人教版九年级数学上册专项复习：定弦定角构造辅助圆（解析版）

专题25定弦定角构造辅助圆

1.如图，点尸是正六边形ABCDfF内一点，AB=4,当NARB=90。时，连接PD,则线段尸。的

最小值是（）

A.2拒-2B.2岳-2C.6D.4A

【解答】解：AB=4,ZAPB=90°,

：.点尸在以为直径的圆弧上，

如图，取至的中点O,连接8,当O、尸、。三点共线时，PD有最小值,

连接BD,过点C作CH_L3£＞于点〃，

・点。为的中点，

.•Q=C®=O尸=4+2=2,

.•正六边形的每个内角为180。*(6-2)+6=120。,

CD=CB,

ZCBD=(180°-120°)4-2=30°,BD=2BH,

Z.OBD=120°-30°=90°.

在RtACBH中，CH=LCB=2,BH=26,

2

:.BD=4也,

在RtAOBD中，OD=百+(4圾2=2-713,

.•.20的最小值为前-0「=2万一2.

故选：B.

2.如图，在平面直角坐标系中，线段A5在x轴上移动，在运动过程中，直线y=gx上的点P如

果满足N4PB=30。，则点P为好点，当钻在x轴上运动到某一位置时，好点P的个数最多有(

)

C.3个D.4个

【解答】解：如图，当在x轴的正半轴时，构建等边三角形ABC,以C为圆心，以C4为半径

作辅助圆C,

直线>=氐与C的交点就是点P,

此时ZAPB=-ZACB=30°,

2

二好点产最多有两个，

同理在x轴的负半轴时，也存在两个好点P,

故选：B.

3.如图，5。是。的直径，BC=4垃,M、N是半圆上不与5、。重合的两点，且NMON=120。,

AABC的内心为七点，当点A在MN上从点Af运动到点N时，点石运动的路径长是()

A27r仆3兀-167r

A.——B.——C.——D.-----

3333

【解答】解：如图，连接BE、CE,

NS4c=90。，E是内心，

:.ZBEC=135。,

.•.点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是GH）,在（尸上取一点M',连接BM'、CM',

则4?'=180°-135°=45°,ZBPC=2ZM'=90°,

.•.ABCP是等腰直角三角形，

BC=4叵,

.-.PB=PC=4,

ZHPC=24HBe=ZNBC=-NNOC,同理NGPB=-NMOB,

22

ZHPC+ZGPB=1（NNOC+NMOB）=30°,

:.NGPH=60。,

.,.点E运动的路径长是=-7i,

1803

故选：B.

4.如图，在平面直角坐标系中，等边△。记的边QB在x轴正半轴上，点A（3,机），m>0,点D、

E分别从B、。以相同的速度向O、A运动，连接4）、BE,交点为P,M是y轴上一点，则9

的最小值是（）

.•.ZAO3=ZABD=60。，OB=AB,

点、D、石分别从6、O以相同的速度向O、A运动，

OE=BD

:.BD=OE,在△05£和Z\046中，\zBOE=ZABD=60°f

OB=AB

,\AOBE=ADAB(SAS),

-,ZOBE=ZBAD,

ZABE+ZBAD=ZABE+Z.OBE=ZABO=60°

/.ZAFB=180。-(ZABE+/BAD)=120°,

点尸是经过点A,B,尸的圆上的点，记圆心为。，在。上取一点N,使点N和点尸在弦Afi

的两侧，连接4V,BN,

/.ZANB=180。—ZAFB=60°,

连接。A,O'B,

ZAO'B=2ZANB=120°,

O'A=O'5,

.\ZABCf=ZBAOf,

ZABOr=1(180°-ZAO⑻=g(180°-120°)=30°,

ZABO=60°,

/.ZOBOr=90°,

AA05是等边三角形，A(3,m),

AB=OB=2x3,m=3^/3,

过点。作O'G_LAB,

BG=-AB=3,

2

在力△BO'G中，NA8O'=30°,BG=3,

O'B=———=—--=273，

cosZABO'cos30°

Or(6,2回

设M(0,ri),

O'M=小36+(〃-2扬2

FM=O'M-O'F=J36+5_2后_2^3,

只有〃一2若=0时，(〃一2g)2最小为0,即j36+("-2g)2最小为6.

