江苏省苏州市2022-2023学年高三年级上册期中数学试题（解析版）

2022〜2023学年第一学期高三期中调研试卷

数学

2022.11

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题〜第12题）、填空

题（第13题〜第16题）、解答题（第17题〜第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分

钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠

笔.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合幺={刘*《4》},8={x|3x-4〉0},则工口8=（）

A.[0,+oo）B.[0,1）C,（1,4]D.（—8,0）

【答案】C

【解析】

【分析】先求得集合A的范围、集合B的范围，最后取它们的交集即可.

【详解】由题意，集合2={#2<44={刃0<》<4},

[4、

5={x|3x-4〉0）=<xx〉"，

4,

所以=<x—<xV4>

3

故选：C.

2.设复数z满足(l+i)z=2i,贝Wz|=()

A.yB.—

22

C.V2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】求出z=l+i即得解.

2i2i(1-i)2+2i,.

【详解】解：由题意可得"4r所以2=合合=亍=1+|，

所以|z|=A/12+12=V2-

故选：C

3.在AA8C中，点N满足衣=2配，记丽=7NC=b＞那么诙=()

A.a-2bB.a+2bC.0—bD-a+b

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的线性运算将强分解为强=丽+而，再转化为Z，B表示即可.

【详解】~BA=~BN+NA=~BN-2NC=a-2b-

故选：A.

4.“sina+cosa=1"是"sin2a=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】若sina+cosa=1,则(sina+cosap=l+2sinacosa=1+sin2a=1,即sin2a=0.

若sin2a=0,贝!Isin?a+cos?a+sin2a=(sina+cosa)2=1,则sina+cosa=±1.

故“sina+cosa=1"是“sin2a=0”的充分不必要条件.

故选：A

11

5.奇函数，(x)在R上单调递增，若正数机,〃满足/(2机)+/(--1)=0,则一+〃的最小值为()

nm

A.3B.472C.2+2V2D.3+2及

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得2加+』=1,再根据‘+〃='+〃2机+工]结合基本不等式即可得解.

nmn)

【详解】解：因为奇函数/(x)在R上单调递增，且/(2机)+/(▲—1)=0,

n

所以/(2m)=-/(--1)，即/(2m)=/(--+1),

nn

所以2m=——+1,即2nl+—=1,

nn

所以上+〃=2加+工]=(3+-^―+2mn|>3+2、^—•2mn=3+2行，

mJInJmn)\mn

当且仅当一=2mn,即机=匕4/=正+1时，取等号，

mn2

所以工+〃的最小值为3+2-72.

m

故选：D.

6.已知函数/(x)=J^cos@x-sin@x(刃>0)的周期为24，那么当x£[0,g]时，刃/(、)的取值范

围是()

A.[-5,争B.[-V3,V3]C.[-^,1]D.[-1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】首先化简函数/(x),根据周期求。，再根据函数的定义域求函数的值域.

(jr、2兀

【详解】/(x)=2cosl<^x+—I,T=——=2»，「.刃=1,

n715兀

W（x）=2cosxe0,—,XH--G

36~6,~6

所以2cos[x+fe[—

故选：B

7.古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本

装备.如图，梯子的长度为。，梯脚落在巷中的M点，当梯子的顶端放到右边墙上的N点时，距地面的高

度是h,梯子的倾斜角正好是45°，当梯子顶端放到左边墙上的尸点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺）,

此时梯子的倾斜角是75。.则小巷的宽度48等于（

h+a=

C.(A+2)尺D.------尺

2

【答案】A

【解析】

【分析】连接尸N,过N作NCLPZ于C,则48//NC且Z8=NC.证明出,得到

NC=PN=6,即可求出4g.

连接PN,过N作NCLPZ于C,则48//NC且/8=NC.由题意可得：ZNMB=45°,所以

NMNC=ZNMB=45°.

因为NPW=180。一75°-45°=60。且9=7W,

所以APMN为等边三角形，即MM=PN=尸河.

因为NMNC=45°,所以NPNC=ZMNP-ZMNC=60°-45°=15°.

而ZAPM=90°-NAMP=90°—75°=15°,所以NAPM=ZPNC.

因为NP4W=NPCN=90°,所以/尸叱4=/W。=75。.

又PN=PM，所以AZ"尸名/\CPN(NS4),所以NC=尸幺=6,即48=6.

故选：A.

