2024年中考数学试题分类汇编：圆的切线证明和圆中计算（附详解）

圆的切线证明和圆中计算附详解(2024年中考数学真题汇编)

1.(24年江西中考)如图，45是半圆。的直径，点。是弦ZC延长线上一点，连接

BD,BC,ZD=ZABC=60°.

AOB

(1)求证:8。是半圆0的切线.

(2)当=3时，求北的长.

2.(24年山东枣庄中考)如图，在四边形ABCD

中,4D〃BC,/DAB=60。，AB=BC=24D=2.以点A为圆心，以为半径作正交N3于

点E,以点8为圆心，以BE为半径作EF所交5C于点E，连接FD交前于另一点、G，连接CG.

(1)求证：CG为江所在圆的切线

(2)求图中阴影部分面积.(结果保留万)

3.(24年安徽中考)如图,。。是AABC的外接圆，。是直径48上一点的平分线交4B

于点、E,交OO于另一点、F,FA=FE.

(1)求证：。。，48;

(2)设FA11AB，垂足为M,^OM=OE=1，求AC的长.

4.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情

况，猜想结论,然后再研究一般情况，证明结论.

如图，已知小BC,C4=CB,是的外接圆，点。在O0上连接

图1图2备用图1备用图2

【特殊化感知】

(1)如图1,若ZACB=60。,点。在AO延长线上，则AD-BD与CD的数量关系为

【一般化探究】

(2)如图2,若ZACB=60。,点C,D在N3同侧，判断2。-AD与CO的数量关系并说明理由

【拓展性延伸】

(3)若NACB=a，直接写出4D,AD,CO满足的数量关系.(用含a的式子表示)

5.（24年苏州中考）如图,AABC中,4S=40,D为N3中点,ABAC=/BCDcosZADC=—.

4

O。是AZCD的外接圆.

(1)求5C的长

(2)求。。的半径.

6.(24年湖北中考)放A48C中,NZC8=90°,点。在/C上，以0c为半径的圆交48于点。，交

ZC于点E.

(1)求证是。。的切线。

(2)连接0B交于点、F，若AD=也,AE=1，求弧乐的长.

B

D

C

AE

7.（24年武汉中考）如图,A4BC为等腰三角形，。是底边的中点，腰ZC与半圆。相切于点

，底边与半圆。交于£,斤两点.

（1）求证与半圆。相切

（2）连接。4.若CD=4,C尸=2,求sin/。4c的值.

8.（24年深圳中考）如图，在AABD中,4B=BD,OO为△45。的外接圆,为0（9的切线,AC

为O。的直径，连接。。并延长交于点E.

D

(1)求证:QELAE

(2)若AB=5a,BE=5,求OO的半径.

9.（24年河北中考）已知OO的半径为3,弦MN=275,AABC中,N48C=90。,48=3,BC=3后.

在平面上，先将AABC和O。按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在。。上，点C在。。内），

随后移动,使点B在弦上移动，点A始终在OO上随之移动，设BN=x.

⑵当0A//MN时，如图2,求点B到0A的距离，并求此时x的值.

（3）设点。到的距离为d.

①当点A在劣弧而上,且过点A的切线与AC垂直时，求d的值.

②直接写出d的最小值.

10.（24年广西中考）如图,已知。。是AA5C的外接圆,45=/。.点D,E分别是的中

点，连接QE并延长至点F,使DE=EF，连接AF.

（1）求证:四边形ABDF是平行四边形

（2）求证:/尸与。。相切

3

（3）若1@11/8/。=73。=12,求0。的半径.

11.（24年青海中考）如图，直线AB经过点C,且OA=OB,CA=CB.

（1）求证:直线AB是OO的切线；

（2）若圆的半径为4,48=30。,求阴影部分的面积.

