2025年高考数学江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面解析几何（含解析）

江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面解析几何-2025年高考数学核心考

点突破

一、单选题

1.（23-24.江苏南京.模拟）方程（0-1次-y+2°+1=0（4€1＜）所表示的直线（）

A.恒过点（-2,3）B.恒过点（2,3）

C.恒过点（2,-3）和点（2,3）D.恒过点（-2,3）和点（3⑵

2.（23-24.江苏南京二模）已知直角梯形A58,且A（U）,B（3,l）,C（3,3）,£＞（2,3）,则过其中

三点的圆的方程可以为（）

A.（x-2）2+y2=3B.（X-2）2+/=2

C.（x-2）2+（y-2）2=2D.（x-3）2+（^-2）2=2

3.（23-24•江苏南京•三模）设圆G：f+/一10彳+4/+25=0与圆Cz：犬+产-6尤+8=0,点A,B

分别是C-G上的动点，M为直线y=x+l上的动点，则+的最小值为（）

A.20+3B.3-2忘C.672-3D.60+3

4.（2024•江苏苏州•三模）已知过抛物线C：V=4x的焦点F的直线与C相交于两点，V轴上一

点尸满足则OP.OB=（）

A.1B.2C.-1D.-2

22

5.（23-24•江苏南京•一模）已知A为椭圆3+与=1（。＞6＞0）的左焦点，氏C都在此椭圆上，OABC

ab

是菱形，则此椭圆的离心率为（）

A.由B.73-1C.D.-

323

6.（23-24.江苏南京•模拟）已知A,3是圆。:必+产=4上两点，且|川?|=2,直线x=my+4上存在

点P使得04+02=0尸，则根的取值范围为（）

”（_好心、

22

7.（23-24.江苏南京.二模）在平面直角坐标系宜方中，点户是椭圆土+匕=1上的动点，椭圆的左、

259

右焦点分别为月，F2,则卢局的最大值为（）

68

A.572B.2C.—D.一

Y55

8.（2024•江苏扬州•模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面

22

反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E-.与一斗=1（。>0,6>0）的左、

ab

右焦点分别为乙，尸2,从尸2发出的光线经过图中的45两点反射后，分别经过点。和0,且

4

cosABAC=――,AB-BD=0,则E的离心率为（）

A典B.亘C.巫

D.非

352

二、多选题

9.（23-24•江苏南京•二模）已知。是坐标原点，直线y=%（x-l）过抛物线E：V=2px（p>0）的焦点，

且与E交于A3两点点A在第一象限，且直线与E的准线/交于点C,则下列说法正确的是（）

A.p=2

B.若k=1,贝AB=12

C.若BC=2BF,贝|左=3

3

D./AOB为钝角

10.（23-24・江苏扬州・模拟）已知圆O:Y+y2=4,贝ij（）

A.圆0与直线〃式+了-m-1=。必有两个交点

B.圆。上存在4个点到直线/“-、+拒=0的距离都等于1

C.圆。与圆f+y?-6x-8y+根=0恰有三条公切线，则〃?=16

D.动点尸在直线x+y-4=0上，过点尸向圆。引两条切线，A3为切点，则四边形丛。8面积

最小值为2

22

11.（23-24.江苏南京•模拟）如图，Q是椭圆。］：5+==1（〃〉“0）与双曲线

ab

22

c?：j-与=i（〃?>o,〃>O）在第一象限的交点，且G，共焦点片，鸟，/片「8=e，G，G的离心率分别

mn

为G，G，则下列结论正确的是（）

A.|尸耳|=.+闻P闾=a-m

134

B.右，=60，则/十/=4

C.若，=90，则d+W的最小值为2

6n

D.tan—=

2b

三、填空题

12.（23-24・江苏南京•模拟）设尸是直线/：x+y+l=0上的动点，过尸作圆C:（x-3）2+（y_4>=4的

切线，则切线长的最小值为.

22

13.（23-24高二下.上海.模拟）该椭圆C:土+匕=1的左右焦点为斗鸟，点P是C上一点，满足

369

/月产工=90,贝卜百尸弱的面积为.