8.已知实数。=log23，b=2cos36°，c=O,那么实数d“c的大小关系是（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>ob

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦函数的单调性可得到b>c,利用对数函数的单调性可得到。〉c,假设在中，

AB=AC,ZA=36°,角8的平分线交边NC于点。，利用长度关系和正弦定理可得到

2cos36。=匕好，然后利用作差法能得到心“，即可求解

2

【详解】由于cos36°〉cos45°可得2cos36°〉行即6>c，

又由于log23=log2、/^〉log2J^=|"〉J^,所以a〉c,

假设在A4BC中，AB=AC,ZA=36°,角8的平分线交边/C于点。，

1Q0O_36。

所以==----------=72。，/CBD=/ABD=36。，ZBDC=180°-36°-72°=72°,

2

所以△BCD〜△45C,所以二="即CD=丝二，

CDBCAB

所以AD=ZC—=—-—

AB

所以BC=BD=AD=AB—-—,

AB

所以8c•AB=Z52—502即丝=(七]-1,

解得会当1

BC[BC)

ABBCABsin72°2sin36°cos36°

在△48C中,------=-------即nn----=-------=2cos36°,

sin72°sin36°BCsin36°sin36°

所以2cos36°=±6，

2

12Q

由于35<28即51n3<81n2,所以出"〈A,

In25

8

所以。=log23<j，

rp.>>1+-\/585+—165V5—11r-r-.

因为-------=------------=—.......>0>所r以

251010

所以6>a>c

故选：B

【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出2cos36°=足5，需假设在中，AB=AC,

2

ZA=36°,角2的平分线交边NC于点。，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都

有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请

把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9.已知非零实数“c满足a>b>c且a+b+c=0,则下列不等关系一定正确的有()

CCC67c1

A.->-B.-+-<-2C.>(Z>-c)flD.-e(-2,--)

abaca2

【答案】BD

【解析】

【分析】根据已知，利用不等式的性质以及特值法进行判断.

【详解】因为非零实数“C满足a>b>c且a+b+c=0,

所以。>0,c<0,b的正负不能确定，

11CC

对于A,若a〉0〉b,则一>0>—,则一>—,故A错误;

abba

ccca

对于B,因为一<0,所以>0,所以—I■—=-

aaac

ca

即。=—c时取到等号，所以—+—<-2,故B正确;

ac

对于C,当a=2/=l,c=—3时，(Q—b)a=F=i,(6-c)a=42=16,

显然不满足(a——c)°,故C错误;

bc

对于D,因为a>b>c,〃>0,所以1>一>—,又〃+b+C=0,

aa

所以£<二’,解得反〈-1；

aaQ2

ab

因为。>b>c,C<0,所以一<—<1,又Q+b+C=0,

所以g〈士£=—q―1,解得q<—!，所以一2<9<0；

cccc2a

综上，上€(-2,-力.故D正确.

故选：BD.

10.已知函数/(x)=cos2x-2cosxcos3x,贝！］()

A./(x)的最大值为I

C./⑺在［-旨,向上单调递增D./(x)的图象关于直线工=:对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,先利用余弦的和差公式化得/(x)=-cos4x,由此易得/(x)的最大值为1；

对于B,代入角易得/［看］=/1一］)

对于C,由一土<x<2•得—立<4x<一，先判断V=cosx在(―彳,—的单调情况，从而判断了(X)的

12633\33J

单调情况；

对于D,由余弦函数的图像性质得到/(x)的对称轴，由此可判断尤=:为/(x)的对称轴.

【详解】f(x)=cos2x-2cosxcos3x=cos(3x-x)-2cosxcos3x

=cos3xcosx+sin3xsinx-2cosxcos3x二一(cos3xcosx-sin3xsinx)=-cos(3x+x)=—cos4x,

对于A,因为—1VCOS4XV1,所以—IV—cos4x〈l,BP-1</(x)<1,所以/㈤的最大值为1,故A

正确；

所以/［kJ=,故B正确；

对于C,因为--—<x<—,所以一/<4］〈生，

12633

又因为y=cosx在，*0卜［—兀,0］上单调递增，在0,日卜［0,可上单调递减,

所以/(x)=-cos4x在上先减后增,故C错误;

对于D,因为y=cosx的对称轴为x=E（左eZ）,

所以由4x=E得x=丁，可知/（%）=-©054%的对称轴为》=7-（左€2）,

当k=1时，/（x）的对称轴为x=£,故D正确.

故选：ABD.