12.（24年长沙中考）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶占都在同一个圆上）与内切圆（四

条边都与同一个圆相切），可分为四种类型,我们不妨约定

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形

只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形

请你根据该约定,解答下列问题

⑴请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中,正确的打“，”，错误的打“X”）

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）

②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形（）

③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为几内切圆半径为

J则有氏="（）

（2）如图1,已知四边形ABCD内接于OO四条边长满足:AB+CD^BC+AD.

①该四边形/BCD是“"四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；

②若NBAD的平分线ZE交。。于点的平分线C尸交。。于点少，连接求

证:防是。。的直径.

⑶已知四边形Z8CD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆。。与28,8C,CD,分别相切

于■点、E,F,G,H.

①如图2连接EG,FH交于点P.求证:EGLFH.

②如图3,连接OA,OB,OC,OD，若OA=2,0B=6,OC=3,求内切圆。。的半径子及。。的长.

"(J;

r

BFC

图1图2图3

13.（24年包头中考）如图,48是。。的直径,8。,8。是。。的两条弦，点。与点。在48的两

侧,E是OB上一点(0E>BE)，连接OC,CE,且ZBOC=2ZBCE.

（2）如图2,若5。=2。£,求证:8。〃。。.（请用两种证法解答）

14.（24年广州中考）如图,在菱形ABCD中,NC=120°.点E在射线BC上运动（不与点8，点C

重合），△/匹关于AE的轴对称图形为AAEF.

（1）当/胡尸=30。时，试判断线段/尸和线段的数量和位置关系，并说明理由

（2）若4B=6+6#,为A4EF的外接圆，设0（9的半径为厂.

①求厂的取值范围

②连接ED,直线ED能否与O。相切？如果能，求郎的长度:如果不能,请说明理由.

15.(24年辽宁中考)如图,。。是“的外接圆,43是。。的直径，点。在数上,G=丽,£

在BA的延长线上,NCEA=ACAD.

(1)如图1,求证:CE是。。的切线

(2)如图2,若NCEA=2ND48,=8,求丽的长.

圆的证明和计算详解

1.（24年江西中考）【答案】（1）见解析（2）2〃

【小问1详解】

证明:••・AB是半圆O的直径90。.•••/£）=443。=60。.

ZCAB=90°-ZABC=30°NABD=180°-NCAB-ZD=90°BD是半圆O的切线.

【小问2详解】

解:如图，连接0c

OC=OB,ZCBA=60°.:.bOCB为等边三角形.NCOB=6Q°,OC=CB=3.

,120c\〜

ZAOC=180°-ZCOB=120°./.=——x2〃x3=2万.

"360

2.（24年山东枣庄中考）【答案】（1）见解析（2）毡一工

43

【小问1详解】

解：连接如图

根据题意可知：AD=AE,BE=BF.又,：AB=BC.CF=AE=AD.BC=2AD

：.BF=BE=AD=AE=CF.AD〃BC.：.四边形ABFD是平行四边形.

ZBFD=/DAB=60°.VBG=BF&BFG是等边三角形.GF=BFGF=BF=FC

G在以BC为直径的圆上/8GC=90。CG为乐所在圆的切线.

【小问2详解】

过。作于点〃

由图可得：S阴影=SaABFD-S^AED-S扇BEG—SaBFG.在RtAyl/ZD中，AD=1,Z.DAB=60°

/.DH=AD-sinZDAB=lx—=—.：.S,=AB-DH=2x—=s/3

22RFn2

由题可知：扇形4DE和扇形BG£全等

•nnr工60%(4D)~60XTTXFN

..扇0E0-扇BGE-360—-360———360—­F

等边三角形HFG的面积为：1GF-DH=-X1X^-=^-

2224

•e_e_e_e_c_/?_n2^1_—兀

••»阴影―、aABFD-、扇AED一、扇BEG-、aBFG-75一不———~'•

3.(24年安徽中考)【答案】(1)证明:因为E4=EE,所以NE4E=N/EE.