14.（2025•江苏苏州•模拟预测）已知抛物线£：丁=22武2>0）的焦点为歹，满足若过点尸（-1,1）的

UFVF

直线交C1于U,V,则有万万=话.在C1上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为g,则G的

轨迹方程为,试给出一圆「，使得对G上任意一点T,过点T作「的两条切线分别交G于

不同于T的点48,则48必为「的切线：.

四、解答题

15.（23-24•江苏无锡•模拟）己知圆C过三点（1,3）,。,-7）,（4,2）.

⑴求圆C的方程;

（2）斜率为1的直线/与圆C交于M,N两点，若CMN为等腰直角三角形，求直线/的方程.

16.（23-24•江苏南京.模拟预测）己知椭圆C：3+/=l（a>b>0）的离心率为坐，且过点尸（2,⑹.

⑴求椭圆C的方程;

⑵过右焦点厂的直线/与椭圆C交于A,B两点,若AF=3FB，求的面积.

22

17.（2024•江苏•三模）已知M为等轴双曲线「1-5=1（〃>0］〉0）上一点，且M到「的两条渐

ab

近线的距离之积等于1.

（1）求「的方程；

（2）设点尸在第一象限，且在渐近线的上方，分别为「的左、右顶点，直线PAPB分别与y轴交于

点C,。.过点尸作r的两条切线，分别与y轴交于点瓦尸（E在下的上方），证明：13=1。尸|

18.(2024.江苏南京・二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与双曲线Ea:b=1(«>0,&>0)

有公共的焦点R且。=4).过尸的直线/与抛物线C交于A,8两点，与E的两条渐近线交于P,

Q两点(均位于y轴右侧).

(1)求E的渐近线方程；

(2)若实数力满足彳-7|=FTTH_TRFT,求2的取值范围.

{,\OP\\°Q\)\AF\\BF\

19.(23-24•江苏南京•模拟)如图在平面直角坐标系中，48分别是双曲线

22

(?:=-2=1(。>0,6>0)的左右顶点，动点尸在双曲线的右支上且位于第一象限，直线AP和8P分

ab

别与，轴交于点M，N,当。点坐标为(3jJ2一时，直线OP刚好与双曲线的一条渐近线垂直.

44

N

(1)求双曲线c的标准方程；

(2)是否存在定点。，使得以MN为直径的圆过点。，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由;

⑶求四边形AWBN的面积的取值范围.

参考答案：

1.A

【分析】将方程(a—l)%-y+2a+l=0(awR)化为(%+2)a-x-y+l=0(QwR),令〃的系数等于0,即

可得到答案.

［详解］(«—I)x-y+2a+l=0(aeR),/.(x+2)6z-x—y+l=0,

fx+2=0fx=—2

令an，解得a,

即方程(a-1)%-y+2a+l=0(acR)所表示的直线恒过定点(-2,3).

故选：A.

2.C

【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.

【详解】对于A,A(l,l),3(3,1)的坐标都不满足圆的方程(x-2『+9=3,

即圆(尤-2)?+y2=3不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；

对于B,C(3,3),。(2,3)的坐标都不满足圆的方程"-2)2+丁=2,

即圆(x-2)2+y?=2不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；

对于C,4(1,1),3(3,1),C(3,3)的坐标都满足圆的方程(x-2>+(y_2)2=2,

。(2,3)的坐标不满足圆的方程(尤-2)2+(y-2)2=2,

即圆(无-2『+(y-2?=2过四个点中的三个点，故C符合题意；

对于D,A(l,l),3(3,1)的坐标都不满足圆的方程(x-3)2+(y-2『=2,

即圆(x-3y+(y-2)2=2不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.

故选：C.

3.C

【分析】分析发现两圆心C1和g的连线恰好垂直于直线y=x+l,从而得出当Af与G和C,共线时

最小，从而得解.

【详解】

因为圆C1：尤2+/—1。x+4〉+25=0的标准方程为（尤一5）2+（、+2）：2=4；

圆G：/+/-6工+8=0的标准方程为：（X-3）2+V2=1

所以G和Q的圆心坐标分别为（5,-2）、（3,0）,半径外=2,4=1,

所以直线GC?的斜率上=上匕9=-1,而直线＞=x+l的斜率为1

3—5

所以直线C]Cz与直线y=x+l垂直，如图，

所以当M与C]和G共线时最小，此时MA+MB=MCX—rx+MC2—r2,

|5+2+l|羽,眸口

又此时MG==2五,

所以陷+最小值为4忘-2+2应-1=60-3.