11.在棱长为2的正方体中，M,N分别是棱48,ND的中点，线段VN上有动点尸，棱CG上点E满足

GC=3GE.以下说法中，正确的有（）

A.直线。尸与BE是异面直线

B.直线GP〃平面8。百

C.三棱锥C-G"N的体积是1

D.三棱锥C-C[MN的体积是3

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A选项：可用异面直线的判定方法判断；

对B选项：可通过证明面C.MNH面BDE得到直线//平面BDE；

对C、D选项：将三棱锥C-QMN的体积转化为三棱锥G-CMN的体积计算.

【详解】对A选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直

线是异面直线，

因为尸任平面BG，。16平面86，8£u平面8C1,G任直线BE，故直线。丁与3E是异面直线.

对B选项：下面先证明面〃面8DE,再证直线GP〃平面BOE.

如图：连结NC与AD交于点O,与MN交于■点、F,

在正方形/8C。中，有CF=30F,又qC=3C[E,故C\F/IOE,

又C/u面OEu面qMV,

所以。£〃面GMN,

又BDHMN,MNu面C、MN,BDu面。山，

所以面。儿加，

BDu面BDE,OEu面BDE,BDcOE=O,

所以面〃面8QE.

又C/u面GMN,故直线G尸〃平面8QE,所以B正确.

对选项C：S^CMN=~MN-CF=-X42X-X2>/2=-,

ACMV2242

113

==XX

Vc-C\MNVc「CMN=§S^GACV•CGJ^2=1>故C正确D不正确；

故选：ABC

12.已知函数/(x)=(x?—x)(x?+ax+b)的图象关于直线x=2对称，则()

35

A.a+b=5B./(x)的最小值是----

16

C./(x)图象与直线2》+卜一8=0相切D./(x)图象与直线12x-y-48=0相切

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的对称性代入特殊值，求a,b,即可判断A;

利用换元，转化为二次函数求最值，即可判断B；

联立函数与直线方程，利用方程组的解，判断交点处的导数，判断是否相切，即可判断C；

利用导数求函数在x=4处的切线方程，即可判断D.

【详解】因为>=/(x)图象关于直线x=2对称，当x=3时，/(3)=/(1)=0,于是9+3。+6=0,当x=4

时,/(4)=/(0)=0,于是16+4。+6=0,于是。=一7,6=12,所以a+b=5,故A正确；

/(x)=(x2-x)(x2-7x+12)=x(x-l)(x-3)(x-4)=(x2-4x)(x2-4x+3),令

t=x2-4x>t>—4,贝！Jg«)=/(/+3)=J+3/,t>-4,因为g(/)=『+3/图象开口向上，对称轴是

3/3、9

/=一5，所以g«)的最小值为，故B正确；

联立方程厂八八乙解得：x=4或x=2或x=l土VL

j=8-2x

/(x)=(2x-4)(x2-4x+3)+(x2-4x)(2x-4)=(2x-4)(2x2-8x+3),/(4)=12丰-2,

/，(2)=0H-2,/[1土收)=-18±10行w-2,

所以AM与直线2x+y-8=0不能相切，故C不正确；

/(X)=(2X-4)(2X2-8X+3),/'(4)=12,/(4)=0,所以函数了=〃x)在x=4处的切线方程为

12x-j-48=0,故D正确.

故选：AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置

上.

13.-pp-^p:3x&R,x2+mx+2„0,若“非为真命题，则机的取值范围是.

【答案】-272<m<2V2.

【解析】

【分析】写出命题的否定，由命题的否定全称命题且为真命题，结合一元二次不等式恒成立可得.

【详解】由题意知，命题?：Hxe7?,/+加x+2W0为假，即Vxe十加1+2>0恒成立，

所以』<0,所以切2—4X2<0，所以—2行(机

故答案为：-2近(机

2Xx<0

14.已知函数/(x)=I'一।'八则函数g(x)=2-/[/(初的所有零点之积等于

|log2x|,x>0,一

【答案】—2

【解析】

【分析】由题意，表示出函数/[/(》)]解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.

【详解】求函数g(x)=2—/"(X)]的所有零点，则等价于求方程/[/(%)]=2的根，

当x<0时，/(x)=2*>0,则/[/(x)]=Mg22]=—x=2,解得x=-2；

当x>0且xwl时，/(x)=|log2x|>0,则/[/(x)]=|log2110g2乂|=2,

log2110g2x|=±2,可得|1082司=4,|log2x\=^,即log2X=±4,log2x=±^-,

解得x==或16或也或右；

16A/2

当x=l时，/(l)=|log21|=0,/[/(1)]=2°=1,不符合题意.

-2x—xl6xV2x—?==-2,

综上,

166

故答案为：-2.

311

15.在△48。中，已知5>C,cosA=一,cos(5-C),那么tanB=__________.