又NFAE与ZBCE都是BF所对的圆周角，故NFAE=ZBCE.

由于NAEF=ZCEB，则ZCEB=NBCE.因为CE平分NACD，所以NACE=ZDCE.

又AB是直径，所以ZACB=90°.

于是NCEB+ZDCE=ZBCE+NACE=ZACB=90°.

故ZCDE=9()CDLAB.

(2)解:由(1)知,NBEC=ZBCE，所以BE=BC.

又AF=EF,FM±AB,^MA=ME=2,ZE=4.

从而圆的半径。4=。8=2£-。£=3,于是8。=8£=。8-。£=2.

在MBC中，A8=6,8。=2,ZACB=90°,所以ZC=^AB2-BC-=762-22=4后

即NC的长为4JL

4.(24年扬州中考)【答案】(1)AD—BD=CD.(2)AD—BD=CD(3)当。在前上

(y(y

时,2CD・sin5=/£)—30.当。在前上时,286山5=/。+3。

［解析］解:CA=CB,ZACB=60°AABC是等边三角形，则ZCAB=60°

OO是^ABC的外接圆....AD是NB4c的角平分线，则NDAB=30°

/.AD1BC.'：四边形ACDB是圆内接四边形.I.ZCDB=120°./.ZDCB=ZDBC=30°

设AD,BC交于点£,则BE=CE.设BD=1，则CD=BD=1.

图1

在RABDE中，BE=cos300-BD=—BDBC=M

22

AD是直径，则/ABD=90°.在RtA^5D中,4D=2BD=2.AAD-BD=2-1=\

：.AD—BD=CD

(2)如图所示，在AD上截取DF=BD

图2

AB=AB-4DB=ZACB=60°ADBF是等边三角形.，BF=BD，则ZBFD=60°

/.ZAFB=120。「；四边形/COB是圆内接四边形.I.ACDB=120°./.AAFB=ACDB

'：CA=CB,ZACB=60°.AAABC是等边三角形，则NCAB=60°AB=BC

又pf)=pf)./BCD=NBAF.在AAFBQCDB中

NAFB=ZCDB

<ZBAF=ZBCD：.AAFB咨ACDB(AAS),/.AF=CD.：.AD-BD=AD-DF=AF=CD

AB=CB

即AD—BD=CD

（3）解:①如图所示，当。在BC上时

A

在上截取=

''AB=AB："4CB=/ADB.又,：CA=CB,DE=DBACABS^DEB，则ZABC=ZEBD

joBCAREB

1,*.....------即.......------.1,***/ABC-/EBD.•*/4BE—/CBD,**.△ABE^^ACBD

EBBDBCBD

AEABBE,,.AD-BDAB

----==.・AE=AD—DE=AD—BD.・•------------

CDBCBDCDBC

如图所示，作CF工48于点厂

11(X

在R/BCF中,NBCF=^NBAC=-«，/.BC-sin-=BF

ryA7~)—R7~)ry/y

：.AB=2BC-sin-.：.=2sin上，即2CDsm-=AD-BD

2CD22

②当。在右上时，如图所示，延长BD至G，使得DG=DA，连接AG

,：四边形ACDB是圆内接四边形.，ZGAD=ZACB=180°-NADB,又•：CA=CB,DG=DA

ACARACAD

：.ACABSADAG，贝IJZCAB=NZX4G..•.土=空即t="

ADAGABAG

又ZCAB=ZDAG：.ACAD=/BAG：.ACADS^BAG—

BGAB

'：BG=BD+DG=BD+AD

CDAC----------A--C-----------------------

同①可得Z5=2ZCsin、..*.80+2。AB.a./.2CD-sin—=AD+BD

22AC-sm—?

2

综上所述，当D在前上时,2CD.sin,=40-,当。在Q上时,2CD.sin,=40+.