故选：C

4.D

【分析】利用给定条件找到变量之间的关系，结合平面向量的坐标表示求解即可.

【详解】

设x=zny+l,4（%,为,3（孙丫2）,「（0,。,尸（1,0）,

Ix-my+1。

联立方程组得到，消x可得＞2-4my-4=0,

y+必=4m

解得'一.,因为B4_LPR,所以P4PF=0,

%%=-4

而PA=(xl,yl-t),PF=(l,-t),

而PA.P尸=%_5+”=^-_明+/=0,

解得/=],此时OPJ。,?，。3=伍,为)，

OPOB=y2x^-=-2,故D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理利用给定条件消去变量，然后利用得平面

向量的坐标表示结合韦达定理到所要求的定值即可.

5.B

【分析】设右焦点为人因为四边形Q4BC是菱形，可得=叫=|。。=怛。=|45|=|。耳,

NCFO=60，根据|Q4|=|OC|=|O司=c,AC=6c,CF=c,又|AC|+|B|=2a,推得2a=+l)c,

设右焦点为F,连接尸C,因为四边形。4BC是菱形，则8,C关于了轴对称,

所以4H=|OC|=|BC|=|AB|=\OF\,

因为一AO8,_COB和尸OC是等边三角形,

所以/C尸0=60,在△AC/7中，=|0。=|。同=c,

所以AC=2c-sin60=V3c,CF=2c-cos60=c,又|AC|+|CF|=2。，

©J.C_2一万]

所以2a=(有+l)c,所以a(>/3+l)c(73+1)

2

故选：B.

6.A

【分析】根据题意分析可知：点尸的轨迹是以原点。为圆心，半径为2后的圆，且直线尤=冲+4与

圆尤2+V=12有交点，结合直线与圆的位置关系列式求解即可.

【详解】由题意可知：圆O：尤2+V=4的圆心为。(0,0),半径r=2,

设AB中点为则。1+O2=2OM，

且OA+O8=OP，可得。尸=2OM，

又因为|AB|=2,可知△Q43为边长为2的等边三角形,

则Q叫=若，可得|0尸|=2|0叫=26，

可知点P的轨迹是以原点。为圆心，半径为2月的圆，

因为直线x=：取+4上存在点尸使得OA+OB=OP，

即直线尤=冲+4与圆/+；/=12有交点，

可知圆心到直线的距离d=解得：〃7€(_8,一呼ug,+s

故选：A.

【点睛】方法点睛：求圆的方程有两类方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出

圆的方程；

(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径.

7.D

【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解.

22

【详解】依题意，设PO,y),而巴(4,0),a=5,^+^-=1,

阳

要使\HO*P\取…大’则夕在右半椭圆上，故。＜x45,

|明-照「8x81,818

——————

5（16V5（16¥5,此时点P位于右顶点.

V25+j?V石+于

故选：D

8.C

【分析】使用题设条件得到闺口,|AB|,闺A|的比值，然后引入参数f并得到等量关系。=r，最后使用余

弦定理即可得到齐次方程并求解.

【详解】连接G4GB，根据题意，耳AC三点共线，£,员£＞三点共线.

所以工闺心|4呼3

5

故可设寓，=3f,\AB\=4t,国4=5"

由于

4a=2a+2a=（寓A|—|gA|）+（|百同一优同）=|居A|+寓同一（|入川+|6目）=寓A|+闺同—|AB|=5r+3r_4r=4r

故。=%.

从而国H=5a,\FlB\=3a,故怩旬=3匹R

|2

一母i「：|他「+闺用

而cos/不入An-cosNG8B,结合余弦定理得IM2+K<

2闺周优A2山外|叵3

9a2+4c2-25a2a2+4c2-9a225

故,解得3r=2,所以e

2-2c-3a2-2c-aa22

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究.

9.AD

【分析】根据直线丫=乂久-1）过抛物线E的焦点求出。可判断A；设直线y=x-l,与抛物线方程联

立，利用48=占+%+。可判断B；过3作3£>_U,由抛物线的定义可知5D=",根据BC=2B尸得

直线/的倾斜角可判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入0402的坐标表示，再利

用向量的夹角公式可判断D.

