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文档简介
安徽六安市皖西高中教学联盟2025届高二数学第一学期期末联考试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在如图所示的棱长为1的正方体中,点P在侧面所在的平面上运动,则下列四个命题中真命题的个数是()①若点P总满足,则动点P的轨迹是一条直线②若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是一个周长为的圆③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线A.1 B.2C.3 D.42.数学家歌拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的三个顶点分别为,,,则的欧拉线方程是()A. B.C. D.3.已知为等差数列,为其前n项和,,则下列和与公差无关的是()A. B.C. D.4.设等差数列的公差为d,且,则()A.12 B.4C.6 D.85.函数在定义域上是增函数,则实数m的取值范围为()A. B.C. D.6.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为,,,则△ABC的欧拉线方程为()A. B.C. D.7.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为()A. B.2C.-1 D.-48.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示,则下列结论不正确的是()A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值9.直线与圆的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.不确定10.已知点在椭圆上,与关于原点对称,,交轴于点,为坐标原点,,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.11.已知定义在上的函数满足:,且,则的解集为()A. B.C. D.12.已知双曲线的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知长轴长为,短轴长为的椭圆的面积为.现用随机模拟的方法来估计的近似值,先用计算机产生个数对,,其中,均为内的随机数,再由计算机统计发现其中满足条件的数对有个,由此可估计的近似值为______________14.已知直线l:和圆C:,过直线l上一点P作圆C的一条切线,切点为A,则的最小值为______15.以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是__________16.已知满足约束条件,则的最小值为___________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数(1)求的值;(2)求的极大值18.(12分)已知点是圆上任意一点,是圆内一点,线段的垂直平分线与半径相交于点(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹的方程;(2)设不经过坐标原点,且斜率为的直线与曲线相交于、两点,记、的斜率分别是、,以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时,试探究是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由19.(12分)如图,正方体的棱长为2,点为的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求点到平面的距离.20.(12分)已知抛物线的焦点为F,点是抛物线上的点,且.(1)求抛物线方程;(2)直线与抛物线交于、两点,且.求△OPQ面积的最小值.21.(12分)已知抛物线的焦点为F,以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形,过的直线交抛物线E于A,B两点(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在常数,使得,如果存在,求的值,如果不存在,请说明理由;(3)证明:内切圆的面积小于22.(10分)如图,在正三棱柱中,,,,分别为,,的中点(1)证明:(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.【详解】若点P总满足,又,,,可得对角面,因此点P的轨迹是直线,故①正确若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是以点B为圆心,以1为半径的圆(在平面内),因此圆的周长为,故②正确点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1,又,则动点P的轨迹是线段BC,因此③不正确点P到平面的距离(即到直线的距离)与到直线CD的距离(即到点C的距离)相等,则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点,直线BC为对称轴的抛物线(在平面内),因此④正确故有①②④三个故选:C2、B【解析】根据的三个顶点坐标,先求解出重心的坐标,然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程,联立方程,即可算出外心的坐标,最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为.因为,,所以线段的垂直平分线的方程为.因为,,所以直线的斜率,线段的中点坐标为,则线段的垂直平分线的方程为.联立,解得,则的外心坐标为,故的欧拉线方程是,即故选:B.3、C【解析】依题意根据等差数列的通项公式可得,再根据等差数列前项和公式计算可得;【详解】解:因为,所以,即,所以,,,,故选:C4、B【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【详解】,所以.