（2）。。的半径为把2

5.（24年苏州中考）【答案】（1）8C=4

7

【小问1详解】

VABAC=ZBCD,ZB=ZB.:.^BAC^BCD.—=——,BPBC2=AB-BD

BDBC

AB=46.,D为AB中点..,.8£>=20=：/8=2行/.BC?=AB-BD=4叵26=16.

BC=4.

【小问2详解】

解:过点A作，CD，垂足为瓦连接C0,并延长交。0于f连接AF

AD4

_________4c4B/—

在RtAAED中,/£=^AD--DE-=近•：^BAC^A5CD=V2.

CDnC

^CD=xMAC=42x,CE=CD-DE=x-\.

•.•在RtA/C£中,Z02=CE2+ZE2....(^X了=(X—1)2+(6『耙P,+2x—8=0

解得玉=2,%=-4(舍去).：.CD=2,AC=2枝.

-AC=AC.--"FC=ZADC.：CF为。O的直径.ZCAF=90°.

sinZAFC=—=sinZCDA=—=^5..•.°尸=包1,即。0的半径为虫2.

CFAD477

6.（24年湖北中考）【答案】（1）见解析（2）弧CF的长为

【小问1详解】

证明:连接0。

BD=BC

在AOBD和丛0BC中,<08=08.AOBD咨AOBC（SSS）.：.Z0DB=Z0CB=90°.

0D=0C

'：0D为Q0的半径....AB是Q0的切线.

【小问2详解】

解:•；ZODB=90°.：./。八4=90。.设。。的半径为尤.

在RtA/OD中=0£>2+202,即（x+l）2=/+（班『.解得》=1

：.OD=OC=1,OA=2,cosZAOD=—=ZAOD=60°.VAOBD之AOBC

OA2

ZBOD=ZCOF=1（180°-60°）=60°弧CF的长为1.

4

7.（24年武汉中考）【答案】（1）见解析（2）］

【小问1详解】

证明:连接作ON交48于N,如图

•••A/3C为等腰三角形,0是底边的中点.AOLBC,A0平分NA4C.••・ZC与半圆。相

切于点。,0。_LZC,由ONLAB.:.ON=0D.AC是半圆。的切线.

【小问2详解】

解:由(1)可知AOJ.BC,OD±AC.:.ZAOC=90°,ZODC=90°.

ZOAC+NOCA=180°-NAOC=90°,ZCOD+ZOCA=180°-ZODC=90°

CD

ZOAC=ZCODsinZOAC=sinZCOD=—.又：OF=OD,CF=2

oc

•••在RtAODC中,CD=4,OC=OE+PC=0。+2.•.・=C£)2+

(OD+2)2=42+OD2.解得:OD=3

CDCD4_4

sinNO4c=sin/LCOD==---------

OCOD+23+2-5

8.（24年深圳中考）【答案】（1）见解析（2）3指

【小问1详解】

证明:连接BO并延长，交于点〃，连接OD

'：AB=BD,OA=OD,：.8。垂直平分AD.：.BH1AD,AH=DH.

,：BE为OO的切线,/.HBVBE：：AC为0(9的直径.ZADC=90°.

四边形为矩形.二.DE1BE

【小问2详解】

由⑴知四边形为矩形,8笈1,/笈=.

AH=DH=BE=5.：.BH7AB2-AH?=56

设OO的半径为J则:。4=08=匕0笈=8//—08=56—外

在Rt449〃中，由勾股定理，得:/=（5）2+卜石-解得:「=3新

即的半径为3石.

9.（24年河北中考）【答案】（1）兀（2）点B到。4的距离为2;3（3）①d=3-G；②§

【小问1详解】

解:如图,连接。4,

,?OO的半径为3,AB=3,：.OA=OB=AB=3,：.AAOB为等边三角形.，ZA0B=60°

/—/1/、，607rx3

••/\^的长为二^=兀.