当〃-26=0时，即：附=2旧时，最小，

的最小值=6-2#.

故选：D.

5.如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点。运动，同时动点P从点。出发向

点C运动，点E、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段?1F、

BE相交于点P,则线段DP的最小值为—括-1_.

【解答】解：如图:

・动点尸，E的速度相同，

:.DF=AE,

又•正方形ABCD中，AB=2,

:.AD=AB,

在AABE和AZMF中，

AB=AD

</BAE=ZADF,

AE=DF

:.MBE^ADAF,

:.ZABE^ZDAF.

ZABE+ZBEA=9(r,

:.ZFAD+ZBEA=9Q°,

:.ZAPB=90°,

■点尸在运动中保持NAPS=90。，

点尸的路径是一段以互为直径的弧，

设的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小，

AG^BG=-AB=\.

2

在RtABCG中，DG=7AG2+AD2=A/12+22=A/5,

PG=AG=1,

:.DP=DG-PG=j5-l

即线段DP的最小值为石-1,

故答案为：A/5-I.

6.如图，正方形ABCD,以3为圆心，3c长为半径画弧，点E在圆弧上，EH_LBC于点、H,P

是AEHB的内心，AB=2,则AP的最小值为710-72

DA

【解答】解：连接PE、PC、PB.

尸是A£HB的内心，NEHB=90。,

NEPB=180°-1（NHEB+NHBE）=135。，

BC=BE,ZPBC^ZPBE,PB=PB,

:ZBC="BE,

:.ZBPC=ZBPE=135°（定角），

二点尸的运动轨迹是圆弧，以3C为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO,连接OP、OA.

则以点。为圆心，OB为半径的。是点P的轨迹，

AP„AO-OP,

.•.当。、P、A共线时，上4的值最小，

作于易知08=也，OF=BF=1,OA^^+32=A/10,

二%的最小值为何-五，

故答案为两-0.

7.如图，在矩形A3CO中，AB=a,3C=b,点P是3c上的一个动点，连接AP,把沿

着AP翻折到△尸BC（点方在矩形的内部），连接夕C,80.点尸在整个运动过程中，若存在唯

一的位置使得△夕CD为直角三角形，则。，6之间的数量关系是b=42a.

【解答】解：如图，以CD为直径作<_O,当点A到一。的最小距离等于时，使得△笈CD为直

角三角形且唯一，

在RtAADO中，AEr+OD2=OA2,

b~+（_=（aH—,

整理得廿=2/,

a>0>b>0,

b=0a.

8.如图，。的直径为4,C为O上一个定点，ZABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB向

3点运动（点尸与点C在直径钻的异侧），当尸点到达3点时运动停止，在运动过程中，过点C作

CP的垂线CD交尸3的延长线于D点.

（1）在点尸的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_2/<CD,,4g_.

（2）在点尸的运动过程中，线段仞长度的最大值为一.

【解答】解：（1）如图1中,

D

AB是直径，ZABC=3Q°,AB^4

.-.ZACB=90°,NA=NP=60。，AC=2,

CDYPC,

:.ZPCD=90°,CD=PC-tan60°,

PC的最小值=人。=2,PC的最大值为直径=4,

二CD的最小值为2指，最大值为4石，

.•点P与点C在直径AB的异侧

2A/3<CD,,4A/3.

故答案为2百<CR,4百.

(2)如图2中，

「在RtAPCD中，ZPCD=90°,ZP=60。，

:.NPDC=30°,

.•.点。在以3c为弦的。(红弧线)上运动，

.•.当A、O'、。共线时，的值最大.连接C。、BO'.

ZBOC=2NCDB=60°,OC=OB,

.•.△OBC是等边三角形，

BO'=BC=273,NCB(7=60。,

ZABC=30°,

;.ZAB(y=9G°,

ACf=y/AB2+BO'2=次+(2后=2s,

:.AD=AO+OD=2币+26.

