2025高考数学大一轮复习讲义-抛物线

§8.8抛物线

【课标要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单几何性质（范围、

对称性、顶点、离心率）3了解抛物线的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点用的距离_______的点的轨迹叫做抛物

线.点尸叫做抛物线的直线I叫做抛物线的

注意：定点F不在定直线I上,否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线1的

一条直线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2二-2py(p>0)

l

图形XV:卜,

z—

范围

焦点

准线方程

对称轴

顶点

离心率e=__—

【常用结论】

1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于功.

2.抛物线产=2Px⑦>0）上一点P（xo,%）到焦点造,0）的距离|尸引=冲+§,也称为抛物线的

焦半径.

3.设抛物线方程为/=2Px（p>0），准线尤=-?与x轴相交于点P,过焦点喔，0）的直线I

与抛物线相交于A（xi,_yi）,8（X2,竺）两点，O为原点,a为AB与对称轴正向所成的角，则有

如下的焦点弦长公式：\AB\=-\j1+l^\xi-x2\,\AB\-1-y2\,\AB\-xx+xi+p,\AB\

=J^.

sin2a.

【自主诊断】

1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

⑴平面内与一个定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（）

（2）方程y=4f表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（）

（3）标准方程丫2=28。>0）中的p的几何意义是焦点到准线的距离.（）

（4）焦点在y轴上的抛物线的标准方程/=±2/?（/?>0）,也可以写成>=办2,这与以前学习的二

次函数的解析式是一致的.（）

2.（选择性必修第一册P133T2改编）抛物线-=%的准线方程为（）

11

A•产飞B-x=-16

c-y=i6D.X=L

3.（选择性必修第一册P133T3改编）抛物线丁=2明仍>0）上一点M（3,y）到焦点厂的距离|四下|

=4,则抛物线的方程为（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x

4.若抛物线/=2内Q0）上的点到焦点的最短距离为1,则p的值为（）

A.0B.1C.2D.3

■探究核心题型

题型一抛物线的定义及应用

例1（1）（2024.南昌模拟）设圆o：X2+y2=4与y轴交于A,B两点（A在B的上方）,过点B作

圆0的切线I,若动点P到A的距离等于P至I」/的距离,则动点P的轨迹方程为（）

A.x2=8yB.x2=16y

C.y2=8xD.y2=16尤

⑵已知点"(20,40)不在抛物线C：y2=2px(p>0)上,抛物线C的焦点为E若对于抛物线上的

一点P,\PM\+|PR的最小值为41,则p的值等于.

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简

捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

跟踪训练1⑴已知抛物线y=加(心0)上的点(比,2)到该抛物线焦点F的距离为手，则相等于

()

A.4B.3C."D.g

⑵已知点P为抛物线/=-4A-上的动点，设点尸到/：x=1的距离为小,到直线x+y-4=

0的距禺为，则"1+心的最小值是()

A.1B.^2^C.2D.y/2

题型二抛物线的标准方程

例2⑴抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为.

(2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，点A,B在抛物线上，且直线AB过点从J,0),尸为C

的焦点，若照I=2\FB\=6,则抛物线C的标准方程为.

跟踪训练2(1)(2023・临汾统考)抛物线C的焦点尸关于其准线对称的点为(0,-9),则抛物线

C的方程为()

A.x2=6yB.x2二12y

C./二18yD.x2二36y

(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上,\PF\=|,

若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为

题型三抛物线的几何性质

例3(1)(2023•兰州一中模拟)已知圆/+产=1与抛物线y?=2内。>。)交于A,8两点，与抛物

线的准线交于C,。两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于()

A当B坐C*D芈

⑵(多选)已知抛物线C：y2=2Px30)的焦点为尸，直线/的斜率为S且经过点F,与抛物线

C交于A,8两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点。.若|Af]=8,则以下结论正

确的是()

A.p=4B.DF-FA

C.\BD\=2\BF\D.|BF|=4

跟踪训练3(1)(2021.新高考全国I)已知O为坐标原点，抛物线C：9=2.30)的焦点为F,

P为C上一点,PF与X轴垂直，。为x轴上一点，且PQ±OP.^\FQ\=6,则C的准线方程

为.