1oO

【小问2详解】

解:过8作8/LCM于/，过。作如±腑于连接M9

,?OA//MN.：.NIBH=NBH0=ZH0I=ZBIO=90°四边形BI0H是矩形

：.BH=OI,BI=OH.

*：MN=2亚，OH±MN.：.MH=NH=也而OM=3；OH=yjOM2-MH2=2=BI

2

...点B到OA的距离为2.VAB=3,BILOA.：.AI=^AB--BI=■

/.01=OA-AI=3-亚=BH.：,x=BN=BH+NH=3-04=3.

【小问3详解】

解:①如图,：过点A的切线与AC垂直.I./C过圆心

过。作0JL5C于J,过。作。于K,而N48C=90。..,.四边形KQ"为矩形.

•**0J=KB.AB=3,BC=3^/2•*,•AC—VAB~+BC~=3^3•

…cAB31AKLLrr-

cosNBAC==-^j==j==./.AK=y/3OJ=BK=3-后,即d=3-G.

②如图，当8为JW中点时,过。作〃，玄。于过。作OJ_L5c于J.

/.ZOJL>90°.AOL>QJ,止匕时OJ最短.

如图，过A作Z。，08于。，而48=49=3

为中点，则,.由（）可得。。=。22也.

,:BMN05ACV..25=2.1.80=1.AQ=73-1=2

NABC=90°=ZAQB./.ZOBJ+/ABO=90°=ZABO+ZBAQ,：.AOBJ=NBAQ

OJBQ1

tanZ.OBJ=tanZ.BAQ=---二—六

BJAQ2亚

设。/=加，则氏/=2后加，，加2+（2品『=22,解得:加=：（不符合题意的根舍去）

•••d的最小值为

10.（24年广西中考）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）10

【小问1详解】

证明:：点D,E分别是BC,ZC的中点.HD=CO,ZE=CE.又：ZAEF=ZCED,DE=EF

:.AAEF迫ACED.：.AF=CD,/F=/EDC.：.AF=BD,AF//BD

，四边形ABDF是平行四边形

【小问2详解】

证明:如图，连接/£»---45=/。,。为8。中点....AD1BC

...AD过圆心.：AF//BD.：.AF1而0A为半径，AF为的切线

【小问3详解】

解:如图，过8作8QLZC于。，连接03

3BQ3,--------------

tanABAC=-.BQ=3x,^l]AQ=4x.：.AC=ABy]AQ2+BQ2=5x.

A

22.126/10

CQ=AC-AQ=x.：.BC=^BQ+CQ=VlOx.AVlOx=12••x-―-j=------------

V105

AB=5x=6>J10.AB=AC,BC=12,AD±BC.BD=CD=6=JAB。-BD?=18

设。。半径为，00=18-J,/=08-厅+62,解得：r=10.

的半径为10.

11.（24年青海中考）【答案】（1）详见解析（2）5阴影=8百一

【小问1详解】

证明:连接0c

：在“AB中,CM=08,G4=CB.OC，N8.又：OC是GO的半径.

.•.直线48是。。的切线；

【小问2详解】

60^-42_8万

解:由(1)知ZOCB=90°.VNB=30°:ZCOB=90°-30°=60°;S^=

nrn360-3-

在R3OC3中,/3=30。,。。=4.・・・。5=8・・・BC=^OB2-OC2=782-42=4V3•

SA△C℃CR汇=—2•BC,OC——2x4^/3x4=8也

S阴影=SAOCB-S扇形.co=8c——.

12.(24年长沙中考)【答案】⑴①(X)；②(“)；③”)

⑵①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；

②

图1图2

证法1:如图1,因为ZE平分N8/D,CF平分N8CQ

所以BE=DE,BF=DF-

所以筋+筋=法+防,即血》=丽万

所以血？与而？均为半圆.

所以ER是。。的直径.

证法2：如图1,连接4r

因为四边形ABCD内接于OO，所以/BAD+ZBCD=180°.