AD的最大值为2⑺+26.

故答案为2e+26.

9.如图，AB是O的直径，C为圆上一点，且NAOC=120。，。的半径为2,P为圆上一动点,

。为"的中点，则CQ的长的最大值是_1+b_.

【解答】解：如图，连接OQ,作于".

AQ^QP,

OQ1PA,

ZAQO=90°,

.•.点。的运动轨迹为以AO为直径的一K,连接CK,

当点。在CX的延长线上时，C。的值最大，

在RtAOCH中，

ZCOH=60°,OC=2,

:.OH=-OC=l,CH=上,

2

在RtACKH中，CK=J(9+2?=币,

，c。的最大值为i+

10.如图，尸是矩形ABCD内一点，AB=4,AD=2,APA.BP,则当线段Z）尸最短时，CP=

【解答】解：以他为直径作半圆O，连接OD,与半圆O交于点P,当点P与P重合时，DP最

短，

AO=OP'=OB=-AB=2,

2

AD=2,ZBAD=90°,

:.OD=2也,ZADO=ZAOD=ZODC=45°,

DP=OD-OP'=2V2-2,

过P作PEJLCD于点E,则

PE=DE=^DP=2-近，

2

:.CE=CD-DE=-fi+2,

CP'=y]P'E2+CE2=2百.

故答案为：2G.

11.在平面直角坐标系中，已知点A(O,-2)、3(0,3),点C是X轴正半轴上的一点，当NBC4=45。

时，点C的坐标为_(6,0)_.

【解答】解：如图，作AABC的外接圆[尸，过尸作b_L84,尸尸_LOC于

AE=BE,

.点A(0,—2)、3(0,3),

7.AB=5，

ZACB=45°,

.\ZAPB=90°,

:.PE=-AB=~,

22

55l

在RtAPBE中，PE=BE=~,由勾股定理得：PB=-42,

22

在RtAPFC中，PFJ,PC=PB=、0,由勾股定理得：FC=L

222

57

.•.OC=OF+CF=-+-=6,

22

点C坐标为(6,0),

故答案为(6,0).

12.如图，正方形ABCD中，AB=2,动点E从点A出发向点。运动，同时动点尸从点。出发向

点C运动，点E、P运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、

国相交于点尸，M是线段上任意一点，则的最小值为_&6_.

【解答】解：如图作点。关于3c的对称点连接尸

由轴对称的性质可知：MD=DM,CD=CD=2

:.PM+DM=PM+MD=PD

过点P作PE垂直DC,垂足为G,

易证”，座，故可知尸的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点。重合，点厂与

点C重合时，PG和GZ7均最短，

此时，PD1最短.

四边形ABCD为正方形，

:.PG=-AD=],GC=-DC=1.

22

:.GD=3.

在RtAPGD中，由勾股定理得：PD=4PG。+G£>'2=>/俨+32=廊.

故答案为：回.

13.如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E,ZAEB=90°,F为DE的中点，连接CF,则CF

的最大值为_屈+1_.

【解答】解：解法一：如图，以AB为直径作圆

E

ZA£B=90°,

.•.点E在这个.H上,

延长DC至P,使CD=PC,连接BE,EH,PH,过H作HW_LCD于M,

EF=DF,CD=PC,

:.CF=-PE,

2

RtAAEB中，〃是AB的中点，

:.EH=-AB=2,

2

RtAPHM中，由勾股定理得：PH=4HM2+PM2=742+82=2^/13,

PE,,EH+PH=2+2屈,

当P,E,H三点共线时，PE最大,CF最大，

的最大值是J"+l;

解法二：连接BD,取BD、AD的中点为〃、G,连接FH、GF,

P为DE的中点，

.•.FH是ABDE1的中位线，FG是AADE1的中位线,

:.FH!/BE,FG//AE,

:.ZHFD=ZBED，ZGFD=ZAED,

ZA£B=90°,

:.ZBED+ZAED=90°,

:.NHFD+NGFD=90。,

:.ZHFG=9Q°,

：.点/在以G//为直径的半圆上运动，

取G”的中点/,

则CF最大时，是经过圆心/,

GH是AA&D的中位线，

GH=—AB=—x4=2,

22

:.GI=1,

过/作的_LCD于M,

在RtACIM中，CM=4-1=3,IM=2,

由勾股定理得：CZ=V22+32=713,

:.CF'=y/13+l,

故答案为：713+1.

