2023年空间解析几何与向量代数知识点题库与答案

第八章：空间解析几何与向量代数

一、重点与难点

1.重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；

②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；

③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；

④平面的几种方程的表达方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面

的夹角；

⑤空间直线的几种表达方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），

两直线的夹角、直线与平面的夹角；

2.难点

①向量积（方向）、混合积（计算）；

②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所相应的图形；

③空间曲线在坐标面上的投影；

④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）

⑤平面方程的几种表达方式之间的转化；

⑥直线方程的几种表达方式之间的转化；

二、基本知识

1.向量及其线性运算

①向量的基本概念：

向量:既有大小,又有方向的量；

向量表达方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表达向量有向线段的长度表达向

量的大小有向线段的方向表达向量的方向.；

向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表达的向量记作靠.向量可用粗体字母

表达，也可用上加箭头书写体字母表达，例如，a、八八F或2、7、7、

F；

向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、%、壶的模分别记为⑷、油、|西

单位向量:模等于1的向量叫做单位向量；

向量的平行:两个非零向量假如它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与8平

行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线.

零向量:模等于0的向量叫做零向量，记作0或零向量的起点与终点重合，它的方向可

以看作是任意的.

共面向量：设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时假如k个终点和公共起

点在一个平面上就称这k个向量共面；

两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的

夹角称为向量a与b的夹角记作或假如向量a与b中有一个是零向量

规定它们的夹角可以在0与之间任意取值；

②向量的线性运算

向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合

此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作a+b即ca+b.

平行四边形法则：向量。与》不平行时，平移向量使。与力的起点重合，以内b为邻边作一

平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.

向量的加法的运算规律：⑴互换律a+b=b+a;(2)结合律(a+Z＞)+c=a+S+c).

负向量:设a为历来量,与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-

向量的减法:把向量。与分移到同一起点O,则从。的终点A向6的终点8所引向量最便

是向量b与a的差b-a.

向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是一个向量它的模|a||||a|

它的方向当＞0时与a相同当＜0时与a相反当0时|a|0即

为零向量这时它的方向可以是任意的

运算规律：(1)结合律/(")=〃(&i)=(X〃)a；(2)分派律(2+〃)a=Aa+jUa；A(a+b)=Aa+Ab.

向量的单位化(设a0则向量是与a同方向的单位向量记为ea，于是a|a|ea

定理1设向量a*0,那么，向量b平行于a的充足必要条件是:存在唯一的实数4使/>=加.

③空间直角坐标系

在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量入j、k,就拟定了三条都以。为原

点的两两垂直的数轴，依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.它们构

成一个空间直角坐标系,称为Qpz坐标系.

注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位；

(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线；

(3)数轴的的正向通常符合右手规则.

坐标面：在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以拟定一个平面,这种平面称为坐标面.

x轴及y轴所拟定的坐标面叫做尤Oy面,另两个坐标面是yOz面和zOx面.

卦限：三个坐标面把空间提成八个部分，每一部分叫做卦限，具有三个正半轴的卦限叫做第

一卦限，它位于尤Oy面的上方.在xOy面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、

第三卦限和第四卦限.在尤Oy面的下方，与第一卦限相应的是第五卦限，按逆时针

方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、

iv、v、vi、VILvni表达.

向量的坐标分解式：任给向量r,相应有点使=r.以为对角线、三条坐标轴为棱

作长方体，有r=OM=OP+PN+NM=()P+OQ+OR,

设OP=xi,OQ=yj,OR=zA,则r=OM=xi+yj+zk.

上式称为向量r的坐标分解式，尤i、yj、zA:称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.

点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一相应的关系

M<^r=OM=xi+yj+zk<^(x,y,z),

有序数％、y、z称为向量r(在坐标系。孙z)中的坐标，记作r=(x,y,z);

向量r=O卷称为点M关于原点。的向径.

④运用坐标作向量的线性运算

设Q=(6Zx,Cly,〃Z),b=(bx,by,Z?z)

。+8=(Qx+Z?%,dy-hby9Qz+bz).

a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz).

Aa-{Aax,右y4〃z).

运用向量的坐标判断两个向量的平行：设a=(ax,ay,〃z)M,b=(bx,瓦,Z?z),向量blla<^b=Aa,即

bllciodby,bz)=4(ax,ay,〃z),于是幺=%二%.

