高考数学一轮复习：利用导数研究恒成立问题 专项练习（学生版+解析）

第05讲利用导数研究恒成立问题

(核心考点精讲精练)

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第19题,12分利用导数研究不等式恒成立问题含参分类讨论求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间

(不含参)

2023年新II卷,第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

根据极值点求参数

含参分类讨论求函数的单调区间

2022年新H卷,第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题

裂项相消法求和

2020年新I卷，第21题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程

2020年新II卷,第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

a<

3。之/(x)恒成立<=>«>/(x)max，/(x)恒成立Qa<f(x)min,

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

知识点1恒成立问题常见类型

利用导数研究恒成立问题核心考点

知识点2恒成立问题的解决策略考点1利用导数解决函数恒成立问题

知识讲解

1.恒成立问题常见类型

假设X为自变量，其范围设为。，为函数；。为参数，g(a)为其表达式，

(1)了(X)的值域为［m,知］

①Vxe£>,g(a)«/(x),则只需要g(a)［/⑺/=加

VxeD,g(a)</(x),则只需要g(a)</(x*

②VxeRg(a)之/(%),则只需要g(a)之/(x)1mx=Af

VxeD,g(a)>/(x),则只需要g(a)>/(x)1mx=Af

(2)若的值域为®，域)

①VxeD,g(tz)</(x),则只需要

VxeRg(a)</(x),则只需要g(a)W/w(注意与⑴中对应情况进行对比)

②VxeZ),g(a)>/(x),则只需要g(a)»Af

VxeD,g(a)>/(x),则只需要g(a)2〃(注意与(1)中对应情况进行对比)

2.恒成立问题的解决策略

①构造函数，分类讨论；

②部分分离，化为切线；

③完全分离，函数最值；

④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有'形'，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等

式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综

合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热

点.

考点一、利用导数解决函数恒成立问题

■典■■例■■■引■■■领■■

cinY(jrA

1.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/5)=办———,xe0,-

cosxI2J

⑴当a=8时，讨论/(x)的单调性；

⑵若/(元)<sin2无恒成立，求。的取值范围.

2.(2020•海南•高考真题)已知函数/(x)=aei-lnx+lna.

(1)当”=e时，求曲线y=〃x)在点(1,/。))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若不等式/'(x)21恒成立，求a的取值范围.

3.(2020•全国•统考高考真题)已知函数"x)=e'+依2-x.

(1)当4=1时，讨论了(X)的单调性；

(2)当定0时，f(x)>|x3+l,求。的取值范围.

即时检测

...........

1.(2023・河北•模拟预测)己知函数〃x)=(e-a)e£+x(aeR).

⑴讨论函数的单调性；

(2)若存在实数“，使得关于x的不等式/(x)(久恒成立，求实数％的取值范围.

2.(2023•江苏盐城・统考三模)已知函数/(x)=e'-e"(a+lnx).

⑴当a=l时，求〃x)的单调递增区间；

(2)若〃x)20恒成立，求。的取值范围.

3.(2023.浙江杭州•统考二模)已知函数f(x)=e*-々aeR).

⑴讨论函数〃元)零点个数；

(2)若，(元)|>alnx-a恒成立，求a的取值范围.

4.(2023・湖北荆门•荆门市龙泉中学校考模拟预测)设函数4x)=e'-水，尤N0且aeR.

⑴求函数的单调性；

(2)若Nx2+1恒成立，求实数a的取值范围.

5.(2023•山东・山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数〃x)=e'-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴讨论方程〃力=%实数解的个数；

⑵当时，不等式〃x)2g(x)恒成立，求。的取值范围.

【基础过关】

1.(2023・重庆・统考模拟预测)已知函数"x)=flx-ln(x+l)-cosx,aeR.

⑴当。=0时，求〃x)在尤=0处的切线方程；

⑵若xe[0,l]时，/(力2-1恒成立，求。的取值范围.

2.(2023•安徽蚌埠•统考三模)已知函数/(xXx-l+axlnxmeR).