【详解】对于A,由抛物线后：/=2力（°>0）可得准线方程为彳=-光，

又直线y=fc（x一1）过抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点，

则F（l,0）,所以一光=-1,解得。=2,故A正确；

对于B,由A选项可得;/=4x,且焦点尸（1,0）,当左=1时，设直线V=xT,

/、/、Iy=x-1

设4（%,%）,3（%，%），贝Ujy2_4x，整理得比2-6X+1=0,所以与+冷=6,

所以AB=&+%+0=8,故B错误；

对于C,过B作BD_U,垂足为。，由抛物线的定义可知B£）=5F,

若BC=2BF,则BC=23。，贝Ij/3C£）=3O,

则直线/的倾斜角为60°,贝1左=有，故C错误；

对于D,由A选项可得V=4x,且焦点F（l,0）,因为直线

,=左（1），4（%，乂），8（孙％），则IT?整理得

IZ=4.r

k2x2-（2k2+4）x+k2=0,所以无1+过=”吧,尤1尤2=1，

K

因为。4=（石,必）,。5=（九2，%），所以

2

OA-OB=xlx2-^-yly2=x1x2-^k-l）（x2-1）

=(左2+1)再入2—左2(%]+%2)+左2=(k2+])一k22k：4+k2

K

=(Jt2+1)-(2k2+4)+A;2=-3,

/S八OA'OB八

所以cos/ACB=<0,所以-AO3为钝角，故D正确.

OMOB

故选：AD.

10.AC

【分析】根据直线切过定点(1,1)切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线/的距离可判断B；

将圆丁+/一6芯-8、+根=0化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由SMOB=2SPOA=2S

且当尸O最小时S分最小时可判断D.

1=0

[详解]对于A,将直线〃K+y_〃?_l=O整理得(x_l)"i+y_l=0,由

y_]=0，

知x=l,y=l,所以直线〃叱+>-根-1=。过定点(1,1),因为付+12<4,

所以该定点在圆内，故A正确;

x-y+应=0的距离为坐

对于B,圆V+丁=4的圆心到直线/:二1,

所以过圆心且与直线/平行的直线与圆相交有两个点到直线/的距离为1,

与直线/平行且与圆相切，并且与直线/在圆心同侧的直线到/的距离为1,

所以只有三个点满足题意，故B错误;

对于C,将圆了?+y2—6x-8y+m=0化成标准形式为(x—3)2+(^—4)2=25—m,

因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以J(0_3>+(0-4)2=,25_加+2,

解得加=16,故C正确；

对于D,连接OP,OA,O8,因为A8为切点，所以。

所以SMOB=2SPOA=2SPOB，且当尸。最小时，ZPOA最小，

|0+0-4|

所以当尸。与直线垂直时，PO^==2亚,又因为半径为2,

a7i2+i2

所以上4=JPO2_Q42=2,

所以S如出=：以*40=2,5以缠皿=2S=4,故D错误.

故选：AC.

11.ABD

【分析】选项A：利用双曲线和椭圆的定义求解即可.选项B：利用余弦定理结合离心率求解即可,

选项C：利用余弦定理结合基本不等式求解即可，选项D：利用半角公式结合弦化切求解即可.

2222

【详解】对于A,椭圆G：5+与=l(a>6>0),双曲线C2：当=1(相>0,〃>0),

abmn

[\PE\+\PF2\=2a....

由椭圆、双曲线的定义可知，1|p^|_|PF|=2m-解得|尸团=〃+叫?阊=。-加，故A正确；

对于B,令忻用=2c,

由余弦定理得COS。=①『+陷2-1/_(。+附2+("租)2-4c2_a2+m2

22

21MPF2\2(tz+m)(a—m)a-m

当6=60时，1+3疗=好，BPM134

I+34,因此石+石=4,故B正确;

eie2

211c

当6=90时，a2+H12=2c2,BPp1+2,有/+.=2,

而则有d+破=26G<2[^^],解得e：+e；>2,故C错误;

22222221-

a+m-2c_(«-c)-(c-m)b2-n2

a2-m2(“2_02)+卜2一祖2)b2+n2

1+

2o.2e】2®

cos——sin—1-tan—

cos0=cos2--sin2—=22______2

222o.2e20

cos—+sin—1+tan—

222

解得tan?,

JH0ri

而tan—>0,—>0,因此tan—=—,故D正确.