%ay%

⑤向量的模、方向角、投影

设向量r=(x,y,z),作OM=r,则

向量的模长公式

|r|二J%2+y2+z2.

设有点A(%l,yi,Zl)、B(X2,y2,22),

AB=OB-OA=(X2,丁2,Z2)-(凡yi,Z1)=(X2-X1,y2-yi,Z2-z。，

A.B两点间的距离公式为:(

方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角

设r=(x,y,z),贝Ux=\r\cosa,y=\r\cos/3,z=|r|cos/.

cosa、cos/?、cos/称为向量r的方向余弦.

COS1二告，cos/?=g,cos/=M・

\r\\r\|r|

从而COS26Z+COS2；04-COS27^=1.

投影的性质:

性质1(〃)〃=|a|cos夕(即P瑜Q=|〃|COS夕),其中e为向量与〃轴的夹角;

性质2(a+b)u=(a)u+(b)u(即PrjM(a+ft)=PqMa+PrjMfe);

性质3(Aa)u=A(a)u(即Prj„(/kz)=2Prji(a);

2.数量积、向量积、混合积

①两向量的数量积

数量积：对于两个向量a和“它们的模嗣、制及它们的夹角。的

余弦的乘积称为向量a和6的数量积,记作ab,即

ab=\a\|Z>|cos6).

数量积的性质：

(1)a-a=|a|2.

(2)对于两个非零向量。、瓦假如a-b=0,贝UalZ>;

反之，假如aXJb,则a-b=0.

假如认为零向量与任何向量都垂直,则aX-b=ab=0.

两向量夹角的余弦的坐标表达：

设Q(aJb),则当awO、辰0时,有

cos。=ab%瓦+叫6+5包

⑷⑶田+国+依优+好+优

数量积的坐标表达：

〃z),b=(bx,by,bz),贝Ua，b=axbx+ayby+ctzbz.

数量积的运算律：

(1)互换律：。协二)•〃；

(2)分派律：(a+b)c-ac+bc.

(3)(入①仍=a・@b)=入(。协)，

(九4>(日方)二九|i(a仍)，九、日为数.

②两向量的向量积

向量积:设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:

C的模|c|=|a||臼sine,其中。为C与方间的夹角；

c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从“转向》来拟定.

那么，向量c叫做向量a与b的向量积,记作axb,即

c=axb.

向量积的性质：

(1)axa=0;

(2)对于两个非零向量a、仇假如axb=0,则al1b;反之，假如al1b,则axb=0.

假如认为零向量与任何向量都平行,则allboaxb=0.

数量积的运算律：

(1)互换律QX》=_》XG;

(2)分派律：(a+8)xc=axe+bxc.

(3)(Xa)xb=ax(Xft)=X(axb)(九为数).

数量积的坐标表达:设a=(ax,%,〃z),b=(bx,by,b。

axb=(aybz-azby)i+(azbx-axb》j+(axby-ayb。k.

为了邦助记忆,运用三阶行列式符号,上式可写成

ijk

a^b=axayaz=aybzi-}-azbxj+cixbyk-aybxk-axbzj-azbyi

bxbybz

=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k..

③三向量的混合积

混合积：先作两向量a和b的向量积，把所得到的向量与第三个向量c再作数量

积，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc]

a*4%

[abc]=(。xZ?)•c=bxbybz

CxCyCz

混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表达以向量a、b、c为棱的平行

六面体的体积，假如向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，假如

a、b、c组成左手系,那么混合积的符号是负的。

三个向量a、b、c共面的充足必要条件事他们的混合积[abc]=O即

%az

瓦bybz=0

gCyCz

3.曲面及其方程

①曲面方程的概念

假如曲面S与三元方程F(x,z)=0

有下述关系：

(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=O;

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,

那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的图形.

例如：方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2(表达球心在点M0(x0y0z。)、

半径为R的球面

②旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫

做旋转曲面的轴.

设在yOz坐标面上有一已知曲线C,它的方程为

f(y,z)=o,

把这曲线绕Z轴旋转一周，就得到一个以Z轴为轴的旋转曲面.它的方程为

f(±Jx2+y2,z)=0,

这就是所求旋转曲面的方程.