(1)求函数/(X)的单调增区间；

(2)函数g(尤)=m。+1)+/(无)，当0<aWl时，g(元)N0恒成立，求整数机的最小值.

3.(2023•安徽滁州•校考一模)已知函数/(x)=lnx+3,aeR.

X

⑴当a=l时，求函数了(无)的单调区间；

(2)当时，若关于x的不等式x-2a恒成立，试求a的取值范围.

4.(2023•辽宁鞍山•校联考一模)己知函数〃尤)=g尤2-alnxgeR,awO).

⑴求函数的单调区间；

(2)若对任意的xe[L+e),都有成立，求a的取值范围.

5.(2023•广东惠州・统考一模)已知函数/(x)=巨詈土

⑴当a=2时，求“力在(-1"(-1))处的切线方程；

(2)当尤20时，不等式/(x)W2恒成立，求。的取值范围.

6.(2023・湖南衡阳•校考模拟预测)己知函数/(x)=2xlnx-2依2,«eR.

(1)当a=g，求/(x)的单调递减区间；

⑵若/(%)<工?-lux-1在(1,+«)恒成立，求实数。的取值范围.

7.(2023•浙江宁波・统考一模)已知函数/(尤)=sin犬一双，awR.

(1)若a=2,求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

⑵若了(%)2。在xe,竽]上恒成立，求实数a的取值范围.

OO

8.(2023•江苏无锡・辅仁高中校考模拟预测)己知函数/(元)=-尤+lnx,g(x)=xeJ:-2x-m.

(1)求函数“X)的极值点；

(2)若/(x)4g(力恒成立，求实数机的取值范围.

9.(2023・河北•校联考一模)已知函数/■(x)=sin2x+<2?.

(1)当。=1时，求〃尤)的单调区间；

JT

⑵若xe0,y,不等式sin(2cos尤)+恒成立，求实数°的取值范围.

10.(2023•安徽马鞍山•统考三模)己知函数/(x)=(x+l-2a)ln(x-a)

(1)当a=2时，求函数〃无)的极值；

⑵当x"+l时，"X)1-1恒成立，求实数。的取值范围.

【能力提升】

1.(2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)已知函数“xbd-cosx.

⑴求的零点个数；

⑵当xe0,1时，妙(x)恒成立，求b的取值范围.

2

2.(2023•黑龙江齐齐哈尔・齐齐哈尔市实验中学校考三模)已知函数〃x)=——+lnx(«>0).

x+a

(1)当。=0时，求函数/(x)的极值；

(2)若疝2/(x)恒成立，求实数。的取值范围.

3.(2023・海南•校考模拟预测)已知a>0,函数〃x)=xe“-依.

⑴当。=1时，求曲线y=在x=l处的切线方程；

⑵若〃x"lnx-x+l恒成立，求实数。的取值范围.

4.(2023•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数"x)=e，-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴讨论方程〃力=%实数解的个数；

(2)当时，不等式〃x)2g(x)恒成立，求。的取值范围.

5.(2023•江苏无锡•江苏省天一中学校考模拟预测)已知函数=—aeR

(1)当a=2时，证明：〃x)20在［1,+8)上恒成立；

⑵判断函数“X)的零点个数.

6.(2023•福建厦门•统考模拟预测)已知函数〃x)=(e*-l)(2+cosx)-3asinx.

⑴当a=l时，讨论“X)在区间［0,+8)上的单调性；

⑵若Vxe--,+®J,/(x)>0,求。的值.

7.(2023广东•校联考模拟预测)己知函数〃力=亚二1)

JC

(1)当°=1时，证明：/(x)<lnx；

x-1Inx/、

⑵已知在x«l,+co)上恒成立，求。的取值范围.

8.(2023•山东荷泽・山东省邺城县第一中学校考三模)已知函数〃尤

⑴求函数〃x)的单调区间；

(2)若函数在［3,4］上单调递增，求实数沉的取值范围；

(3)若「⑴=0,且/(%)+f4无(*+1)+6在(0,+8)上恒成立,证明：

K—1

9.(2023•河北沧州•校考模拟预测)9知函数〃力=1"：2一1).

