新高考数学一轮复习之几何专项讲义：轨迹方程问题

第12讲轨迹方程问题

一、问题综述

教材中明确提出，解析几何研究两件事：(1)求曲线方程；(2)利用方程研究曲线的性质，求曲线方程或

者求点的轨迹方程是解析几何所有问题的发端，应当给与足够的重视。其方法一般有：直接法、相关点法、

定义法、参数法、交轨法，涉及到中点弦可用点差法等。下面我们通过具体题目回顾求轨迹方程的几种方

法，同时分析那种方法在那种情况下较好一些，更适合我们。

二、典例分析

类型1：直接法

【例1】设一动点尸到直线/:x=3的距离到它到点A(1,O)的距离之比为事，则动点尸的轨迹方程是

解析：设尸(x,y),可知[~力

丁-…3

.■.3|x-3|=^3[(x-l)2+y2]

=>3(x-3)2=(x-1)2+y2

=>2x2-16x-y2=-26

=^2(x-4)2-/=6=>

36

注：直接法的五个步骤简称：建系，集合，方程，化简，证明。其中建系，集合，证明往往可以省略，只需要

方程和化简两个步骤。我们要留意证明，要保证曲线的方程的纯粹性和完备性.

类型2：相关点法

22

【例2】已知月.瑞分别为椭圆C：3+q=l的左、右焦点，点尸是椭圆C上的动点，则的重心G的轨

迹方程为.

x—1+1

x=--n---------

3

解析：依题意知片(-1,0)，耳(1,0)，设尸(%,%)(%20),G(x,y),则由三角形重心坐标公式可得＜

"=子,代入椭圆c：三+《=1,

反解即

%=3〉43

2

Qr

得重心G的轨迹方程为—+3/=l(y手0).

注：相关点法，它一般是由已知点的轨迹方程来求未知点的轨迹方程，题目会给我们一个桥梁，或者是中点公

式，或者是向量表达式，我们根据桥梁建立已知和未知的关系式，然后反解，用未知点来表示已知点，然

后代入已知点的轨迹方程，可得未知点的轨迹方程，所以又称代入法。

类型3：定义法

【例3】已知圆M:(x+l)2+y2=i,圆N:(x—l)2+y2=9,动圆尸与圆M外切并且与圆N内切，圆心尸的轨

迹为曲线C.求C的方程.

解析：由已知得圆M的圆心为,半径5=1；圆N的圆心为N(1,O),半径4=3.设圆尸的圆心为P(尤,y),

半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以忸叫+|耽|=(氏+/;)+(4-7?)=4+马=4>|加|=2.

由椭圆的定义可知，曲线C是以N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为6的椭圆(左顶点除外)，

丫2v2

其方程为F--=1(无力-2).

43

注：解析几何是用代数研究几何，但是究其本质还是几何，或者说几何性质是解析几何中简化运算最巧妙的手

段，而几何图形最基本的几何性质就是定义，要善于发现题目中隐含的几何性质，善于从代数式中分析其

几何特征，从而找到问题更简单的解法.

类型4：参数法

【例4】过平面直角坐标系内定点P(2,4)作两条互相垂直的直线分别交x轴，y轴正半轴于A,B两点,求他

中点M的轨迹方程.

4

解析：设过点尸(2,4)的一条直线为：>-4=依尤-2),与x轴正半轴于A,其坐标为(2-—,0),

k

19

设过点尸(2,4)的另一条直线为：y-4=-一(x-2),与y轴正半轴于3,其坐标为(0,4+—),

kk

L-i2

由中点公式可得”的坐标为：;，消去参数3可得:x+2y-5=0.

y=2+-

Lk

当上不存在或者为0时，解得“(1,2)满足此直线方程，所以"的轨迹方程为：x+2y-5=0.

注：求动点的轨迹方程，当动点的横纵坐标的关系比较难发现时，我们可以引入第三个量，也就是一个参数，

来表示动点的横纵坐标，表示出来后，我们再“过河拆桥”，消掉参数，从而得到动点的轨迹方程。本题还可以

采用向量的方法，利用向量的数量积为零，或者利用斜率之积等于-1,或者利用中垂线的几何性质来解决.