在曲线C的方程八%z)=0中将y改成士田铲，便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面

的方程f(±y/x2+y2,z)=0.

同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y,±Vx2+z2)=o.

③柱面

柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的

准线,动直线L叫做柱面的母线.

例如方程/+产=配在空间直角坐标系中表达圆柱面，它的母线平行于z轴，它的准线是xOy

面上的圆/+9=代.

一般地，只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空间直角坐标系中表达母线平行于z轴的柱面,

其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.

类似地，只含X、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分别表达母线

平行于y轴和无轴的柱面.

④二次曲面

三元二次方程所表达的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面.

⑴椭圆锥面

由方程C+/_=z2所表达的曲面称为椭圆锥面.

⑵椭球面

由方程。„=1所表达的曲面称为椭球面.

⑶单叶双曲面

由方程号+步■-m=1所表达的曲面称为单叶双曲面.

(4)双叶双曲面

由方程4-^-4=i所表达的曲面称为双叶双曲面.

"Z?2cz

⑸椭圆抛物面

22

由方程与v+==Z所表达的曲面称为椭圆抛物面.

(6)双曲抛物面.

由方程?£

=z所表达的曲面称为双曲抛物面.双曲抛物面又称马鞍面.

方程=1,x1=ay,

b2

依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.

4空间曲线及其方程

①空间曲线的一般方程

设F(x,y,z)=0和G(尤,y,z)=0是两个曲面方程,它们的交线为C

所以C应满足方程组

]F(x,%z)=O

[G(x,y,z)=O

上述方程组叫做空间曲线C的一般方程.

②空间曲线的参数方程

空间曲线。上动点的坐标小丁、Z表达为参数/的函数：....⑵

z=zQ)

当给定t=ti时，就得到C上的一个点(Xi,A,Z1);随着t的变动便得曲线C上的所有点.方程组

(2)叫做空间曲线的参数方程.

③空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面

与xOy面的交线叫做空间曲线C在无Oy面上的投影曲线，或简称投影(类似地可以定义曲线

C在其它坐标面上的投影).

设空间曲线C的一般方程为.

(G(x,y,z)=0

设方程组消去变量z后所得的方程

H(x,y)=0,

这就是曲线C关于xOy面的投影柱面.

曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为:

H(x,y)=0

z=0

5平面及其方程

①平面的点法式方程

法线向量:假如一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量.

已知平面上的一点MO(xOyOzO)及它的一个法线向量n(ABC),

平面的点法式方程为:A(xxO)B(yyO)C(z(zO)0

②平面的一般方程

平面的一般方程为：AxByCzD0,其中xyz的系数就是该平面的一个法

线向量n的坐标即n(ABC)

特殊位置的平面方程：

D=0,平面过原点.

n=(0,B,O,法线向量垂直于无轴,平面平行于无轴.

n=(A,0,C),法线向量垂直于y轴,平面平行于y轴.

n=(A,B,0),法线向量垂直于z轴,平面平行于z轴.

n=(0,0,C),法线向量垂直于无轴和y轴,平面平行于xOy平面.

n=(A,0,0),法线向量垂直于y轴和z轴,平面平行于yOz平面.

n=(0,B,0),法线向量垂直于x轴和z轴,平面平行于zOx平面.

求这平面的方程

③平面的截距式方程为：(其中a0b0c0)该平面与x、y、z轴的交点

依次为P(a00)、Q(0b0)、R(00c)三点而a、b、c依次叫做平面在

x、y、z轴上的截距

④平面的三点式方程为：=0其中M(),N()

P(£，＞3，Z3)是平面上的三点。

⑤两平面的夹角

两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.

设平面4和万的法线向量分别为m=(Ai,Bi,G)和"2=(4,Bz,C2),那么平面口和"的夹角6

应是和(-/："2)=万-(炳：“2)两者中的锐角,

A

COS6)=1COS(«1,«)|-|A42+与82+G021

2J蜀+府+(7：.J国;段+废

平面771和近垂直相称于4A2+8I&+CC2=0;也即%垂直于％

平面77i和忆平行或重合相称于孕=裳=反.也即%平行于%

设Po(xo,g,zo)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,Po到这平面的距离公式为.