⑴求函数“X)的极值点个数；

⑵若不等式(x+l)2/(x+l)>加在(1,+8)上恒成立，求机可取的最大整数值.

10.(2023・广东佛山•统考模拟预测)已知函数〃尤)=x(a-e2］,其中aeR.

(1)讨论函数〃尤)极值点的个数；

(2)对任意的x>0,都有/(x)W-Inx-1,求实数。的取值范围.

【真题感知】

1.(北京・高考真题)已知函数/(x)=ln「.

(I)求曲线y=/(x)在点(0，〃。))处的切线方程；

(II)求证：当X«O,1)时，+

(III)设实数上使得〃x)>左卜+：)寸xe(O,l)恒成立，求上的最大值.

2.(天津・高考真题)已知函数/(x)=x+@+b(xr0),其中a,R

(1)曲线>=/(尤)在点尸(2J(2))处的切线方程为y=3x+l,求函数〃x)的解析式;

(2)讨论函数Ax)的单调性；

(3)若对于任意的aeI，2,不等式/Q)<10在上恒成立，求b的取值范围.

2,

3.(江西•高考真题)已知函数/(%)=/+QX2+"+C在工=一1与工=1时都取得极值

(1)求。、人的值与函数/(兀)的单调区间

(2)若对xe[-l,2],不等式/(x)<c2恒成立，求c的取值范围.

4.(湖南•高考真题)函数了⑺二曲^^耳犬耳。,”)，记忆,为了⑺的从小到大的第w(〃eN*)个极值点.

(I)证明：数列"(匕)｝是等比数列；

(II)若对一切"eN*,恒成立，求。的取值范围.

5.(四川•高考真题)设函数"2_〃_1nx,其中〃£R.

(I)讨论於)的单调性;

(H)确定a的所有可能取值，使得在区间(1,+oo)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

X

6.(天津・高考真题)已知函数/(*)=*+9+从工工0),其中a/“火.

X

(I)若曲线)，=/(*)在点P(2./(2))处的切线方程为y=3.t+1，求函数/(x)的解析式；

(II)讨论函数/(K)的单调性；

(III)若对于任意的；,2,不等式/卜区10在[；1]上恒成立，求/)的取值范围.

第05讲利用导数研究恒成立问题

(核心考点精讲精练)

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第19题,12分利用导数研究不等式恒成立问题含参分类讨论求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间

(不含参)

2023年新II卷,第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

根据极值点求参数

含参分类讨论求函数的单调区间

2022年新H卷,第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题

裂项相消法求和

2020年新I卷，第21题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程

2020年新II卷,第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

a<

3。之/(x)恒成立<=>«>/(x)max，/(x)恒成立Qa<f(x)min,

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

知识点1恒成立问题常见类型

利用导数研究恒成立问题核心考点

知识点2恒成立问题的解决策略考点1利用导数解决函数恒成立问题

知识讲解

3.恒成立问题常见类型

假设X为自变量，其范围设为。，为函数；”为参数，g(a)为其表达式，

(1)了(X)的值域为［m,知］

①Vxe£),g(a)«/(x),则只需要g(a)=加

VxeD,g(a)</(x),则只需要g(a)</(x*

②VxeRg(a)之/(%),则只需要g(a)之/(x)1mx=Af

VxeD,g(a)>/(x),则只需要g(a)>/(x)1mx=Af

(2)若的值域为®，域)

①VxeD,g(tz)</(x),则只需要

VxeD,g(a)</(x),则只需要g(a)Wm(注意与⑴中对应情况进行对比)

②VxeZ),g(a)>/(x),则只需要g(a)»Af

VxeD,g(a)>/(x),则只需要g(a)2〃(注意与(1)中对应情况进行对比)

4.恒成立问题的解决策略

①构造函数，分类讨论；

②部分分离，化为切线；

③完全分离，函数最值；

④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有'形'，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等

式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综

合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热

点.

考点一、利用导数解决函数恒成立问题

■典■■例■■■引■■■领■■

cinY(jrA

1.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/5)=办———,xe0,-

cosxI2J

⑴当a=8时，讨论/(x)的单调性；

⑵若/(x)vsin2x恒成立，求〃的取值范围.

