸2分别为点P关于直线AB,AC的对称点,

：.AP=API=AP6,ZPAB=ZBAPI，ZPAC=ZCAP2,

VZBAC=45°,

/P5Ap2是等腰直角三角形,

；.尸1尸7=?"2=~PA.

\'CD±AB,

：.ZADC=90°,ZDAC=ZDCA=45°,

J.AD—DC=6,

：.AC=6y/5>AB,

VAB=8,

:-BD=2,叱=而可才=«^VI5,

•：SAABC=^BC'AH^X,

27

：.AH=8^£=.1^710,

4V105

12?/T0<c2V2,

5

第13页（共22页）

二丝叵WP1P2W12.

4

故答案为经巨WPP8W12.

5

【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得△AMN是等腰

直角三角形.

三.解答题(共7小题)

14.解方程：(1)

x+1x-2

【分析】(1)方程两边同乘(x+1)(X-2),将分式方程化为整式方程求解即可;

(2)方程两边同乘x-3,将分式方程化为整式方程求解即可.

【解答】解：(1)

x+1x-2

方程两边同乘(x+1)(X-3),得x-2=4(x+6),

解得x=-2,

检验：当尤=-2时，(x+2)(x-2)#0,

所以分式方程的解是x=-4；

方程可化为〜二，

x-3°x-3

方程两边同乘X-3,得7-X+3(X-3)=-2,

解得x=3,

2

检验：当x=上■时，X-3W7,

2

所以分式方程的解是X=g.

2

【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

15.先因式分解，再计算求值：

4x(m-2)-3尤Cm-2)2,其中x=1.5,m=6.

【分析】先提取m-2后代入求值即可；

【解答】解：原式=(m-2)[4x-6x(m-2)]=4X[3-4.5X7]=-48.

【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够确定该多项式的公因式，难度不大.

第14页(共22页)

16.如图，在边长为1的小正方形方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上.将△A2C使点A变换为点

A

(1)请在图中画出平移后的△ABC；

(2)求△AbC的面积.

【分析】(1)根据点A与点A'的位置变换确定平移的方向与距离，再利用网格特点作出2、C的对应

点B'、C'即可得到结论；

(2)然后利用矩形的面积减去直角三角形的面积去计算△A8C的面积.

【解答】解：(1)如图所示，△A9C即为所求；

【点评】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的

方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.也考查了三角形的面积.

17.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工,

具体信息如下:

信息一

第15页(共22页)

工程队每天施工面积(单位：加2)每天施工费用(单位：元)

甲x+2003000

乙X2000

信息二

甲工程队施工1500»?所需天数与乙工程队施工900"，所需天数相等.

(1)求尤的值；

(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，则乙

工程队至少施工多少天.

【分析】(1)根据甲工程队施工1500"，所需天数与乙工程队施工900n?所需天数相等，列出分式方程，

解方程并检验，即可求解；

(2)设乙工程队单独施工根天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解.

【解答】解：(1)根据题意得：且L

x+200x

解得：x=300,

经检验，x=300是所列方程的解，

.♦.X的值是300；

(2)设乙工程队单独施工7"天，2000/71+3000(20-m)W45000,

解得：利》15,

答：乙工程队至少施工15天.

【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找到等量关系是关键.

18.如图直线：yi=fcv+8经过点A(-6,0),B(-1,5).

(1)求直线AB的表达式；

(2)若直线＞2=-2x-3与直线AB相交于点M,求点M的坐标；

(3)根据图象，直接写出关于彳的不等式"+匕＞-2%-320的解集.

第16页(共22页)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)两解析式联立成方程组，解方程组即可求解；

(3)先求出直线”=-2x-3与x轴的交点，然后根据图象即可写出不等式组的解集.

【解答】解:(1)经过点A(-6,6),5).

.f-6k+b=6

1-k+b=5

解得，

lb=4

直线AB的表达式为yi=x+6；

(2)联立了x+3,

ly=-2x-3

解得卜=弋

ly=3

.♦.点M的坐标为(-3,3)；

(3)把y=0代入y=-2x-5,

可得-2x-3=6,

解得x=-1.5,

观察图象，关于x的不等式kx+b>-lx-3^0的解集为-6c尤W-1.5.

【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点

等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键.

19.阅读下面的材料，然后解答问题：

我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.

(1)理解并填空：

①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？是(填“是”或“不是”)

②若某三角形的三边长分别为1、明、2,则该三角形是(填“是”或“不是”)奇异三角形.

(2)探究：在Rt^ABC,两边长分别是小c,且/=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形？

第17页(共22页)

请说明理由.

【分析】(1)①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断；

②根据奇异三角形的定义判断；

(2)分c为斜边、人为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断.

【解答】解：(1)①设等边三角形的边长为a,则/+/=5/,

等边三角形一定是奇异三角形，

故答案为：是；

@V18+(77)2=8,2X2，=8,

A18+(J7)2=8X22,

该三角形是奇异三角形，

故答案为：是；

(2)当c为斜边时，则。7=,2-42=10。-50=50,

则c^+b2^2c4,d+Jws/A

.,.RtAABC不是奇异三角形；

当6为斜边时，b2=a1+c2=150,

贝1J有/+人4=50+150=200=2,2,

RtAABC是奇异三角形，

答：当c为斜边时，Rt^ABC不是奇异三角形，RtZXABC是奇异三角形.

【点评】本题考查的是勾股定理、奇异三角形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,

斜边长为c,那么a2+b2=c2.

20.【特例感知】

(1)如图1,△AOB和△COO是等腰直角三角形，/AOB=/COD=90°,点。在BO的延长线上，

连接AD,线段AD与BC的数量关系是AD=BC；

【类比迁移】

(2)如图2,将图1中的△COD绕着点。顺时针旋转a(00<a<90°),那么第(1),证明你的结

论；如果不成立

【方法运用】

(3)如图3,若AB=8,点C是线段AB外一动点F，连接BC.

①若将C2绕点C逆时针旋转90°得到O),连接A。，则AU的最大值是8+3;

②若以BC为斜边作RtZXBC。(8,C,。三点按顺时针排列)，ZCDB=90°,连接A。，直接写出AO

第18页(共22页)

的值.

【分析】(1)证明△AOD四/SBOC(SAS),即可得出结论；

(2)利用旋转性质可证得/BOC=/AOD,再证明△AOOg^BOC(SAS),即可得出结论；

(3)①过点A作A7UAB,使AT=AB,连接BT,AD,DT,BD,先证得△ABCs△窃。，得出。丁=

3-76＞即点。的运动轨迹是以T为圆心，3«为半径的圆，当。在AT的延长线上时，AO的值最大,

最大值为8+3灰；

②如图4,在AB上方作/4BT=30°,过点A作AT_LBT于点T,连接AD、BD、DT,过点T作次LL

AD于点H,可证得△BACsz\B"),得出QTMICMESXBXIGMH,再求出AH,即可求得

222

AD；如图5,在下方作NABE=30°,过点A作AEL2E于点E,连接。E,可证得△2ACsZ\BrD,

得出。£=良，再由勾股定理即可求得AD.

2

【解答】解：(1)AD=BC.理由如下：

如图1,•.•△492和△COD是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OD=OC,

在△AOD和△20C中，

'OA=OB

,ZA0D=ZBOC«90,-

OD=OC