2b2b

故选：ABD.

12.2不

【分析】由题意得当|PQ|最小时，CP连线与直线/：x+y+l=0垂直，由点到直线的距离公式和勾股

定理可求得答案.

22

【详解】(x-3)+(y-4)=4s

二圆心C(3,4),半径厂=2.

设切点为。，

由题意可知，点尸到圆C:d+y2=4的切线长|PQ|最小时，CPL,

圆心到直线的距离"=四营"=4夜，

切线长的最小值为：J(40y-4=2外.

故答案为：2币.

13.9

【分析】解法一：由椭圆方程求出设俨耳|=叫改|="然后由椭圆的定义结合已知条件列

方程可求出，从而可求出耳尸耳的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解

22________

【详解】解法一,：由C:^+上=1,得a~=36,b~=9,则。=6,b=3,c=《a1—b"=3>/3>

369

设|尸耳|=〃2,|”|=〃，则由题意得

m+n=2a=12

加2+〃2=4。2=108'

由zn+〃=12,得m2+〃2+2〃Z〃=144,

所以108+2%?=144,得"m=18,

所以耳尸鸟的面积为:〃切=9

22

解法二：由C:土+上=1,得。2=36,〃=9,

369

因为尸居=90

QOQO

所以由焦点三角形的面积公式得巨tan—=9tan—=9.

22

故答案为：9

14.9y2=4x-32(x-9r2-8-2z)2+y2=4r2(f>0)(答出一种特殊情况即可)

【分析】(1)先确定G的方程，然后利用等边三角形的性质计算轨迹方程；

(2)先给出圆的方程卜-9/_8-2)+y2=4/(f>o),再计算验证即可.

【详解】

UPUFUP\UQ

(1)设直线LV交C1的准线于点0,据已知有行故

VPVP=阿

而点P,Q都在线段外，故尸，。重合，从而尸(-U)在C1的准线上，所以的准线是x=-l.

这就得到p=2,所以G的方程是丁=4元.

设上的三个不同点£（4/,4〃），M,N构成等边三角形LWN,设该三角形的重心为G（氏/）,则

LG=（a—,/3—4”）.

所以的坐标分别是—尸—2a1±--^-^）+2y/3u,-^-a—2^f3u2

-/?-2H+—6Z-2A/3M2>|=4-a--/3-2u2+2y/3u

故

、22JI22

（36riXf3732厂、

-/5-2M--6Z+2V3M2=4-CK+—^-2M2-2V3M.

（22JI22J

得］|夕—2"j+3（^a-2uA+2相［|/?_2d［ga_2〃2j=2（3a_4"2）+2后（一£+4〃），

^（3-2u\+3（^a-2u2-273||/7-2MY|a-2w2^=2（3a-4M2）-（一尸+4M）.

22

两式分别相加，相减，得［^£一2〃+3（^a-2uA=2（3a-4u）,jQ«-2Mj=-^+4M.

（3^-4z/）2+3（a-4z/2）2=8（3a-4w2

故可得方程组

（3^-4M）（«-4M2）=4（-^+4M）

16z/4+16"--8a〃~-86a+3力~+a?-8a=0

展开即得

16〃3-12例2-4々〃-16〃+3协+4尸=0

将第一式减去第二式的M倍，^12^M3+32w2-4au2-12］3u-3ocj3ii+3/3-+a2-8a=0,从而

486a3+128/-16a/-48的一120113K+12^2+4a2-32a=0.

再由第二式得48£"3一36尸2"2_]2初〃_48£&+9皿2+12/2=0,两式作差即有

128M2-16au2+4«2-32a=-36^2M2+9«/?2.

222

所以（128—161+36月2）/^-4a+32a+9a/3=«（32-4a+9^）,即

e（32-4a+9尸2）=028-16a+36夕）I=4（32_%+942）/.

所以a=4/或32—4a+9/2=0.

若a=4l,则由（36-4"）9-4"2）=4（-6+4“）知夕=4〃，所以L,G重合，这不可能.

