2025年高考数学一轮复习：圆锥曲线的基本问题-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的基本问题-专项训练

一、基本技能练

1.双曲线>2—2/=1的离心率是（）

A.日B乎

C，V3D.小

2.设经过点网1,0）的直线与抛物线y2=4x相交于A,3两点.若线段A3中点的横

坐标为2,则|A3|=（）

A.4B.5

C.6D.7

3.已知点R为抛物线y2=2px（/?>0）的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,。为坐

标原点，若△。仪的面积为2W，则该抛物线的准线方程为（）

A.x=—；B.x=—1

C.x——2D.x=~4

22

4.“1<左<5”是方程表示椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知双曲线C：/—彘=l（a>0,。>0）的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为全

则C的离心率为（）

A羊B.2

C.小D.3

6.直线尸质（Q0）与双曲线C：点一营=l（a>0">0）在第一、第三象限分别交于P,

Q两点，F2是C的右焦点，有旧冏：|。巴=1：小,且PF2±QF2,则C的离心

率是（）

A.4B.加

C.V3+1D.V6+1

V2

7.已知椭圆V：7+丁2=1伍＞1）的中心为。，过焦点R的直线/与〃交于A,3两

点，线段AR的中点为P,若[0尸|=|尸网=苧，则M的方程为（）

A.y+y2=1B.y+j2=1

22

C.^;+y2=lD.y+y2=1

22

8.已知B,仍分别为双曲线x”一v方=1（。＞0,。＞0）的左焦点和右焦点，过八的直线

/与双曲线的右支交于A,3两点，△ABR2的内切圆半径为n,△3后八的内切

圆半径为『2,若厂1=2厂2,则直线/的斜率为（）

A.lB.y[2

C.2D.2V2

9.（多选）已知椭圆C：j+^=1的左、右焦点分别为为C上一点，则（）

A.C的离心率为¥B.ZXPRiB的周长为5

C.ZFIPF2＜90°D.1W|PB|W3

10.（多选）设抛物线C：y2=8x的焦点为F准线为/,点"为C上一动点，EG，

1）为定点，则下列结论正确的有（）

A.准线/的方程是y=一2

B.以线段MR为直径的圆与y轴相切

C.|ME|+|Mb|的最小值为5

D.|ME|一|沏的最大值为2

11.已知抛物线V=2px的准线方程为x=—1,则p=.

12.已知双曲线C：最=1（。＞0,。＞0）的离心率为小，且其虚轴长大于1,则双

曲线C的一个标准方程可以为.

二、创新拓展练

13.（多选）已知双曲线C：最一^=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为A,F2,左、

右顶点分别为Ai,A2,点P是双曲线C上异于顶点的一点，贝1]（）

—|BM=2a

B.若焦点仍关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为小

C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线以1的斜率与直线以2的斜率之积为1

7?

D.若双曲线。为等轴双曲线，且/4必2=3/心加，则/心也=而

14.（多选）已知椭圆C：5+5=15>。>0）左、右焦点分别为八，仍，点P为C上

任意一点，△PAE的内切圆的圆心为/,圆/与PA的切点为M,P/与x轴的交

点为N,则以下结论正确的有（）

A.而1.隋有最大值a2

B.内切圆/面积有最大值一^箸「

十c）-

C.若『加|=3八理，则椭圆C的离心率为g

D.若/人尸尸2二手，则两|+]^^=两

15.设点A,B分别为椭圆C：9+y2=i的左、右焦点，点p是椭圆。上任意一

点，若使得赤I•而2=机成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为

16.已知g是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NBPR2

=1，设椭圆、双曲线的离心率分别为ei,n,则e，+e珀勺最小值为.

参考答案与解析

一'基本技能练

L答案B

27

解析双曲线方程化为亍一亍=1,

2

则次=1,^2=1,

从而e=q1+*=坐’故选B.

2.答案C

解析因为抛物线为尸=4羽所以2=2,

设A,3两点横坐标为xi,以，

因为线段A3中点的横坐标为2,

则X1”X2=2即XI+X2=4,

故|AB|=xi+x2+p=4+2=6,故选C.

3.答案B

解析由抛物线的方程可得堀，0),

不妨设尸在x轴上方，则y2=22X8,可得孙=46，

则SAOFP=5|OF|M=]Xgx4g=2也，解得p=2,

所以准线方程为x=—?=—1,故选B.

4.答案B

72

解析因为左=3时，六+产7=1表示圆，故充分性不成立.

k—15~k

72

若—+=J=1表示椭圆，

fk-1＞0,

则＜5-左＞0,

【左一1W5—k,

l<k<5且左W3,...必要性成立.

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故"1<左<5”是“方程六十占■=：!表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.

K—15~k

5.答案A

解析双曲线C的渐近线方程为尸±自，

所以，=^=霏=\11+管=半，故选A.