【答案】(1)答案见解析.

⑵(—8,3]

【分析】(1)求导，然后令，=cos2.讨论导数的符号即可;

(2)构造g(%)=73-sin2%,计算/(%)的最大值,然后与0比较大小，得出。的分界点，再对。讨论即可.

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

【详解】(1)f{x}=a-

COS6X

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a—4=a—4

COSXCOSX

令cos?%=乙贝!Jt£(0,1)

3—2/at?+2t—3

则〃

/'(x)=g«)=—.2.2

8r+2/-3(2/-1)(4/+3)

当，

a=8,1(%)=g()=2：2

兀兀

当即xe,/W<0.

4；2

当代.11gpxef0,^l/(x)>0.

7171

所以在上单调递增，在

/(x)452上单调递减

(2)设g(x)=/(%)—sin2%

a5+2t—323

---^设

2-2(2t-l)=a+2-4t+

23

(p(t)=a+2-4t+------

，,、“26-4/-2f+62(/—1)(2产+2什3)

(p(t)=-4--+—=>0

所以以/)＜。⑴=ai3.

1°若ae(-00,3],g'(x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在，，3上单调递减，所以g。)<g(o)=o.

所以当。€(e,3],/。)。山2元,符合题意.

2。若々£(3,+00)

00

当/-0,2_g=-3^-—^—>—00，所以夕Q)—>—.

0⑴=々_3>0.

所以％e(0,1),使得。&)=0,即现e(0,使得/(%)=0.

当年(/0,1),00>0,即当X€(0,%())"0)>0,8(彳)单调递增.

所以当xe(0,%),g(x)>g(0)=0,不合题意.

综上〃的取值范围为(-'3].

【点睛】关键点点睛:本题采取了换元，注意复合函数的单调性f=cosx在定义域内是减函数，若％=cosx。,当

f1),0Q)>0,对应当彳€(0,飞)送'(尤)>0.

2.(2020・海南・高考真题)已知函数/(x)=ae*r-Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=〃x)在点(1,/。))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若不等式恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)告(2)口,+8)

e-1

【分析】(1)利用导数的几何意义求出在点(Lf(l))切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形

面积公式得结果；

(2)方法一：利用导数研究函数“X)的单调性，当。=1时，由-⑴=0得/(力“加=/'⑴=1,符合题意；当

时，可证rd)广⑴<0,从而尸(X)存在零点%>0,使得/(x0)=a*T-’=0,得到/(初…利用零

axo

点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得了(力21恒成立；当0<。<1时，研究7(1).

即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.

【详解】(1)Q/(x)=e*-lnx+1,f'(x)=ex--,:.k=f'(V)=e-l.

x

Qf(l)=e+1,.•.切点坐标为(1,1+e),

函数f(无)在点(lg)处的切线方程为y--l=(e-l)(尤-1),即y=(e—l)x+2,

•••切线与坐标轴交点坐标分别为(。,2),(二0),

e-1

1-92

所求三角形面积为彳x2x|―-|=-

2e—1e—1

（2）［方法一］:通性通法

Q于(x)=aex~x-Inx+In<2,f'{x}=aex~l—,且〃>0.

x

设g(x)=1⑴,则gG)=ae-+-4>0,

・•・g(x)在(0,+8)上单调递增，即广⑴在(0,+8)上单调递增,

当a=1时，/⑴=0,二“力加="1)=1,.：/(x)21成立.

1111-1

当4>1时,-<1,•羡(一):⑴=a(--l)(a-l)<0,

二存在唯一%>0,使得((Xo)=a*T-■-=0,且当xe(O,Xo)时r(x)<0,当xe(毛,+8)时八元)>0,

xo

时11

--,/.In<2+x0-1=-Inx0,

%

因此/(x)min=/Uo)=ae&T-In/+Ina

-----FIn6z+XQ-1+In2InQ-1+21—,—2InQ+1>1,

%0Vo

.：〃X)>1,"(x)21恒成立；

当0<a<l时，/(l)=a+lna<a<l,/⑴不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［1,+8).

