2024-2025学年河南省高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省新未来高三（上）开学数学试卷

一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知单位向量标的夹角为方，则2（23一之）=（）

1

A.-1B.--C.0D.1

2.双曲线C：誓一誓=1（6>0）的离心率为（）

A.A/3B.2^/3C.2D.§

3.以点（1,1）为圆心的圆C截直线y=x+2所得的弦长为24，则圆C的半径为（）

A.1B.A/2C.2D.A/5

4.随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京、北京、西安、厦门、杭州这5

个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（）

1322

A.-B.-C.耳D.—

5.已知角a的终边经过点（一3,4）,则2sinacosa+"cos（2a+今=（）

A旦B—c——D——

a25m255525

6.如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1,圆台的

下底面圆的半径为2,圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为（3避+2）心则瓶子的体积为（）

A107T

A.

B.47r

147r

c•亍

D.殍

7.已知函数/（*）=岳，则函数/（x）的图象的对称中心的坐标为（）

A.(—1,—3)B.(—1,3)C.(—1,—2)D.(—1,2)

8.在△力BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若琮火心,磊成等差数列，则焉义的最小值

COSACOSDCOSCCOSDCOSC

为()

A.3B.4C.5D.6

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.已知复数z=彩，贝1()

A.z=1—i

_2025

B.z=—i

C.复数z+1是方程%2—2%+2=0的一个根

D.复数(z+l)(z+2)在复平面内所对应的点位于第二象限

10.已知函数/(%)=支一二+1的最大值为1,贝)

A.a=0B.当租2<n2时，y(m2)</(n2)

11

c./。。北W)<f(/。。21)D.当一时，/-(%)>1-x2

11.已知抛物线C：必=2「穴0>0)的焦点?到准线的距离为2,过焦点尸且不与x轴垂直的直线与抛物线C相

交于4(均,月)，3(>2)2)两点，过原点。作直线48的平行线与抛物线C交于另一点P,贝ij()

A,p=2

B.线段OP的中点和线段A8的中点的连线与x轴平行

C.以点0,P,A,B为顶点的四边形可能为等腰梯形

D.\0P\—|%2—xi\

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4={划一1WxW2},B={x||x-l|<m},若4uB=B,则实数ni的取值范围为

7T.

13.已知函数/'(久)=sin2x+sin(2x—目)在区间(0即)上有且仅有2个零点，贝!|

实数机的取值范围为.

14.如图，在四棱锥P-4BCD中，P41平面4BCD,底面ABCD为正方形，PA

=AB=2,点E,尸分别为CD,CP的中点，点7为△P4B内的一个动点(包括边

界)，若CT〃平面4EF,则点T的轨迹的长度为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数=ax+伍x+§在点(2,1(2))处的切线方程为y=x+1+ln2.

(1)求a,6的值；

(2)求函数f(x)的单调区间和极值.

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16.(本小题15分)

某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为

s洋=10,化学成绩的方差为房=8,£巴或=500500,其中如y®C。且1WJW50)分别表示这50名学生的

数学成绩和化学成绩，y关于x的线性回归方程为y=0.4%+t.

(1)求y与x的样本相关系数r；

(2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩〃服从正态分布N(〃"2),用样本平均数I作为〃

的估计值，用样本方差s打乍为。2的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间(96.84,106.32)

的人数.

附：①回归方程y=a+bx中：b=*=_"一"—y),a=y-bx

—%)2

X之i(符一式)(%—y)

②样本相关系数r=

Jx^iCxt—x)2S；Li(yi—y)2

③若〃~N(〃,<J2),则p(〃—(JW〃W〃+=0.68,P(/z—2a<TJ<n+2cr)®0.95

(4)710«3.16

17.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC—a/iCi中，4B=44i=2,BlE=EC1,CF=CrF.

(1)证明：BCJ平面AiEF；

(2)若Q=AAB(0<A<1),求直线P&与平面4止F所成角的正弦值的最大值.

18.(本小题17分)

已知椭圆C：胃+居=l(a>6>0)的短轴长为2,点(1亭在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设点7(租,九)在椭圆C上(点T不在坐标轴上)，证明：直线方■+几y=1与椭圆c相切;

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(3)设点P在直线x=—1上(点P在椭圆C外)，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为4B,。为坐标原点，

若APAB和△04B的面积之和为1,求直线的方程.

19.(本小题17分)

欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积,

如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数小记/(九)为n的所有正因

数的个数，g(n)为ri的所有正因数的和.

(1)若数列斯=/(3"),0=g(3'),求数列cn=怠］的前几项和右;

(2)对互不相等的质数p、q、r,证明：/(p3q2r)=/(p3)/(q2)/(r),g(p3q2r)=g(p3)g(q2)g&),并求荒喋林

的值.

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参考答案

l.c

2.C

3.0

4.B

5.D

6.A

7.C

8.4

9.SC

IQ.ACD

11.ABD

12.[2,+8)

[2IT13TT->

",(丘IT」

14.字

15.解：(l)f(%)的定义域为(0,+8),

由题知,/(2)=3+ln2=2a+ln2+即4a+b=6①,

又/'(X)=a+/_备，所以尸(2)=a+,_：=1,即4a—b=2②,

联立①②解得a=1,6=2.