_IAY()+,By0+CZQ+D\

7A2+B2+C2

6空间直线及其方程

①空间直线的一般方程

空间直线L可以看作是两个平面刀1和正的交线.

假如两个相交平面771和正的方程分别为Aix+Biy+Ciz+Di=Q和

A2x+B2y+Ciz+D2=0,那么直线L满足方程组

[4x+B]y+Gz+Q=0/1\

[A2X+B2y+C2z+D2=0.

上述方程组叫做空间直线的一般方程.

②空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量：假如一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量.

容易知道,直线上任历来量都平行于该直线的方向向量.

己知直线L通过点M0(x0y0x0)(且直线的方向向量为s(((mnp)则直线L

的方程为:(叫做直线的对称式方程或点向式方程

注：当m,n,p中有一个为零，例如m=Q,而n,p^=0时,这方程组应理解为

x—x0

'y-yo_z-^o；

.np

当m,n,p中有两个为零，例如m=n=0,而pM时,这方程组应理解为

x-xo=O

j-%=0

设七包=2z2k=三,得方程组

mnp

x=x^+mt

＜尸为+而•

z=zQ+pt

此方程组就是直线L的参数方程.

③两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.设直线心和心的方向向量分别

7rs

为Sl=（/〃1,721,pi）和S2=0"2,改，P2）,那么Al和乙2的夹角夕就是以：S2）和（-S；:S2）=-（$1：2）两

者中的锐角，因此COS9=|COS（S］；S2）I

A\mAm2+nin2+pxp2\

COS°=|COS（S1,s2）|

J喈+/；+/；•

设有两直线Li：七五=2zX=£z3,心：土玉=匕逐=±至，则

mi々Pim2n2p2

L1±L20帆1机2+〃l〃2“lP2=0；

/1上。2=△=且

m2TliPz

④直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角0称为直线与平面的夹角，当

直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为9.

设直线的方向向量s=（九n,p）,平面的法线向量为"=（A,B,Q,直线与平面的夹角为夕，那么

（P*丁｛s:n）|,因此sin°=|cos（s：n）|

sin^=;\Am+Bn+Cp\

7A2+B2+C2-ylm-+n2+p2

由于直线与平面垂直相称于直线的方向向量与平面的法线向量平行,所以,直线与平面垂直

相称于

A^B=C

mnp

由于直线与平面平行或直线在平面上相称于直线的方向向量与平面的法线向量垂直，所以,

直线与平面平行或直线在平面上相称于Am+Bn+Cp=0.

设直线L的方向向量为（m,n,p）,平面刀的法线向量为（A,B,C）,则

ZJJ7O3=£=C;

mnp

L1177=Am+Bn+Cp=O.

三、疑难点解析

（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？

答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量

构成的平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。

数量积:a•b|n|\b\cosaxbxaybyazbz

向量积式ab（,|c|\a^b\sin

ijk

axb=axavaz=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi

bxbybz

混合积：[abc]==

（2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？

答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：：“绕谁（如x）旋转谁不变，此外

一个字母变成”。

（3）同一个方程在空间和在平面中表达的图形为什么不同样？

答：例如：，在平面上只有两个坐标，所以表达的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，

这个方程表达的就是圆柱了，即当满足上述方程，则对任意的z,也满足这个方程。

（4）求平面方程有几种方法,具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？

答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量,求平面的法向量经

常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量,也即找到两个向量做叉乘后所得到的向

量便可做所求向量的法向量。

(5)解与直线和平面相关的题时如何分析？

答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。然后在根据具体题来分析该如

何使用法向量和方向向量。

四、考点分析

(一)向量的的基本概念的相关知识

例1.平行于向量的单位向量为.

解：

例2.设已知两点，计算向量的模，方向余弦和方向角.

解、-(-1,-,1)

I1411271c3冗71

=2,cosa=——,cos/>=——,cos/=—,a=—=——，/=一

1121222343

例3.设，求向量在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.

解：a=13i+7j+15k,所以在x轴上的投影为13,在y轴上的分量为7j

例4、在空间直角坐标系｛O;｝下，求M(a,b,c)关于

(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.

［解］:M(a,b,c)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,-c),

M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(一a,b,c),

M(a,b,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,—b,c),

M(a,b,c)关于x轴平面的对称点坐标为

M(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(一a,b,—c),

M(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(一4,一〃,c).