故一定有32-4a+9£2=0,BP9/3'=4a-32.

另一方面，若9万2=4a-32,贝|取方程16/-12仇？一4cra-l6a+3姐+46=0的一根〃后，根据上面

类似的计算知16d+161一8d_8的+3斤+a*12-8a=0.

取的坐标为弓々-2/g4-2a1土〃+2氐,日&-2岛2,则等边三角形乙肱V的顶点在

G上，且中心为尸).

综上，G上的等边三角形的中心的轨迹方程为9y②=4x-32.

(2)我们设圆r的方程为(无一9产-8-2)+/=4/(z>o).

则对G上的点7氏2+82),设过该点的x=My-2s)+9/+8与圆「相切，则根据距离公式有

|9r+2r+2fa-9?

=2t.

J-+]

从而（9r+2/+2质一9s2『=4产（廿+i）,gp4（?-r2）^2+45（%2+2?-9?）＞t+（9r+2Z-952）2-4f2=0.

一s（9『+2f-9sz）（9厂+2f—9s~）—4厂

设满足条件的k分别为k—则k+k'呼+=⑴,出=—————

12S2-t24$2-2

同时，该直线与9y2=以-32的另一个交点(x,y)满足9y2=4(Mv-2s)+9$2+8)-32,从而由韦达定

4k

理知y=----2s.

_4k,_4匕-

设A（94+8,2a）,B（9Z?2+8,2Z?）,贝lj2a=----2s,2b------2s.

99

2

而直线AB的方程为>=如同卜-91-8)+24,即2龙-9(a+6)y+18他-16=0,从而圆心到直线

口（9r+8+24+18"-16|,8产+4/+18阂

AB的距离d=J----/；——!

j4+81（a+6）-j4+81（a+6『'

-2s（9t2+2t-9s2

故"+.=一—2s=心

而,-2s=

b=也-s99（?-?912T2

9

/、216s2产4（?+r2VI------——-2（s2+t2}

所以4+81（a+6）=4+------^-=-------得，4+81（。+妨―

?-rYs2-t2Y'\s2-t2\

口7秋左=22s/77\2

且ah—------------(k,+左))+s

819v7

22

4(9r+2f-9s2丫一4户2s-^(9r+2r-9s),

=8iq?不v4?—+,

2

1(9/+2-9s2y-4/2s2(9?+2?-9s)2

―81s2-t2+~9s2-t2+5

:1811"1_3662_巧空^__2

―81s2-t2+~9^'s2-t2一0

/22\42s22t

=r-r——1+-----------522

\'99s2-2

242s22t

=-t一一t+-------------.

99s2-t27

故产+2/+P6=一2/+生得18/+今+18°6=7，+452・^^.

999s2-t2sT

从而b2-r||i8f2+4.+18回=|-4/12一产)+4$2⑵]=4/仔+产),

/8产+4/+18°同|18r2+4/+18aZ>||?-r||18/2+4r+18a/?|41s?+产)

这就得到"J4+81(«+Z>)2~2(?+r2)21+产)~2(?+r)-[

22

所以直线AB到圆(尤-9f2-8-+y=4t的距离恰等于其半径，故是其切线.

故答案为：9y2=4了-32,(元-9产一8-2)+丁=4/。>o).

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线方程的使用和计算.

15.(1)(%-1)2+(J+2)2=25

(2)%-〉+2=0或％->一8二0

【分析】(1)根据圆过点-7),得到圆心在尸-2上，设圆心坐标(％-2),再由圆心到圆上

的点的距离相等求解；

(2)设直线/的方程为：尤->+c=O,根据“CMN为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离

|c+3|V2

r求解.

【详解】⑴解:因为圆过点。,3),(1,-7),故圆心在产-2上,

设圆心坐标(x,-2),

贝lJ(x—l)2+25=(x—4)2+16,解得尤=1.

故其半径r=J（尤-I）?+25=5.

故圆的方程为：(x-iy+(y+2y=25；

(2)设直线/的方程为：尤-y+c=O,

因为CW为等腰直角三角形，

•••圆心到直线的距离4=5=小首1,即卜+3|=5,

解得c=2或一8,所以/：x-y+2=0或x-y-8=0.