因为ZE平分ZBAD,CF平分ZBCD

所以Nl=g/R4D,N2=；NBCD.所以N1+/2=90°.

由同弧所对的圆周角相等可得N2=N3

所以Zl+Z3=90°,即ZEAF=90°.

所以EF=是。。的直径...

证法3:如图2,连接FD,ED

因为四边形ABCD内接于OO，所以/BAD+ZBCD=180°.

由题意，得Nl=g/BAD,Z2=：NBCD

由同弧所对的圆周角相等可得:/您办=Nl/FED=Z2

所以ZEFD+ZFED=1(/BAD+NBCD)=90°,所以ZFDE=90°

①证明:如图3连接OE,OF,OG,OH,HG.

因为。。是四边形4BCD的内切圆

所以OE，AB,OF±BC,OG±CD,OH±AD

所以AOEA=AOHA=90°

所以在四边形EAHO中,44+NEOH=360°-90°-90°=180°.

同理可证ZFOG+ZC=180°.

因为四边形N8CD是“完美型双圆”四边形

所以四边形4BCD有外接圆

所以NZ+NC=180°.所以NE。//=NC.所以NR9G+NEO//=180°

又因为NFHG=-NFOG/EGH=-ZEOH

22

所以ZFHG+NEGH=90°.所以ZHPG=90°,BPEGLFH.

②方法1:如图4,连接OE,O£OG,OH

因为。。是四边形4BCD的内切圆

所以NOEA=ZOHA=90°.

所以在四边形EAHO中，+AEOH=360°-90°-90°=180°

同理可证NEOG+NC=180°.

因为四边形/BCD是“完美型双圆”四边形

所以四边形4BCD有外接圆.

又因为ZFHG=|ZFOG,ZEGH=；NEOH

所以NFHG+ZEGH=90°.

所以=90°,即EG，FH

2方法1:如图4,连接OE,",OG,a7.

因为四边形/BCD是“完美型双圆”四边形

所以NOAH+ZOAE+ZOCG+ZOCF=180°).

又因为OO与/民分别相切于点E/,G,笈

又因为/。。6+/。。6=90°,所以/。/笈=/。。6.

又因为NZJ/O=ZOGC=90°,所以△2。笈fOCG.

所以羽=察，即：=乐,解得CG=；，

(JCCCr3CG2

222

在Rt\OGC中，有OG2+CG2=。。2,gpr+（_r）=3

解得r4而.

在Rt^OBE,BE=40B--r22

同理可证ABE。fOHD,

12回

所以乳黑，即黑嘘，解得如亚

13

方法2:如图4,由AZOH〜AOCG,得桨=空

(JCCG

即2厂kr'解得一6、仙胄

,/口BEOB

由ABEO-AOHD，得一=—

OH0D

，解得0D=6

13.（24年包头中考）【答案】（1）3（2）见解析

【小问1详解】

解：；OC=OB.：.40BC=40cB=1（180°-/BOC）.VZBOC=2ZBCE

：.乙OBC=80°-2NBCE）=90°-NBCE，即ZOBC+NBCE=90°

ZOEC=90°.AOC2=OE2+CE'；.OC2=（OC—+（灼?.

解得OC=3.即。。的半径为3.

【小问2详解】

证明:法一:过O作QF_LHD于F

D

BF=-BD.'：BD=20E.：.OE=BF,又OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°.

2

...RSCEO@RtAOFS(HL)AZCOE=ZOBF：.BD//OC;

,：AB是直径44£)3=90。

・，.AD=飞AB?-BD?=J(20C『-(2O£『=2^OC2-OE2=2CE.

OCCEOE1

/.——=—=—=ACEO^AADB.：.ZCOE=ZABD.：.BD//OC.

ABADBD2

14.(24年广州中考)【答案】^)AF=AD,AFVAD(2)@r>3+3V3：@12

【小问1详解】