M(a,b,c)关于原点对薪物寸称点的坐标为(一〃,一",一c).

(二)向量的数量积、向量积、混合积的计算

例5.设，求⑴(3)a、b的夹角的余弦.

解：⑴

ijk

axb=3—1—2=5i+j+7左

12-1

(2),

,c、,A..a-b3

(3)cos(a,6)=||

\a\-\b\2V21

例6.知，求与同时垂直的单位向量.

解：

ijk

a=MXM'2x=24-l=6i-47-4左

0-22

±同_±12717，2历，2旧｝

即为所求单位向量。

例7、已知，求的面积

解：思绪：=答案：

其中，|0A|=

例8、求单位向量，使且轴，其中

解：取，则。==8j-6k,=10,=，答案:

例9、a2=3,axb={1,1,1},求N(a,b)

解：=,»tan，答案：

例10.已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算：

(1)(«+b)2;(2)0+S)(a-S);(3)(3a-2b).(b-3c);(4)0+2b-c)2

解：

(1)(。+^)2=a+2az+b=1+2x0+22=5;

(2)(%+b)(a-b)=a2+b'=l-22=-3;

(3)(3a-2b).(B-3c)=3az-lb-9a.c+6b.c

。7

=-8-9x3.cos60°+6x2x3cos60°o=——;

2

(4)(a+2刃一c)2=a+4ab-lac-4bc+46+c~

=1—2x3cos60°-4x2x3cos60+4x22+32=ll

例11.已知平行四边形以｛1,-2,1｝为两边

求它的边长和内角求它的两对角线的长和夹角解

或

例12.已知，试求：

解：；.4.

原式=.

原式==9

例13、已知直角坐标系内矢量的分量，判别这些矢量是否共面?假如不共面,求出以它们为

三邻边作成的平行六面体体积.，，.，，.解：共面：

=二向量共面不共面=；•向量

不共面以其为邻边作成的平行六面体体积

(三)求平面的曲线与曲面

例14.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半，求此动点的轨迹方程，并指出此轨

迹是什么图形？

解:动点在轨迹上的充要条件是。设的坐标有化简得

故此动点河的轨迹方程为(x-6y+/=36

此轨迹为椭圆

例15.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.

工工工

⑴y2=x3;(2)%<+V=〃，，(〃>0)；(3)%3+y3-3axy=0,(a>0).

解:⑴卜=/3

y=t

J_J_J_

令1=^zcos48,代入方程

iiii

得=a。一a，cos20=sin2O.y=6zsin40

,x=6ZCOS40

.••参数方程为,.

y=asin40

⑶令y=Zx,代入方程%3+y3_3。个=0

得(1+F卜3—3〃比2=0

=>x2[(1+/卜—3T=0

八53at

=>x=0或x=-----r

1+F

、“Cr_L八”3at43ati

当％=0时，y=0;当%=-----时，y=------r

1+r1+r

3at

x=

i+7

故参数方程为<

3at2

y=

1+t3

(四)空间的曲线与曲面方程及投影

一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。

解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，

则A/(x,y,z)eCu>MA-\z\

亦即^(x-4)2+y2+z2=|z|

(x-钎+/=o

由于上述变形为同解变形,从而所求的轨迹方程为

求下列各球面的方程：

(1)中心，半径为；

(2)中心在原点，且通过点；

(3)一条直径的两端点是(2-3,5)与(4,1,-3)

(4)通过原点与(4,0,0),(l,3,0),(0,0,T)

(5)求中心在C(3,-5,2)且与平面2x—y—3z+11=0相切的球面方程。

解：(1)所求的球面方程为：

(x-2)2+(y+l)2+(z-3尸=36

(2)球面半径R=〔6?+(—2)2+3z=7

所以类似上题,得球面方程为

x2+y2+z2=49

(3)球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：

(X-3)2+(y+l)2+(z—l)2=21

(4)设所求的球面方程为：

因该球面通过点，所以

7=0

16+8g=0

4(1)

10+2g+6%=0

16—8左=0

解(1)有

7=0

h=—1

g=-2

k=2

所求的球面方程为x2+y2+z--4x-2y+4z^0

(5)球面的半径为C到平面：的距离，它为:

所以,规定的球面的方程为：

(x—3)2+0+5)2+(Z+2)2=56.