328

5^7

【答案】

--9~

【解析】

【分析】由题意，根据三角形内角和以及诱导公式和三角函数和差公式，建立方程组，可解得答案.

3131

【详解】由cosZ=—，且N=(8+C),则cos(5+C)=——，即得到

32v732

31

cosBcosC-sinSsinC=----,

32

由cos(8-C)=—,得到cosBcosC+sin5sinC=-,

88

273535

于是cos5cosc=----,sin5sinC=一，故tan5tanC=----.

646427

tanB+tanC,3J7

在A48C中，tan(5+C)=-------------二-tanA=--------

1-tanBtanC31

2An35

于是tanB+tanC=-------・再由tanBtanC-------

927

解方程组得到tan8=—区或tan5=4Z，由于3>C,^tan5=--

939

故答案为：_迎.

9

16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四

个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形481Goi的边长为

1,往里第二个正方形为482c2。2,…，往里第〃个正方形为4WC2.那么第7个正方形的周长是

,至少需要前个正方形的面积之和超过2.（参考数据：lg2=0.301,

lg3=0.477）.

【解析】

【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前，项和公式进

行求解.

4A2B、

因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上,

且外围第一个正方形4AGQ的边长为1,所以4用=§，

B2BY=~,

由勾股定理有：(4用+=J如©与

A2B2=BXB2

设第〃个正方形AnBnCnDn的边长为/„,则

…i-+GC|)3'

所以仆用7停二

VJ7k37

所以第7个正方形的周长是44=4x[*『“53”125500

=4x—=4x——=——，

36729729

第〃个正方形的面积为//=]犷

则第1个正方形的面积为=1,

则第2个正方形的面积为二=n=|,

则第3个正方形的面积为二=[]，

则第〃个正方形的面积为/口,

©

1-

5

前〃个正方形的面积之和为S=1+

n

当〃=1时，£=(=1,当〃=2时，邑=(1-1(

9f5Y1519(5翳〉2

当〃=3时，^3=-1-kj=五，当"=4时，S4=zi-L

所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2.

故答案为：，4.

729

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

17.在锐角A48C中，角48,C的对边分别为a,"c,且2bsinZ—百a=0.

(1)求角3的大小；

(2)求cosZcosBcosC的取值范围.

冗

【答案】(1)B=-

3

⑵(0』

O

【解析】

【分析】(1)由正弦定理将边化为角后即可求出角8的大小；

n、

(2)已知3=—后可以将4。全用8表示，将cos/cosBcosC表示为8的函数，利用三角恒等变换化为

3

一般式求范围，注意锐角三角形对角范围的限制.

【小问1详解】

由正弦定理，b=2RsinB,c=27?sinC,代入26sin/-百Q=0，

有2x27?sin5sin4—百x27?sin/=0，

n

因为A是三角形的内角，sinZwO,所以sinB：*，

2

71

在锐角△45C中，B=~.

3

【小问2详解】

,「万，一2乃一2万，

由(1),B=­，A+C——,C=------A

333

JI2%

于是cosAcosBcosC=cosAcos—cos(---A)

=—cosA(---cos^+^-sin^)=sinAcosA--cos2A

22244

G.c,11+COS2T41•n/%、1

=——sin2A——x------------=—sin(2Z-

842468

在锐角ANBC中，由于8=—，有一<Z<一,—<2/<——,

362666

711171\1

于是sin(2N—7)e£,1],-sin(2^--)--e(0,-].

所以cosZcos8cosC的取值范围是(0,—].

8

18平面直角坐标系xQy中，已知点£(cosa,sina)(其中OWaW乃)，将向量砺逆时针方向旋转90°，

得到向量而，记41,0),8(0,—1).

(1)求万+方|的最大值；

(2)试判断两向量衣与南的位置关系.

【答案】(1)2+V2

(2)两向量诟与丽平行

【解析】

【分析】(1)利用垂直向量的坐标表示，求得点少的坐标，利用模长公式以及三角函数恒等变换，可得答

案；

(2)利用平行向量的坐标表示，可得答案.

【小问1详解】

向量砺逆时针方向旋转90°，则砺，砺，即砺.砺=0，得到点尸(―sina,cosa),

又因为所以4E=(cosa-l,sina),AF=(-sin«-l,cosa),

所以ZE+ZF=(cos«-sina-2,sina+cosa),

所以|+AF|=J(cosa-sina-2)2+(sina+cosa)2

=Vcos2a+sin2a+4—2sinacosa-4cosa+4sina+sin2a+cos2a+2sinacosa

_________________________________IFyf忑

=Jl+4-sin—4cosa+4sina+1+sin2a=/6-4-^2——cosa——sina

\I22J

=卜+4应sin[a—<^6+442=2+42，

所以石+彳斤|的最大值为2+J5，此时sin[a-：]=l,«.