22

rv

16.(1)—+^—=1

123

⑵迪

3

【分析】(1)由离心率的值及椭圆过的点的坐标，可得"的值，即求出椭圆的方程；

(2)设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由AF=3EB，可得参数的

值，求出点尸到直线AB的距离及弦长IABI的值，进而求出.力记的面积.

22

所以椭圆的方程为：上+匕=1;

123

(2)由(1)可得右焦点尸(3,0),

当直线48的斜率为0时，则直线的方程为y=o,

因为万=3FB.可得A卜20,0),3(2点0),

所以A/=(2+2括,0),FB=(273-2,0),AF=Q+®FB,显然与人尸=3/8,与已知条件矛盾,

所以直线A8的斜率不为0,

由于原尸=巫=0,故设直线A3的方程为尤=冲+3,且切学-也，

PF2-12

设4（须，％）,B（X2,y2）,

x=my+3

联立/y2整理可得：（4+m2）^2+6my-3=0,

——+—=1

1123

6m—3

可得…一石…为"②

因为AF=3_F月,即（-3-％，-％）=3区-3,%）,

可得一%=3%，即％=-3%，③

-9m

将③代入①,可得%=77^'

再代入②可得：一前了=1,可得加=：，

|2-^m-3|lV2m+l|

点尸(2,0)到直线AB：X-冲一3=0的星巨离4=

A/1+m241+m2

4班（1+加2）

弦长凶二舄

/I4+m2

73（l+m2）|V2m+l|2cx3

141圆+1卜¥机m+1

所以SpM=—IAfil,<7=—•

21124+/J1+疗9

2

由于根2=:，且根士一立，所以根=¥

22

q

uPAB=叫向+卜华E殍

17.（l）x2-y2=l

(2)证明见详解

【分析】(1)设M(x。,%),根据等轴双曲线概念得/->：=",利用点到直线的距离公式即可求解.

(2)设P(Xo，yo)，再由48坐标得到直线尸4,28的方程，继而可得C,。坐标，设过尸且与双曲线

炉-丁=1相切的直线为>=左(》—％)+%,联立双曲线与直线方程，由△=()及韦达定理可得及尸坐

标，继而可得%+如=%+%，即%-凡=%-力，即仅£-"|=|%-甫，即可求证.

【详解】(1)设律(飞,％),

22

M为等轴双曲线三-口=1上一点，

ab

二./一%)=a,

双曲线渐近线为y=±x,

.员+%||%一%|_«2_1

'•7=-------i=-——

V2V222

:7的方程为

（2）设尸（为,%-%<0,A（T01B0，°），

二直线丛方程为尸A(x+D'直线尸3的方程为k告I(xT,

:.C0,^-\,D0,^_,

I尤o+UIx0-l)

设过P且与双曲线尤2-y2=i相切的直线为y=Mx-%)+%,

联立忆丫彳。

(1—A?)/_|_(2左之无。—2@o)x+2而0%—k?*—y；—1=0,

A=(4XQ—4)左2—8%0，0左+4y；+4=0,

即(x；_1)左2_2入0丁0卜+y；+]=0，

设直线尸£PF的斜率分别为《，月，贝怯+自=学”,

%0—1

.•.「£1方程'=4(彳一/)+%,

二矶。，%-飙)，

同理尸尸方程y=左2(彳-5)+%,

:.F(O,yo-k2xo),

•f+%=%+%，

，区一%|=从-讣

:.\CE\=\DF\.

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线

的相切关系.本题中设过尸且与双曲线f-y2=i相切的直线为尸耳了一毛)+%,联立双曲线与直线方

程，由A=0及韦达定理可得左+&=学+，则为+力=2%-(勺+左2)%=2%-学3又

%oTXo-1Xo-1

—2y

yc+y0=^~i'得/+%=%+%,即%-九=%一力，即仅E-ydT%-%，即可求证.

18.⑴片土耳

3

⑵心

【分析】(1)由两曲线有公共的焦点凡且。=46,得c=2b,a=^3b,可求渐近线方程；

(2)通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出占+4和士-/，由

\0P\\0Q\\AF\\BF\

“I血+血j=1同一赢求”的取值范围.

22

【详解】⑴抛物线Uy?=2p