即：

例17、(1)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为—

,曲面名称为.

2)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程

,曲面名称为.

3)将xOy坐标面上的绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方

程为,曲面名称为.

4)在平面解析几何中y=x?表达____________图形。在空间解析几何中

y=/表达______________图形.

解：求旋转曲面方程的口诀：“绕谁(如x)旋转谁不变，此外一个字母变成

(1)/+z2=2x,旋转抛物面

(2)x2+y2+z2=2x,球面

(3)绕x轴：旋转双叶双曲面

绕y轴：旋转单叶双曲面

(4)、抛物线，抛物柱面

5)画出下列方程所表达的曲面

(1)z2=4(x2+y2)

解:

'o

(2)z=4(x2+y2)

解

例18、(1)、指出方程组在平面解析几何中表达____________图形，在空间=

析几何中表达______________图形.

(2)、求球面，+y2+z2=9与平面x+z=l的交线在xOy面上的投影方程.

(3)、求上半球OWzW与圆柱体％2+y2Wax(a〉0)的公共部分在

xOy面及xOz面上的投影.

(4)、求曲线在坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？

解：(1)、平面解析几何表达椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表达椭圆柱面与其

切平面的交线。

j2x2-2x+y2=8

m、v

z=0

(3)、在xoy面的投影为：，

在xOz面的投影为(?):

(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲线在面上的投影曲线方程为

F。原曲线是由旋转抛物面y2+z2—2x=0被z=3平面所截的抛物线。

z=0

例19、已知柱面的准线为：

'(x-l)2+(y+3)2+(z-2)2=25

<

x+y-z+2=0

母线平行于轴，求该柱面方程；

解:从方程

^-l)2+(y+3)2+(z-2)2=25

<

x+y-z+2=0

中消去，得到：

即：

此即为规定的柱面方程。

例20、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和，求这个椭圆抛物

面的方程。

解：据题意可设，规定的椭圆抛物面的方程为:

22

令拟定a与〃

•••(1,2,6)和(1-1,1)均在该曲面上。

有：

14

-----1-----=12

a2b2

11

-------1-----=2

[9a-b2

y13616

从而—7=,——

a25b25

所以规定的椭圆抛物面的方程为:

即:

(五)求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型(找到平面过的点和平面的法向

量)

注意运用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。

例21⑴、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

解：平面过点为(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量

为，再由平面方程的点法式方程知所求方程为：

(2)、求过点(1,1,-1),且平行于向量a=(2,1,1)和b=(l,T,0)的平面方程.

解：由于所求平面平行于向量aE2,l,l)和b=(l,-l,0),所以知道平面的法向量垂直于向

量a<2,l,1)和b=(l,-l,0),根据向量的叉乘知，在由点法式方程知所求平面为：。

(3)、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.

解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y轴，所以可以用z轴上的单位向量(0,1,0)为法

向量，再由点法式方程知所求平面为：

(4)、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和⑸1,7)的平面方程.

解：由于平面过两点M(4,0,-2)和N(5,1,7),所以过向量=(1,1,9),由由于所求平面

平行于x轴，所以平面平行于x轴上的单位向量i=(1,0,0),从而，再由点法式方程知

所求平面方程为：

x—2y+4z—7=0

(5)、求过点(2,0,-3)且与直线7垂直的平面方程.

3x+5y—2z+l=0

解：直线的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以，在由平面的点法式方程知所

求平面为：

(6)、求过点⑶1,-2)且通过直线*=皿=三的平面方程.

521

解：由于平面过直线，所以过直线上的点A(4,-3,0),已知过点B(3,1,-2),从而过向量

及直线的方向向量因此平面的法向量可求出，再由平面的点法式方程知所求平面为:

2%—2y+4z—7—0

(7)、求过点(20—3)且与直线1-'垂直的平面方程。

3x+5y—2z+l=0.

解：

所求平面方程为(x-2)-(y—0)—(Z+3)=0

即x-y-z-5=0

(8)、求过点，，且垂直于的平面.

解：法一：，所求平面法向量，且

___iik

.,.取〃=MM,x%=-74-3={6,3-10}

6-23

又平面过点，则平面方程为

解法2.在平面上任取一点，则和共面，由三向量共面的充要条件得，整理得所求

平面方程

(9)、求过直线，且与直线：平行的平面.