【小问2详解】

由题意，AE=(cosa-l,sina),BF=(-sin«,cosa+1),

因为(cosa-l)(cosa+1)-sina(-sina)=(cos2«-1)+sin2a=0,

所以(cosa-l)(cos«+1)=sina(-sina),

所以两向量衣与丽平行.

19.如图，在三棱锥尸一/BC中，NNC5=90°，尸4,底面45c.

P

(1)求证：平面尸ZC,平面尸8C；

⑵若AC=BC=PA,〃是％的中点，记与底面4BC所成角为a,与平面尸所成角

为"，试研究］与尸的等量关系.

【答案】(1)证明见解析

、71

(2)tZ+=—

【解析】

【分析】(1)由底面N8C,可得再结合ZCL5C,由线面垂直的判定定理可得8C1

平面尸/C,再利用面面垂直的判定定理可得结论，

(2)取的中点N,连接MN,可得二腿4N就是直线与底面N8C所成角々，在直角

中可求得tana,取PC的中点“，连接AH,HM,可得就是直线与平面尸8c所成角月,

在直角〃中可求得tan£,从而可得答案.

【小问1详解】

证明：因为PZ_L底面48C,8Cu底面48C,

所以「2,5C.

又因为N/CB=90°，即ZCL5C,

又因为尸4/Cu平面尸4C,且尸4/C相交于点A,

所以直线平面尸4C.

又因为BCu平面尸8C,

所以平面尸8C，平面04C.

【小问2详解】

取48的中点N,连接MN,由于"是尸3的中点，有MN//PA,

又因为尸/,底面NBC,48,NCu底面Z8C,

所以J.ZC,

所以

因为48口2。=42民2。€=底面28。，

所以MN_L底面ABC,

所以NMAN就是直线AM与底面ABC所成角a.

记AC=BC=PA=2a,则N8=2V^a，MN=QPA=a

在直角△腿4N中，tana=lanAMAN=—=,

AN41a2

取PC的中点X,连接AH,HM,由于ZC=R4,有AH_LPC.

由(1)8cl平面尸/C,AHu平面0/C,所以5CLZH.

又因为尸C,8Cu平面必。，0C,8C相交于点C,

所以M/_L平面尸8C,

所以ZAMH就是直线AM与平面PBC所成角B.

在直角中，AH=-PC=-xl41a=41a,MH=-BC=a,

222

B

所以tanQ=tanZAMH=—=J5，

所以tanatan/?=1,

■rr

由于a、尸都是锐角，所以a+尸=万.

a„n+1

20.已知首项%=4的数列｛%｝的前“项和为S“，对任意〃©N*都有于

Sn2〃

(1)求数列｛%｝的通项公式；

a111„

(2)记。"=优，数列｛%｝的前“项和为北，有幺A</+帚+…+无48恒成立，求。4的最小值.

【答案】(1)«„=(«+1)-2"；

⑵*

【解析】

Si,〃=1a

【分析】(1)依题意可得S〃=—>根据4=I作差得到一、=2・且，即可得到

〃+1[Sn-,n>z7/+1n

a”

是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出｛4｝的通项公式;

n+1

12/1、

⑵由（1）可得%=〃+1,利用等差数列求和公式得到小即可得至5=§（7Q）'利用裂项相

11,111,1

消法求出书+书+L+—,从而得到书+尸+L+元的取值范围，从而得解.

【小问1详解】

当"22时，Si=2（〃-1）%,

n

两式相减，有—匹—冬山二得到处於电="近,

〃+1nnn+1

由于"22,"S,

〃+1n

因为幺=2,由上述递推关系知4Ho

2n+1

所以｛悬｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以—=2X2"T,

n+l

所以a“=(〃+l)2".

【小问2详解】

解：由（1）c“=之=〃+1,

2

所以数列｛g｝的前n项和为言=唳；+1）=〃（〃；3）

122/1、

则—=-------——（--------）,

7心+3）3〃〃+3

1

^^11...±=21_121_121-1)-21)

T、+1++T314325336++3(〃〃+3

11、2,111、11

="+一----)<-(-+—+-)=—

3123n+ln+2n+331239

1cli111

又由于书〉°,-+—++—>—=

1n121n