2025年高考数学复习及：三角函数的图像与性质 学案讲义

三角函数的图像与性质

知识导引

本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数y=/sin（0x+0）.三角函数的图象与性质的

基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质，并要掌握好“五点法”作图;对函数

7=Asin（（ax+（p）图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定），

再整合成完整的问题解决的方法安排内容.

1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图，能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性

质（周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等）；能借助正切线讨论正切函数的性质（周期

性、奇偶性、单调性、值域等），理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数

图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.

（1）“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点，三个平衡位置（点）；

（2）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”，要特别注意“每一个值”

的要求；

（3）正切曲线是被相互平行的直线》=匹+左左所隔开的无数支曲线组成的，正切曲线的

2

对称中心坐标为［等,0）,斤eZ.

2.对于函数〉=/sin（（yx+0）,要注意以下几点.

（1）会用"五点法"作函数y=/sin（0x+0X，>OM>O）的图象.

（2）理解并掌握函数〉=45亩（0工+9）（/>。,0>。）图象和函数y=sinx图象的变换关系,通常

为:相位（平移）变换一周期变换一振幅变换.

相位变换:所有点向左（0>0）或向右（0<0）

具体：j=sinx=>y=sin(x+<p)

平移|如个单位长度

周期变换：横坐标伸长（0<。<1）或缩短（。>1）、

-------------------------------------------------------------=>y=sin（«x+<p）

到原来的!（纵坐标不变）

（O

振幅变换：各点纵坐标伸长（4>1）或缩短（0<A<1）_

y=Asin(ox+<p)

到原来的/倍（横坐标不变）二

注意,若周期变换在前,则一般公式为

平移变换

y=smcoxy=sin[<w(jc+(p)\=sin((yx+co(p),

平移|外个单位长度

平移变换

y=sintwx(P_-sin(6t>x+(p).

平移且个单位长度CD

CD

（3）当函数>=Zsin（④v+9）（4〉0,0>0,x£表示一个振动量时，/叫做振口鬲，T=—^~

CD

叫做周期，/=/叫做频率，0X+0叫做相位，夕叫做初相.

一般结论：函数y=Asin（ft>x+cp）及函数y=4COS（GX+9）（其中xeR,4GM为常数，且

/工0,。>0）的周期T=红.

CO

数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借

【进阶提升】

【题目9］

求函数y=Jcosx-：的定义域.

审题将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数

线解决.

解析利用^=3》的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期［-万㈤内，满足cosx…q的解

为-匹,,马匹，故所求函数的定义域为

33

|—+2kn,,x,+2kn,ke.

图1图2

回炉本题是求复合函数的定义域问题，应先确定使二次根式、三角函数有意义x的的取值范

围，易错误提示：当列出有关tanx的式子时，应注意其中隐含的条件.

如解tanx../］利用y=tanx的图象(图3)或单位圆(图4)得xe左左+戈•，跖左eZ

图3图4

【相似题9】

求函数y=lg(-sinx)+A/l—tanx的定义域.

函数f(x)=(l+VTtanx)cosx在区间-匹，匹上的值域为审题本题为含正切与余弦的三角

函数在某一区间上求值域的问题，一般化为同角且同名的三角函数，转化为探讨形如

f(x)=Asin(cox+(p)的式子在某一区间上的值域.

解析由已知得/(x)=(1+V3tanx)cosx=cosx+V3sinx=2sin^x+^-J.

因为-年,x”0，所以-亲,x+看,,5,所以-sin[x+菅]”1,所求值域为[-1,2].

回炉先利用三角函数公式将已知函数化为〃x)=/sin(ox+o)的形式,再利用正弦函数的性

质可得所求的值域,解题时要注意定义域的范围和/的符号.

【相似题10]

己知y="6cos3x的最大值为方，最小值为■，求实数a与6的值.

[题目11]

已知sinx+sinj=y,则siny-cos?x的最大值是.

审题本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数siny-cos?》

的值域问题.一般解法为消元,根据已知条件将siny用sinx表示,利用三角函数的基本关系

式将cos?》用sinx表示，所求的式子肺般化为关于sinx的二次式，其中整理得到

51"-32]="1-/-苦，最后利用5由工的取值范围，结合二次函数图象进行求解.

解析因为sinx+siny=5,所以sin>=?-sinx.

函数siny-cos2x=y-sinx--sin2=sin2x-sinx-y=^sinx-一段.又因为

一L,sin乂，1,所以一L,--sinl,-y„sinA;,1.

当sinx=-2时，siny-cos2x取最大值4.

39

回炉解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与

性质.解题关键在于消元,将目标式sinj-cos2x转化为关于sinx的二次式,这里确定sinx

的取值范围-泉，sinx”1是一个易错点.事实上sinx=-l不成主,否则siny>1,矛盾.

【相似题11】

已知3sin2x+2sin2>=2sinx,贝（]sin2x+sin2y的最大值为,最小值为.

[题目12]

函数》二sinxcosx+sinx+cosx的值域是.