［方法二］【最优解】：同构

由/(x)21得ae、i—In尤+lna21,即+ln“+x—l2In尤+无，而In无+x=**+ln无，所以

elnfl+%-1+lna+x-l>elnv+ln^.

令h(m)=d"+m,则"(%)=e"+l>0,所以痴加)在R上单调递增.

由eSa+i+lna+x-lNeSx+lnx,可知〃(lna+x-l)2/z(lnx),所以111。+工一13111工，所以111。上(111x一芯+1)网.

^F(x)=lnx-x+l,贝(无)=▲_1=—.

XX

所以当Xe(0,1)时，F\x)>0,F(x)单调递增；

当xe(L+«)时，尸'(x)<0,尸⑺单调递减.

所以［尸(现皿=尸。)=0,则lna>0,即aUl.

所以a的取值范围为a21.

［方法三］:换元同构

由题意知。>0,x>0,令ae*T=f,所以lna+x-l=lnt,所以lna=lnr-x+l.

于是/(%)=aex'-lnx+lna=/-lnx+ln?-x+l

由于/(x)Nl,t-lnx+lnr-x+121or+lnfNx+ln无，而y=x+ln尤在无e(0,+co)时为增函数，i^t>x,即

x

ae^>x,分离参数后有a22.

e

x

A/x%二匚i、i，/、e"i—xce"i(1—x)

令gO)=/F，所以g'(x)=1=洪.2•

当0<x<l时，g'(x)>O,g(x)单调递增；当x>l时，g'(x)<O,g(x)单调递减.

X

所以当x=l时，g(x)=F取得最大值为g(l)=l.所以/1.

e

［方法四］:

因为定义域为(0，"),且/㈤*1,所以/⑴N1,即a+lnaNl.

令S(a)="+ln。，则£(0)=1+工>0,所以S(a)在区间(0,+8)内单调递增.

a

因为S(l)=l,所以aNl时，有S(a)NS(l),即a+lnaNl.

下面证明当时，恒成立.

令T(〃)=Q/T—inx+ln〃,只需证当时,T(a)之1恒成立.

因为r(a)=^-'+->0,所以T(a)在区间［1,y)内单调递增，则［7(a)］*=T(l)=e^'-ln.x.

a

因此要证明时，T(a)21恒成立，只需证明［T(a)］1nto="T-lnx21即可.

由e*2x+1,InxWx-1,得ex~'>x,-lnx>l-x.

上面两个不等式两边相加可得故时，/(无)21恒成立.

当0<a<l时，因为/⑴=。+山”1,显然不满足/'(x)N1恒成立.

所以a的取值范围为.

【整体点评】(2)方法一：利用导数判断函数/(尤)的单调性，求出其最小值，由九.NO即可求出，解法虽

稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；

方法二：利用同构思想将原不等式化成65+1+lna+尤+lnx,再根据函数以间^em+m的单调性以

及分离参数法即可求出，是本题的最优解；

方法三：通过先换元，令a*一,再同构，可将原不等式化成r+ln此x+lnx,再根据函数，=x+ln尤的

单调性以及分离参数法求出；

方法四：由特殊到一般，利用了⑴可得。的取值范围，再进行充分性证明即可.

3.(2020.全国•统考高考真题)已知函数/(无)=1+62-x.

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当定0时，f(x)二丁+1,求。的取值范围.

【答案】(1)当xe(—,0)时，尸(龙)<0,〃力单调递减，当x«0,y)时，单调递增.(2)

-7-e2

,+00

4

【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.

(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值

即可确定实数。的取值范围.