14.如图，正方形ABCD中，AB=4,动点E从点A出发向点D运动，同时动点尸从点。出发向

点C运动，点E、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、

助相交于点P,V是线段3c上任意一点，则加+MP的最小值为_2河_.

【解答】解：如图作点。关于3c的对称点连接尸

由轴对称的性质可知：MD=DM,CD=CD=4,

:.PM+DM=PM+MD=PD

过点P作PE垂直DC,垂足为G,

易证”，座，故可知尸的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点。重合，点厂与

点C重合时，PG和GZ7均最短，

此时，PD1最短.

四边形ABCD为正方形，

PG=-AD=2,GC=-DC^2.

22

:.GD=6.

在RtAPGD中，由勾股定理得：PD=1PG。+GZ）'2=&+6,=2M.

故答案为2而

三.解答题（共4小题）

15.在平行四边形ABCD中，AD=-j2,AB=2,NA=45。，问Afi边上是否存在一个点尸，使得

NDPC=45。？若存在，请求出AP的长；若不存在，请说明理由.

【解答】解：存在.理由如下，

如图，作于

在RtAADM中，AD=应,ZA=45。,

,-.AM=DM=l,

AB=2,

:.ZADB^90°,

AD//CB,

:.ZDBC=ZADB=90°,AADB,AZ汨C的是等腰直角三角形，

：.BD=BC=AD=y[2,

以3为圆心3c画圆交AB于P,此时Z.DPC=-NDBC=45°,

2

;.PB=BC=4i,

:.AP=AB-PB=2-yfi,

16.已知线段3c=2,用尺规作AABC,使NA=45。，你能作出多少个满足条件的三角形?

【解答】解：如图，

当BC=2,NBOC=90。时，点A在优弧3C上，

,ZA=-ZBOC=45°,

2

.•.ZA，=ZA〃=ZA=45。，

，满足条件的点A有无数个.

17.如图，在四边形ABCD中，AB=2,BC=^3,CD=1,NABC=NBCD=90。，点E、点P是

四边形内的动点，且NAED=150。，求尸C+PB+PE的最小值.

D

---------------------^1C

【解答】解：过点A作AGLCD于点G,

ZABC=/BCD=90。,

二.四边形ABCG是矩形，

,\CG=AB^2fAG=BC=B

,\DG=2-1=1,

RtAAGD中，tan/AHD=—=的，

GD

:.ZADG=60°,AD=2,

延长DG至点O,使得8=AD=2,

AQ1D是等边三角形，

以点。为圆心，Q4为半径作圆，

.•.优AD的度数为300。，

ZAED=150°,

点E在(_。上，

ABPC绕着点B顺时针旋转60°至^BPC,

:.BP=BP,PC=PC,NPBP=60。,

:.BP=PP,

PC+PB+PE^PC+PP+PE,

而OE是定值，

^PC+PP+PE最短，就是求PC+PP+PE+OE最短，

当。、E、P、。四点共线时，PC+PP+PE+OE最短,最短值就是OC的长,

过点。作OC于点P,

AB。。是等边三角形，

:.C'F=-BC=—,CF=yj3C'F=—xs/3=~,

2222

.­.OC'=sIC'F2+OF2=Jgy+(|+l+2)2=721,

PC+PP+PE+OE最短值为721,

,PC+尸P+PE最短值为0T-2,

.•.尸。+尸3+尸石最短值为01-2.

18.如图1,已知四边形ABCD是平行四边形，AC_L3C且AC=3C,以3C、AC所在直线为坐

标轴建立平面直角坐标系5(-6,0),直线y=3x+匕过点。且与x轴交于点M.

(1)请直接写出点。，6的