浙江协作体2024年高二年级上册开学考试数学试题（含答案）

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题

高二年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求.

1.已知集合&=印1<4},B={x|-4<x<l},则AnB=（▲）

A.{X|X<2}B.{X|-2<X<1}C.{X|-4<X<1}D.{X|-4<X<2）

2.记复数z的共根复数为三，若z（2+i）=2—4i,则同=（▲）

A.1B.V2C.2D.2V2

3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6,乙中靶的概率为0.7,

且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（▲）

A.两人都中靶的概率为0.12B.两人都不中靶的概率为0.42

C.恰有一人中靶的概率为0.46D.至少一人中靶的概率为0.74

4.已知向量°=，若（a+2石）〃+,贝（▲）

A.X"=1B.Xjn=—1C.丸+〃=—1D.4+〃=1

5.已知％夕是两个互相垂直的平面，丸〃是两条直线，。口夕=机则“〃〃机”

是“〃//a”的（▲）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.设函数〃力=小|,则不等式〃21083%）+/（3-1083%）<0的解集是（▲）

A.（七,27]B.fo,—C.（0,27）D.（27,+8）

试卷第1页，共4页

7.已知函数/'（x）=V^sin[x+T的定义域为值域为当,5

则的取值范围是（▲）

兀4兀]「兀5兀5兀5兀2兀4兀

A.一,—B.一,—C.D.

23237'可T'T

8.如图，在正方体ABCO-AMGA中，E是棱BC的中点，歹是侧面BCC再上的动点,

且4尸〃平面ARE，则下列说法正确的个数有（▲）

①二面角F-AD.-E的大小为常数

②二面角F-D.E-A的大小为常数

③二面角F-AE-D,的大小为常数

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为占,马,…,/，计算得平均数7=7,方差

$2=2,现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（▲）

A.极差变大B,中位数不变

C.平均数变小D.方差变大

10.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，则下列命题中正确的是（▲）

A.若A>3,贝iJcosAvcosB

rrjr

B.若8b=lc=6，贝lJC=T

6f4

C.若。是△ABC所在平面内的一点，S.\OB-OC\=\OB+OC-2OA\,

则△ABC是直角三角形

D.若B=J,b=l,则赤.衣的最大值是:

o2

11.四面体ABCD中，AC=8C=A3=3,BD=5,CD=4,记四面体ABCD外接球的表面积为S,

当变化时，则（▲）

A.当4。=3时，S=~n

11

B.当四面体A8C£>体积最大时，S=28K

C.S可以是16兀

D.S可以是1007t

试卷第2页，共4页

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知累函数/(%)=(根2-5m+7)X”的图象关于>轴对称，则实数旭的值是▲.

13.已矢口x>1,y>1且log3x=41ogy3,则%v的最小值为▲.

14.在正四面体ABCD中，分别为AB,BC的中点，~AG=-AD,截面EFG将四面体分成两部

3

分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是一

四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18

题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

15.已知aeR,A={x|a(尤+a)(x+2)>。},B=

(I)当。<0时求集合A；

(II)若BqA,求a的取值范围.

16.为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服

务的时间(单位：小时)，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.

(I)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；

(II)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替)；

(III)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数(结果保留两位小数).

世

0.075

a

O.(KM>

()1011182226：W时间/小

17.已知函数/(%)=sin(x+_cos(x+j)+sinI—+xI.

(I)求函数/(x)的单调递减区间；

171

(II)将函数/(X)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一(纵坐标不变)，再向右平移一个单位,

26

得到函数g(x)的图象，若g(a)=—2且工2],求cos2a的值.

612

试卷第3页，共4页

18.如图，已知四棱锥尸-ABCO中，PB=PD=4,PA=6,ZAPB=ZAPD=60°,且

(I)求证：BD1PA；

(II)求直线PA与平面ABCD所成角的正弦值；

(III)若平面PAC与平面ABC。垂直，PC=3,求四棱锥P-ABC。的体积.

19.已知函数〃x)的定义域为若存在常数左(左＞。)，使得对。内的任意X,都有

/(尤)=/("］，则称"X)是，反比例对称函数".设“x)=log2X.log8电，g{x}=ax+--m.

(I)判断函数〃x)=log2x.log8F是否为“反比例对称函数”，并说明理由；

(II)当。=1时，若函数“X)与g(x)的图象恰有一个交点,求加的值;

(III)当。＞1时，设心)=/(为-83,已知拉⑺在(0,+8)上有两个零点再,尤2，证明：Xrx2＜16.