审题令sinx+cosx=/，借助sinx,cosx的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于才的二次

函数，由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.

解析令sinx+cosx=，，则/=V2sin(x+亍)G[-V2,V2-].

、,t2-1

对sinx+cosx=，平方，得l+2sinxcosx=/2,所以sinxcosx=-------.

2

所以昨占1+=[(?+1)2一1,值域为11,71+1.

回炉三角函数运算中和(sinx+cosx)、差(sinx-cosx)、积(sinxcosx)存在着密切的联系.

如

(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2,(sinx+cosxf

-(sinx-cosx)2=4sinxcosx等.在做题时要害于观察，进行相互转化.本题在换元时，注意

tE[―A/2~,A/2"].

【相似题12]

函数>=sin尤cosx（0<x（万）的值域是________.

sinx-cosx+1

【题目13)

函数y=其J的最大值是______.

2+cosx

审题本题涉及异名三角函数的分式型函数j=殁hx+2,可用反解和三角函数的有界性求

CCOSX+6?

最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切，利用基本不等式求值;或

用斜率的几何睢义求解.

解析1(反解与有界性)

去分母可得2y+ycosx=sinx,所以sinx-ycosx=2y,

_____o

y

故J]+y2sin(x+(p)=2j/,sin(x+(p)=.9,其中tan(p=-y.

Jl+V

由三角函数的有界性知|sin（x+0）|1,所以,2二,,1,解得-g,J,g

故所求的最大值为五.

3

解析2（斜率的几何意义）

将^=sin匚化为y=sinx-0,

2+cosxcosx-（-2）

y可看作动点尸（cosx,sinx）与定点4（-2,0）连线的斜率k.

易得。(cosx,sinx)在单位圆/+>2=]上，且左_y,

x+2

单位圆f+/=1的圆心。到直线y=k(x+2)的距离d=-4==„1,

J/+]

可得上2”;一°^”人,五.故所求的最大值为五.

33

解析3（代数法）

由＜酸二：得O+E4J"

令△=16/-4（1+1）（4/一1）…0,可得后I,（，-乎,，仁孚.故所求的最大值为手.

解析4（半角公式、万能公式、基本不等式）

因为

,2sin—cos—2sin—cos—2tan—

sinx_________________2222=2

2

2+COSx_2/in2X+cos2工)+cos2X_sin2X3cos2工+sin2工-3+tan^

\22/22222

（分子分母同除以COSz王）

2

要使函数y=smx最大,贝I]tan工>0.

2+cosx2

2tan—

22V3

从而y=......-当且为当tan工=g■时取等号.故所求的

tanJ，”而F

3+tar?工2

22tan工

2

最大值为印

2tan—

解析5由解析4得y=-----二，将其化为ytai?三-2tan±+3y=0.

3+tan2-22

2

当y=0时，tan—=0,成立；

2

当ywO时，tan5wR,贝！JA=4—4广3乂..0,得丁”言.

故所求的最大值为々工.

3

回炉本题考查分式型函数y=asinx+A最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何

ccosx+d

的统一.

【相似题13］

函数＞=2sin±+L的值域是________.

sinx-2

［题目141

已知函数/(x)=sin［^-2xj,求：

(1)函数/(x)的单调递减区间.

(2)函数/(x)在区间［-肛0］上的单调递减区间.

审题本题研究三角函数"X)=/sin(ox+0)的图象与性质，在求单调区间时，一般将COT+cp

看作一个整体，将正弦函数的单调区间代入求解，同时注意4。的符号对增减的影响.

解析⑴原函数化为=,求函数/(x)的单调递减区间等价于求

y=sin"x-q)的单调递增区间.

令2kn-拳、2x-手.，Ikrr+女，后eZ,解得kn-x„kn+后eZ.故函数/(x)的单调

递减区间为「"一区,版'+包］%eZ).

L1212J

(2)函数/(x)的单调递陵区间与区间［-肛0］取交集即可.

函数/(x)的单调递减区间为k兀一&k兀+爷(斤eZ),经分析可得人只能取0

和-1.故/(x)在区间［-肛0］上的单调递减区间为-五,0和-肛-互.

_12__12_

回炉解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式/。)=加皿的+夕)，应注意。＞0,把

ox+0看作一个整体，根据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若

要求某一个区间上的单伍区间，则对通解中的先进行取值,便可求得函数在这个区间上的单

调区间.

【相似题14］

已知。是正数，函数y=2sinox在区号一半3上是增函数，求。的取值范围.

题目15

已知函数/(x)=sin(20x-^^0>O)的最小正周期为万，则函数/(x)的图象的一条对称轴

方程是()

A兀D兀「7T

JX.X=---B.X=—C.X=-5--%-1n).X=—

126123

审题本题已知函数/(X)的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的解析式,再进一步研究

其图象对称轴方程的求法.

解析1结合函数“X)的周期公式7=2已，得0=1,所以/(x)=sin(2x-匹].由于函数在对

2。<37

称轴处取到最值,将选项代人/(X)的解析式检验即可,故选C.