类型5：点差法

【例5】过点P(4,4)作一条直线交圆尤2+丁=4于A,B两点,求中点M的轨迹方程.

2

解析：设4>1，%),2(无2，%)，加(羽)0代入元的方程：+yt=4,无2?+%2=4,两式做差，可得:

(%-%)(%+9)+(X-%)(%+%)=。，其中％+X,=2x，x+%=2y，—~~^^kAB=kPM=,整理可得：

x^-x2x-4

x2+y2-4x-4y=0(在己知圆的内部).

注：本题涉及到中点弦问题，可以使用点差法，在直线与二次曲线相交的问题中，可以代点做差，因为相同的

结构，会出现平方差公式，坐标之和可以转化为中点坐标，坐标之差可以转化为斜率，运算非常简洁.同时，本

题还可以使用参数法，向量或者斜率之积，几何性质垂径定理等方法来解决.

类型6：交轨法

【例6】如图所示，动圆G：f+y2=匕i</<3与椭圆C2：/+y2=i相交于A,B,C,。四点.点4，4分

别为C?的左、右顶点，求直线招与直线交点M的轨迹方程.

解析：由椭圆。2：［+产=1，知4(一3,0),4(3,0),

设点A的坐标为(尤0,%),由曲线的对称性，上

得3(%,-%)，木共丑/

设点”的坐标为(尤,y),

直线AA的方程为y=+3).①

%+3

直线48的方程为>=二^。-3).②

毛-3

由①②相乘得V-9).③

尤0-9

又点A(%,%)在椭圆。2上，故北=1-3■.④

将④代入③得y-y2=l(x<-3,y<0).

因此点M的轨迹方程为三-V=l(^<-3,y<0).

注：在本题中，求两直线交点的轨迹方程，直接运算比较困难，我们发现本题条件中的对称，就写出两条直线

的方程，其结构也是对称的，若是只有一个参数，那么代入消参直接可解，现在是有两个参数，我们将结

构相同的两条直线相乘得到二次式，利用椭圆的方程整体消参可以解得本题，这种方法称为交轨法，也可

以认为是参数法的升级版.

【方法小结】以上介绍了求曲线的方程的几种方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、点差法、交轨法.

求点的轨迹方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上动点满足的条件，然后转化为等

式。要注意代数语言、向量语言、几何语言各自的适用范围以及优劣，最后要保证曲线的方程的纯粹性与完备

性.

三、巩固练习

1.已知尸是抛物线V=4y的焦点，尸是该抛物线上的动点，则线段PF中点M的轨迹方程是()

A.x2-y——B.x2=2y———C.无2=2y—2D.x2=2y-l

2'16

22

2.在平面直角坐标系xOy中，直线尤=《-4<t<4)与椭圆器+/=1交于两点乙«,%),且

%>0,%<。，A，4分别为椭圆的左，右顶点，则直线与儿［的交点所在曲线方程为.

3.若动圆过定点4(—3,0)且和定圆C:(x-3p+y2=4外切，则动圆圆心尸的轨迹方程是.

4.已知点C(l,0),点是。。:/+丫2=9上任意两个不同的点，且满足AC・3C=0,设尸为弦钻的中点，

求点P的轨迹T的方程；

5.圆(x+lp+y2=25的圆心为C,A(l,0)是圆内一定点，。为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的

连线交于点M,则M的轨迹方程为.

参考答案:

%0

x=

~2x=2x

1.解：依题意可得尸(0,1),P(%,%)，则有<0，因为「(%,%)自身有轨迹方

%+1.%=2y-l

y=

2

程，为：其=4%,将「°=?，代入可得关于x,y的方程，即M的轨迹方程：(2x)2=4(2y-l)n，=2yT

［为=2、-1

答案：D

2.解：由椭圆可知：A(-4，。)，4(4,0)，设交点坐标(x,y)。

x=/与椭圆相交于月，鸟片,鸟关于x轴对称

考虑直线4名与右片的方程：由a(T,O),5可得：以马=-£

>=总(苫+4)①

同理可得：=D(尤-4)②

2

①x②可得：/=-^—(X2-16)③

t-16v7

由片(r,yj在椭圆上可得：:+蒋=1"='(1672),代入③可得：

>2=一