解：用平面束。设过直线的平面束方程为

由于所求平面与直线：平行，则所求平面的法向量()与直线的方向向量(1,T,2),

从而，因此所求平面方程为。

(10)、求通过了轴其与点M(5,4,13)相距8个单位的平面方程。

解:设通过轴的平面为它与点相距8个单位，从而

:'：可=8.二4882—10480—10502=0.因此(123—35C)(43+3C)=0.

从而得12B—35C=0或4B+3C=0.于是有B:C=35:12或5:C=3:(T).

所求平面为35y+12z=0或3y—4z=0.

(11)求过A(1,1,-2),B(-2,-2,2),C(1,-1,2)三点的平面方程

解-1,2Z，】，THa-2,33

■i=(l,-1,2X2-2.2)=0,1.0),

所求平面的法线向量为

iJ*1

■=i11Kli=0_23=-3i+9j,64.

31O|

所求平面的方程为

-SD+K尸即

(12)、已知直线，直线，求过且平行的平面方程。

解：

在上任取一点，

故所求平面方程为(x—1)—3(y—2)+(z—3)=0即x—3y+z+2=0

(13)、求过轴，且与平面的夹角为的平面方程.

解：平面过轴，不妨设平面方程为，则，且(

不全为)，已知平面的法向量为，两平面的夹角为，根据两法向量与两平面的关系

有，

所以所求的平面方程为：或

(六)求直线方程等相关知识点的各类常见的重要题型(找出直线所过的点与直线方向向

量)

例22(1)、求过点(1,2,3)且平行于直线二=工匚==的直线方程.

215

解：由于所求直线平行于直线，所以可取所求直线的方向向量为(2,1,5),又由于过点

(1,2,3),由直线的对称式方程知所求直线方程为：

(2)、求过点(0,2,4)且与两平面%+22=1,y-3z=2平行的直线方程.

解：所求直线与两平面，平行，所以该直线垂直于这两平面的法向量，所以也垂直于

这两法向量构成的平面，有两向量的叉乘知可去所求直线的方向向量为，再由直线的对

称式方程知所求直线方程为：

xy-2z-4

^2~3~1

（3）求过A/。（―1,0,4）且平行于平面3%—4丁+2—10=0又与直线学=）『=：相

交的直线方程。

解：设所求直线方程为

所求直线与已知平面平行,则所求直线的方向向量与已知平面的法向量垂直即有（1）

又所求直线与已知直线（相交）共面，在已知直线上任取一点，则

在平面上。三向量（所求直线，已知直线，）共面，得，

即10〃2—4〃-3P=0（2）

由（1）（2）,得所求直线方程：

程.

（4）、求在平面：上，且与直线垂直相交的直线方程.

解：所求直线与已知直线L的交点，过交点且垂直于已知直线的平面为。

答案：

（5）通过点A（-3,0,1）和点3（2,—5,1）的直线；

解:所求直线的方向向量为（5,-5,0）

由直线的对称式方程知所求直线方程为：，亦即。

（6）通过点M（l—5,3）且与羽y,z三轴分别成60°,45°,120°的直线；

解:欲求的直线的方向矢量为：，

故由直线的对称式方程知所求直线方程为：。

（7）通过点2）且与两直线『=j=V■和;==工垂直的直线；

O

解:欲求直线的方向矢量为：，所以，直线方程为：

x—1_y_z+2

---------------------------=---------------------O

112

x+y+z+l=O,

（8）用对称式方程及参数式方程表达直线

2%—y+3z+4=0.

解：，取得

5

_1z—

故直线的对称式方程为2=匕=—4

4-1-3

x=4t

直线参数式方程为(y=T+l

z=-3t+—

[4

（七）运用平面与直线的位置关系找出法向量与方向向量，求平面与直线的夹角、距离、

位置关系、直线与平面的交点计算等相关知识点的各类题型

例23.判别下列各直线之间的位置关系：

x=1+2?,

1)L,:—X+1='+1=~+1与L,:<y=2+t,

1232-

z=3.

解：，，

所以A

±L2

‘2x+y-1=0,

(2)L,:—x=———与L,:<

1