(2)由⑴知，尸(%):=j+,_登+2誓-1),fQ)=x+)x+|,

当0<%<1时,/''(%)<0,当久>1时，f(x)>0,

所以/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8),

所以当久=1时，/(x)取得极小值-1)=3,无极大值.

16.解：⑴因为的=奈昌(阳一x)2=10用=奈当y)2=8,

所以£出(％-x)2=500,£出(%-y)2=400,

又b=X。式”-X)*-y)=£二式％一久)(%—y)=04,

比1(4—久)2500

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所以万当(招一%)(%->)=200,

m।、Ix)(%-y)一200=委

所以r=1-------Z----------—7500X400~~s~;

婕式修—光)2鹏(%—y)2

__2

(2)因为£昌(%一工)2=£当瞪—50x=500,£昌蜡=500500,

_2

所以500500—50%=500,

解得x=100,即4=100,

因为》=10,所以(i=3.16,

所以数学成绩4服从正态分布N(100,10),

因为P(96.84<r)<106.32)=P(〃—a<r)<(j.+2cr)

=P(〃—(T<7/<0)+P(0<T]<[1+20)

=^-P(/z—。<〃<〃+(7)+；P(ju—2(J<T)<[I+2。)

~1x0.68+1o.95-0.815,

所以该校高三学生数学成绩位于区间(96.84,106.32)大约有800x0.815=652人.

17.(1)证明：取BC的中点0,连接。4OE,

因为。，E分别为BC,Bi。的中点，且三棱柱4BC—为正三棱柱，

所以。E_L平面4BC,

又4。，BCu平面ABC,所以。EIBC,0E14。，

因为△&8C为正三角形，所以4018C,

故OC,OA,OE两两垂直，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(-1,0,0),Ci(l,0,2)/i(0,4,2),E(0,0,2),F(l,0,1),4(0,居0)，

所以港=(0,—4,0),而=(1,一8,一1),西=(2,0,2),

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因为硬•跖=(0,—^,0)•(2,0,2)=0,而•瓦=(1,一书,一1)•(2,0,2)=0,

所以BCJAIE,BQ1&F,

y.A1ECtA1F=A1,ArE,々Fu平面占后凡

所以BC—平面&EF.

(2)解:由(1)知,硕=(0,0,-2),同=(一1,一居0)，

所以ZiP=A1A+AP—AIA+A.AB=(0,0,—2)+A(—1,—y/^,0)=(—A,——2),

由(1)知，平面&EF的一个法向量为展=(2,0,2),

记直线P&与平面&EF所成角为仇

I布•丽=⑷+41=典Q+2)2_"X1十奴+3

则sin。=~2网4入2+4-丁X

I砌•I两A2+14十入2+1

令44+3—t,则A——,

所以常1=」李=甘蓝三珏*=4,当且仅当t=5,即4/时等号成立,

所以S讥"

所以直线P4与平面AEF所成角的正弦值的最大值为孚.

4

但+我21=i「

18.解：（1）由题知，年十一^一，解得a=",6=1,

2b=2

7

所以椭圆C的标准方程:+y2=i.

2

（2）证明：因为点?⑺刀）在椭圆C上，所以拳+层=1,即/+2*=2,

笆+产=]

联立施+ny=]消去y整理得（2话+m2）%2—4mx+4—4n2=0,

即2/—4nix+2nl2=o,即（久—m）2=o,显然方程有唯一解,

所以直线等+ny=1与椭圆C相切.

⑶设%）,8。2,。2），P（—l,t），

将x=—l代入9+必=1,解得y=士孚，

因为点P在椭圆C外，所以t<—孝或t>字，所以2t2—1〉0,

由（2）可得，切线P4PB的方程分别为罟+%y=l,等+y2y=1，

因为点p在切线pa,PB上，所以-2r1+2=1厂2支2+,及=1，

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所以点A,8在直线~^+ty=1,即直线ZB的方程为％—2ty+2=0,

联立{：2；即*2==°0得(2/+1)产—4ty+1=0,/>0,

贝M+72=2/；=丞21K

所以|4B|=44t2+1,(%+及)2-4yly2=另4t2+1、值慝不)2•-左二

_2j(4t2+l)(2t2-l)

2t2+1，

记点。，P到直线4B的距离分别为心，d2,

而，2,12t2—1|2t2-1

人」询-谬不142-声甲T一^TT

因为△P48和△04B的面积之和为1,

所以54B|(di+d2)=V⑷2；；誉2-11X+^=)=N2t2—1=1,

解得t=±1,所以的方程为x-2y+2=0或％+2y+2=0.

19.解：(1)由题意可知:3n的正因数有3。，3*1,32,…，3n,

nn

则册=/(3)=n+l,bn=5(3)=30+31+32+…+3几=1=3"+「,

r/曰3/,3"+i,4X3"+111、

可付“==^ix^i=(3"+I_1)(3"+2_1)=2-^^7)，

rr_11,11,11_12

hIc+-4+，,+n+1-n+2A--n+2

rnr-33-133-13-1•3-13-1^43-1'

(2)证明：若%为质数，则/(%九)=71+12(%九)=]+%+—+