(2)已知F是抛物线/=16x的焦点，加是抛物线上一点,

FM的延长线交y轴于点N,若3前=2MN,则|NF|=

§8.8抛物线答案

落实主干知识

知识梳理

1.相等焦点准线

2go)(4,0)(0,与(0,龙=-”老

*2y^2x轴y轴

(0,0)1

自主诊断

1.(1)X(2)X(3)V(4)V

2.A3.B4.C

探究核心题型

例1⑴A[因为圆O：/+尸=4与y轴交于A,8两点(A在B的上方),

所以A(0,2),B(Q,-2),

又因为过点8作圆。的切线/,

所以切线I的方程为y=-2,

因为动点尸到A的距离等于尸到/的距离，

所以动点尸的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2),准线为y=-2,

所以P的轨迹方程为/=8y.]

(2)42或22

解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点尸作抛物线准线的垂线，垂足为。，

则|「网=|尸。|,

\PM\+\PF\^\PM\+\PD\.

当点M,P,Z)三点共线时，

|PM|+|PF|的值最小.

由最小值为41,得20+5=41,

解得p=42；

当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点尸，M,尸三点共线时，IPM+F日的值最小.

由最小值为41,

得@。2+(20一好=41,

解得p=22或p=58.

当p=58时，/=116尤，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.

综上，p=42或p=22.

跟踪训练1(1)D

(2)B[直线l-.x=\为抛物线尸=—4苫的准线，点尸到准线的距离等于点P到焦点尸的距离，

过焦点/作直线x+y—4=0的垂线，

如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，小+42的值最小，为点F到直线x+y—4

=0的距离.

VF(-1,O),

1-1+0-415^2

・・(〃1十〃2)min——?」

16Q

例2(I)/=下或x2=一。

解析：点(3,—4)在第四象限，，抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为尸=2px(p>0)或炉=-2piy(pi>0).

把点(3,—4)的坐标分别代入尸=2℃和/=-2piy中，得(-4)2=2p3,32=-20r(—4),

169

则Ml2p=于2P尸不

二所求抛物线的标准方程为

,16.,9

y=f或/=一平

(2)/=8x

解析如图，过点A,B分别作抛物线C的准线/的垂线，垂足分别为4,Bi,

由抛物线的定义可知，\AAi\=\AF],\BBi\=\BF\,

\'2\FB\=\FA\,.,.2|BBi|=|A4i|,

则易知8为A。的中点.连接。8,

则OB为△£)河的中位线，

：.2\OB\=\FA\,：.\OB\=\FB\,

...点B在线段OF的垂直平分线上,

.•.点8的横坐标为宗

.,.下8|=?+占=3,.,.p=4,

抛物线C的标准方程为y2=8x.

跟踪训练2(1)B

(2)f=2y或x2=8y

例3(1)D[因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线/=

2夕x(/?>0)的通径，

因为圆的半径为1,抛物线的通径为20

所以有0+p2=l,解得0=善.]

(2)ABC[如图所示，分别过点4,8作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E,M,连接

EF.设抛物线C的准线交x轴于点P,则|PQ=p.因为直线/的斜率为小，所以其倾斜角为60。.

因为A£〃x轴，所以/E4尸=60。，

由抛物线的定义可知，\AE\=\AF\,

则△AEF为等边三角形，

所以/AEF=60。，

则/PEF=30。，

所以|AF|=|En=2|PF|=2p=8,得p=4,故A正确;

因为|AE|=|ER=2|Pfl，且PF//AE,

所以尸为的中点，则赤=函，故B正确；

因为NZME=60。，所以/ADE=30。，

所以|BZ)|=2|BM=2|BF|,故C正确；