故选:B5、A【解析】根据导数与单调性的关系即可求出【详解】依题可知,在上恒成立,即在上恒成立,所以故选:A6、A【解析】求出重心坐标,求出AB边上高和AC边上高所在直线方程,联立两直线可得垂心坐标,即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知,△ABC的重心为,可得直线AB的斜率为,则AB边上高所在的直线斜率为,则方程为,直线AC的斜率为,则AC边上高所在的直线斜率为2,则方程为,联立方程可得△ABC的垂心为,则直线GH斜率为,则可得直线GH方程为,故△ABC的欧拉线方程为.故选:A.7、C【解析】详解】,令,解得或;令,解得函数在上递增,在递减,在递增,时,取极大值,极大值是时,函数取极小值,极小值是,而时,时,,故函数的最小值为,故选C.8、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系,可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上,故函数在上单调递增,故正确;根据函数的导数图象,函数在时,,故函数在区间上单调递减,故正确;由A的分析可知函数在上单调递增,故不是函数的极值点,故错误;根据函数的单调性,在区间上单调递减,在上单调递增,故函数处取得极小值,故正确,故选:9、B【解析】直线恒过定点,而此点在圆的内部,故可得直线与圆的位置关系.【详解】直线恒过定点,而,故点在圆的内部,故直线与圆的位置关系为相交,故选:B.10、B【解析】由,得到,结合,得到,进而求得,得出,结合离心率的定义,即可求解.【详解】设,则,由,可得,所以,因为,可得,又由,两式相减得,即,即,又因为,所以,即又由,所以,解得.故选:B.11、A【解析】令,利用导数可判断其单调性,从而可解不等式.【详解】设,则,故为上的增函数,而可化为即,故即,所以不等式的解集为,故选:A.12、B【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为,知,则,即有,故,所以双曲线C的渐近线方程为,即,故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由,,根据表示的数对对应的点在椭圆的内部,且在第一象限,求出满足条件的点的概率,再转化为几何概型的面积类型求解【详解】,,表示的数对对应的点在椭圆的内部,且在第一象限,其面积为,故,得故答案为:.【点睛】本题主要考查了几何型概率应用,解题关键是掌握几何型概率求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14、1【解析】求出圆C的圆心坐标、半径,再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.【详解】圆C:,圆心为,半径,点C到直线l的距离,由圆的切线性质知:,当且仅当,即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”,所以的最小值为1故答案为:115、;【解析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程【详解】由题,设圆心到直线的距离为,所以,因为圆与直线相切,则,所以圆的方程为,故答案为:【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用16、【解析】根据题意,作出可行域,进而根据几何意义求解即可.【详解】解:作出可行域如图,将变形为,所以根据几何意义,当直线过点时,有最小值,所以联立方程得,所以的最小值为故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)-3(2)2【解析】(1)利用导数公式和法则求解;(2)令,利用极大值的定义求解.【小问1详解】解:因为函数,所以,所以;【小问2详解】令,得,当或时,,当时,,所以当时,取得极大值.18、(1);(2)是定值,.【解析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义,设出椭圆方程,由,的值可得的值,从而求得轨迹方程;(2)设出直线的方程,结合韦达定理,分别求得为定值,也为定值,从而可得是定值【小问1详解】由题意知,,根据椭圆的定义知点的轨迹是以,为焦点的椭圆,设椭圆的方程为,则,,曲线的方程为;【小问2详解】由题意知直线的方程为且m≠0),设直线与椭圆的交点为,,,,由得,,,,,,,,,,是定值,为.19、(1)(2)【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量及,利用向量的夹角公式即可得解;(2)直接利用向量公式求解即可【小问1详解】解:以点作坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,0,,,2,,,0,,,0,,设平面的一个法向量为,又,则,则可取,又,设直线与平面的夹角为,则,直线与平面的正弦值为;【小问2详解】解:因为所以点到平面的距离为,点到平面的距离为20、(1);(2).【解析】(1)根据抛物线的定义列方程,由此求得,进而求得抛物线方程.(2)联立直线的方程和抛物线方程,写出根与系数关系,结合求得的值,求得三角形面积的表达式,进而求得面积的最小值.【详解】(1)依题意.(2)与联立得,,得,又,又m>0,m=4.且,,当k=0时,S最小,最小值为.21、(1);(2)存在,1;(3)证明见解析.【解析】(1)根据几何关系即可求p;(2)求解为定值1,即可求λ=1;(3)先求的面积,再由(为三角周长)可求内切圆半径r.【小问1详解】由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线,因此,∴抛物线E的方程为【小问2详解】设直线的斜率为,直线方程为,记,,消去,得由,得且,,,,因此,即存在实数满足要求【小问3详解】由(2)知,,点F到直线AB的距离,∴的面积记的内切圆半径为r,∵,∴∴内切圆的面积小于22、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由已知,
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