解析2由解析1知/'(x)=sin(2x-q].

令2x-匹=左乃+—(A：eZ),解得x=+^-(keZ).

32212

所以直线苫=普是/(x)图象的一条对称轴，故选C.

回炉本题解题的关键是先由周期公式求得。的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两

种方法:一种是直接求出对称轴方程;另一种是根据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函

数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.

【相似题15]

若函数/。)=5出与幺(0©[0,2%))是偶函数,则0等于

题目16

若函数/(x)=tzsinx+cosx的图象关于直线、=匹对称,则实数.

审题三角函数的图象直观体现了三角函数的性质，主要特征是对称性、值域和单调性.解决问

题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.

解析1若函数f(x)=yja2+1sin(x+(p)的图象关于直线x对称,则

二]=Ja1+1为最大值,即±Jq2+1-<之。+解得a=V3.故填VJ.

13J22

解析2若函数/(x)=qsinx+cosx的图象关于直线x对称,则

/(0)=一3,解得a=V3.故填V3.

*解析3若函数/(x)=QTTsin(x+0)的图象关于直线x=£对称,则

彳)=0.又f\x)=(asinx+cosx)'=acosx-sinx,即acos彳一sing=0,角率得a=V3.故

填VI.

回炉正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关髓是求a的值，由图象关于直线x=三对称

3

得+j='ll1一j'从而求求°的值，过程比较复杂.若换用特殊值点来求，小

/(0)=/色■万)，注意f(a-x)=f(b+x),则/(x)的图象关于直线》=甘对称；而

y=/(4-》)与夕=/(6+x)的图象关于直线x="”对称.

【相似题16］

若函数f(x)=asinx-bcosx(a,b为常数，awO,xeR)在x=£处取得最小值，则函数

>=/［为-。是()

A.偶函数,且它的图象关于点(肛0)对称

B.偶函数，且它的图象关于点［音,对称

C.奇函数,且它的图象关于点(肛0)对称

D.奇函数,且它的图象关于点［音,o］对称

［题目17］

若函数/(xXZsin(乃X-点)对于任意xeR,都有f)„f(x>,f(x2),则忖-引的最小值为

A.—B.—C.1D.2

42

审题本题考查三角II函数定义,三角函数周期的求法，以及计算能力和理解能力.

解析由题意知/(国)和/@2)分别为函数/(x)的最小值和最大值，故|西-引的最小值为函

数的半周期.又周期7=2,故人-引的最小值为1.答案为。•的最小值就是函数的半周期,

求解即可.

*一般地，函数/(xhsin⑨x+singx的周期为7；=互和4=2丑的最小公倍数，但函数

0>］®2

/(X)=sin2x+sin/rx不是周期函数,不存在周口具.

易错警示:考虑到|「sinx|,|cosx|的周期均为了，则y=|sinx|+|cosx|的周期为万.此为错误解

法.

【相似题171

为了使函数y=sinox(0>O)在区间［0,1］上至少出现50次最大值，则a的最小值是

【题目18】

已知函数y=2sin12x+彳

⑴求它的振幅、周期和初相.

⑵用“五点法”作出它的图象.

(3)7=2sin+彳]的图象可由y=cosx的图象经过怎样的变换得到？

审题熟悉三角函数图象的特征，掌用“五点法”作图不图象变换.

解析⑴y=2sin〔2x+。]的振幅为2、周期为万、初相为

(2)列表如下.

n77r5n

X

12~312T

7t37r

2工+年0尺2K

•5~2T

sin（2x+f）010-10

2sin^2x+-^-j020-20

所作图象如下.

(3)解析1(先平移后伸缩)

先将函数"cosx=sin(x+方)的图象向右平移£个单位长度，得y=sin[x+0);再将横

坐标变为原来的纵坐标不变,得了=6«2工+3);

最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得y=2sin(2x+q].

解析2(先伸缩后平移)

先将函数y=cosx=sin[x+5]的横坐标变为原来的段，纵坐标不变,得y=sin[2x+5];

再将图象向右平移言个单位长度，得y=sin(2x+qj;

最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得y=2sin(2x+q].

回炉本题主要考查y=/sin(s+0)的图象，以“五点法”作图求解最为方便，但必须清楚它

的图象与函数》=sinxj=cosx图象问的关系，弄清怎样由函效y=sinx,y=cosx图象变换

得到.要注意,在不同的变换中顺序可以不同,平移的单位长度可能不同.

【相似题18]

己知a是实数,则函数/⑴=1+asinax的图像不可能是()

[题目19]

已知函数y=/sin(0x+e)(/>0,|同的一个周期的图象如图所示.

(1)写出解析式.

(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标.

(3)求函数的单调区间.

审题本题为已知函数y=/sin(s+9)的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点

(“五点法”)求心

解析(1)由图象知振幅/=3,周期7=乃，所以。=红=2,所以

2T

3.

•V=Qsin(2x+(p).

代人初始点