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2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案

高二年级数学学科

一、选择题:

题号12345678

答案BCCADBDB

、多选题

题号91011

答案BCACDABD

题号121314

答案28111:7

四、解答题

15.(I)a＜0,a(x+a)(x+2)＞。

所以（龙+“）（尤+2）<0,解得-2<x<-a

所以A=｛司-2＜无＜-a].........................5分

（II）B=｛x|l<x<2｝

①当a<0时，因为BqA,所以一。22,得。（一2；.......................7分

②当。=0时A=<!>不合；............9分

③当0<°42时，4=",<一2或彳>-々｝成立，所以3=4成立；............11分

④当a22时时，4=｛天,<-々或了>-2｝成立，所以81A成立;

综合得a4-2或a＞0...............................................................13分

16.解析：(I)由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1-(0.02+0.06)x4=0.68.

---------4分

(II)由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20,故众数是20；------------7分

由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)x4=1,角军得a=0.07,

(0.02+0.06)x4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

(0.02X12+0.06X16+0.075x20+0.07x24+0.025x28)x4=20.32；------------11分

(III)又,.・(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,(0.02+0.06+0.075+0.07)x4=0.9,

・・・第75%位数位于22〜26之间,设第75%位数为＞,

y-220.75-0.6213

贝niI」l上----=----------解得y=22+—b23.86.15分

26-220.9-0.62

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TT

17.(1)解析：/(%)=2sin(%+—),--------------------------3分

6

令元十二£2^71+—,2^71+—Ikji+—<x<Ikji+—,

622」33

7T4

/(%)的单调减区间为+2^71,-71+2bi],左eZ---------------6分

TT7T

(II)解析：由题意得g(x)=2sin(2x——),则g(a)=2sin(2。——)=——........8分

665

.,_7T.3LE、r/兀51、rtc冗TC21、

sin(2df---)=——，又因为---,——),则2a---G(z-----,——)

65612623

—7T4

所以cos(2a---)=----------------------------------------------11分

cosla=cos(2a)

66

15分

/c乃、乃./c乃、.乃3+4近

=cos(2cr---)cos---sin(2«---)sin—=-------

666610

18.(I)解析：由题意，在三角形PA2与三角形/⑦中用余弦定理可得:

AB=AD=2手,一2分

取中点连由AB=AD,PB=PD,可得AD_LAM,BDA.PM,

故BD_L平面ARM,因为APu平面APM,所以2£>_LPA----------4分

(II)因为8。，平面APM,所以平面PAM±平面ABCD,故点P在平面ABC。上的投影在两平

面的交线40上，所以ZPAM为所求线面角，----------5分

在RtAPBD中，<BM=DM=PM=272；在RtAADW中，可得40=26,-------7分

^一舄PA2+AM2-PM2275g、1.45

故在二角形PAA/中：cosZPAM=----------------=----,所以sm/PAA/=——,

2PAAM55

即所求线面角的正弦值为更

---8分

5

(III)解析：因为平面PAM,平面A5CD,故点P,C四点共面,

所以点C三点共线,10分

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2/s

所以在APAC中，cosZPAC=-^-,所以2。2=尸&+人。2—2PA-AC-COSNPAC=9,

5

94解得4C=竽或AC=34,

即36+AC2--^AC=9—-12分

A/5

若AC=竽，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾.所以AC=3宕---------------13分

因为，所以S四边形的------------------------------15分

所以/棱锥P_ABCB=§,S四边形ABCD,尸,S^n/尸^^=120.17分

19.(I)解析：是.理由如下：-------------------------------------1分

Vx>0,—>0,

x

1616-------------------------3分

//6、,16,lnVInxInxlnV,，、

/(—)=log——logx=—■—=—•—=/(x)

x2x8m2In8m2In8

故/a)=iog2兀1og8?是“反比例对称函数”.------------------------4分

(II)解析：设力(%)=/(%)—g(x),XG(0,+8),

由(I)知/(—)=F(%)，验证知^(―)=g(x)

XX

故h(x)=h(——).----------------------------------------------------------6分

x

由题意函数〃%)与g(%)的图像恰有一个交点，即久了)恰有一个零点，

故由对称性零点只能为4.-------------------------------------------------7分

20

由/z(4)=0,^m=—,-----------------------------------------8分

下检验此时久了)恰有一个零点.

由对勾函数性质知，g(x)在(0,4］上单调递减，［4,+00)上单调递增.

「/、Inx(lnl6-lnx)'几,„/、“(In16一〃)

J(x)=-------------,攻〃=In尤,J(x)=---------

v7In21n8，'7In21n8

/(X)关于u在(o,ln4］上单调递增，［In4,+8)上单调递减,

因此〃x)在(0,4］上单调递增，［4,+CQ)上单调递减.

故在(0,4］上单调递增，［4,+00)上单调递减.

故此时〃(x)恰有一个零点4.-----------------------------10分

注:充分必要性步骤交换亦可。充分性也可通过不等式的方法

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Inx(lnl6—Inx)4,、、4结合取等条件得到

〃x)=

In21n8In21n8

法二:g（x）=x+——%在（0,4］为减函数，在［4,+oo）为增函数

/（x）=glog?x（4-log2x）在（0,4］为增函数,［4,+00）为减函数

记6（%）=〃引