6.答案C

解析由对称性可知四边形PR1QR2为平行四边形,

又由PF2±QF2得四边形PFiQFo为矩形，

：.\PQ\=\FIF2\=2C,

xm:\QF2\=I：小,

：.\QF2\-\PF2\=(y[3-l)c=2a,

•,子=#+1,故选C,

7.答案B

解析不妨设R为椭圆〃的右焦点，则其左焦点为连接AB,

:0为FFi中点，尸为AR中点.

：.0P为的中位线.

：.\AFi\=2\OP\=y[3,\AF]=2\PF\=y[3.

：.\AFy\+\AF]=2y[3=2a,：,a=y[3.

椭圆〃的方程为曰+V=i,故选B.

8.答案D

解析记△ABB的内切圆圆心为C,

ABF1F2的内切圆圆心为。，

边AFi,AF2,R1R2上的切点分别为M,N,E,

易知C,E横坐标相等，HMTANI，\FiM\=\FiE\,|尸训=|尸2月,

I

由|ARi|一|A尸2|=2a,

即\AM\+\MF\\-(HN+INBI)=2a,得|一|NRi|=2a,

即|尸田一|尸2E|=2a,记C的横坐标为xo,则E(xo,0),

于是xo+c—(c—xo)=2a,得xo=a,

同样圆心。的横坐标也为a,则有轴，

设直线/的倾斜角为仇则N。正2。=亨，NCF2O=90。一?

在△CEF2中，tanNCF2O=tanf90°—^)=.21,,

V乙J|七小2|

由m=2及，可得2tan?=tan(90°-=

解得tan|=乎,

2tan^

则直线I的斜率为tane=-----1='=2/，故选D.

1—tan2^1—

9.答案CD

解析对于A,由椭圆方程知：a=2,0=44—3=1,

「1

离心率e=,=1,A错误；

对于B,由椭圆定义知：\PFi\+\PF2\=2a=4,\FIF2\=2C=2,

...△PBB的周长为4+2=6,B错误；

对于C,当尸为椭圆短轴端点时，

/F1PF2cV3

tan2b~3，

/F1PF2

2tan2

tanZFiPF2=---------Z/F口iP口Fi=

1—tan-----------

・•.ZF1PF2=6O°,SP(ZFlPF2)max=6O0,

：,ZF1PF2<9O°,C正确;

对于D,•|PFl|min=a—C=1,

|max=。+C=3,

，1W|P尸i|W3,D正确.

故选CD.

10.答案BC

解析抛物线C：V=8x的焦点为"2,0),

准线为Z：x=—2,故A错误；

设n),MR的中点为N,可得|沏=机+2=2・一一，

即N到y轴的距离是|MF|的一半，

则以线段为直径的圆与y轴相切，故B正确；

设〃在准线上的射影为H,i\ME\+\MF]=\ME\+\MH\,

当E,M,H三点共线时，|ME|十|MH|取得最小值，为3+2=5,故C正确;

由|ME|-|MF|W|EF|,当/为ER的延长线与抛物线的交点时，

取得最大值|班，为7(3—2)2+(1—0)2=&,故D错误.

故选BC.

11.答案2

解析产=2内准线方程为户一多

则一2=一1':・p=2.

12.答案％2一］=1（答案不唯一）

解析依题意，不妨取6=2,

;小，

由题意可得＜b=2,

解得〃=1,b=2,c=yj~5.

所以满足题设的一个标准方程为X2—9=1.

二、创新拓展练

13.答案BCD

解析对于A：在△心92中，根据三角形两边之差小于第三边,

故||必1|一|必2||＜发加|=2①故A错误;

对于B,焦点R2（C,0）,渐近线不妨取

b口已

y="x,即bx~ay=0,

设焦点b2关于双曲线。的渐近线的对称点为⑺，〃），

m-rcn

bX--——aX-=09

m—

即仍关于双曲线。的渐近线的对称点为B/,制，

（次一片）2（）2

由题意该对称点在双曲线上，故/_2黑ab=1,

将理=次+户代入,化简整理得3砂2_而4=0,即/=4次,

所以e=N1+不=、5,

；=小,故B正确；

对于C：双曲线C为等轴双曲线，

即C：x2—y2=a2(a>0),

设P(xo,yo)(yoWO),则需一>8=/,

所以x^—a2=yi,

故左B4i内出2=々故C正确；

xo~\-axo—ax6-a

对于D：双曲线为等轴双曲线，即C：%2—y2=a2(a>0),

且/492=3/必自2,

设/必1公2=aZA1PA2=30,

则N%”=4a

根据C项中的结论kFAi-kPA2=l,

即有tanStan40=1,

在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，

故。+46=3，所以。=器，即NMA2=添故D正确.故选BCD.

14.答案BCD

解析对A：PFiPF2=PO2-c2^b2,故A不正确；

S/\PF\F)be

对B：由等面积法，内切圆/的半径厂=—七，

a-vca-vc

兀。2c2

所以内切圆面积有最大值。故B正确；