【详解】(1)当a=l时，f(x)=e+x2-x,/(x)=e'+2x-l,

由于f'(x)=e工+2>0,故尸(无)单调递增，注意到/'(0)=0,故:

当时，/'(x)<0,〃x)单调递减，

当xe(O,y)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

(2)［方法一］【最优解】：分离参数

由/(x)25尤+1得‘e"+ax2—.x..x3+1,其中x2。,

①.当x=0时，不等式为：121,显然成立，符合题意；

A3

e_1r_r_I

②.当尤>0时，分离参数。得，2，

u…-------z------

x

^x2-x-1

ex--x3-x-l(x-2)e*

记g(x)=-一马一，"——

令力(尤)=e"'0),

贝(j//(无)=el-x-l,h(x)=e'-l>0,

故"(x)单调递增，〃(x)N〃(O)=O,

故函数为(x)单调递增，/i(x)>/i(O)=O,

由/z(x)NO可得：e"—5彳2—x—1..0恒成立，

故当xe(0,2)时,g<x)>0,g(x)单调递增;

当xe(2,+oo)时,g,(x)<0,g(x)单调递减;

I--17—e2

因此，［g(x)L「g(2)=­，

2

7-e，+O)

综上可得，实数a的取值范围是40\'

［方法二］:特值探路

7-e2

当xNO时，/(月233+1恒成立=>〃2)摩=>。

4

7一,21

只需证当心一时，9寸』恒成立.

7—0c7_

当〃〉-----时，/(x)=e"+ax2-x>ex+------e---x2-x.

44

7_p2i

只需证明ex+—-—x2-x>-x3+l(x>0)⑤式成立.

xzx3(e?—7)x2+4x+2d+4

⑤式o-----L----------------------<4，

一

人(e2-7)x2+4x+2%3+4

令h(x)=-------1---------------------(%20)，

ex

贝I]/⑺=(1"小+2(/一9卜一2尤3二

e

9-e2

所以当xe0,二一时，厅(%)<0/(尤)单调递减；

当无£广2c，21,h\x)>0,/z(x)单调递增；

当工£(2,+8),hf(x)<0,h(x)单调递减.

从而由(xXhx=max{久0),久2)}=4,即⑤式成立.

所以当〃之上-幺时，/(xRjd+i恒成立.

42

综上〃2上

4

[方法三]:指数集中

当x0时，f(x)2—d+1怛成立e"...-+1—cix^+xn(——ux^+x+l)e*W1,

2—22

记g(%)=(g%3-ax2+x+l)e-x(x>0),

gr(x)=—(—x3Q%2+x+1——%2+2,cixl)e*————(2Q+3)x+4a+2]ex=——x(^x—2Q——2)e》,

①.当2〃+140即〃(一；时，g<x)=0nx=2,则当％后。2)时，gr(x)>0,g(x)单调递增，又g(0)=l,

所以当%£(0,2)时，g(x)>l,不合题意；

②.若0<2a+l<2即一;<[<；时，则当无£(0,2a+l)u(2,+oo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当%£(2〃+1⑵

时，，⑺>0,g(x)单调递增，又g(O)=l,

1—j2721

所以若满足g(x)Wl,只需g⑵41，即g⑵=(7-44把-2<1=>0..三，所以当二三上〈.<巳时，g(x)<l

成立;

③当2a+122即a2；时，g(x)=(g尤3一依？4(g/+》+］把-",又由②可知三〃<；时，g(x)<l

1Q

成立，所以［=0时，g(x)=(5/+X+i)eTW1恒成立，

所以时，满足题意.

综上，a...-——.

4

【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本

题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：

方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；

方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；

方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！

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1.(2023•河北•模拟预测)已知函数〃x)=(e—a)e*+x(aeR).

⑴讨论函数〃尤)的单调性；

(2)若存在实数。，使得关于x的不等式恒成立，求实数力的取值范围.

【答案】(1)答案见解析.

(2)-1,+=o

【分析】(1)求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；

(2)根据第1问的结论，将恒成立问题转化为函数的最大(小)值问题，构造新函数，求出2的范围.

【详解】(1)函数〃x)=(e-a)e，+x(aeR),xeR,则尸(x)=(e-a)e"+1,

当e—aNO,即aMe时，/(尤)>0恒成立，即了⑺在R上单调递增；

当e—。<0,即a>e时，令尸(x)=。，解得x=-ln(a-e),

X(-oo,-ln(«-e))-ln(6z-e)(-ln(tz-e),+oo)

f'M+0—

fM/极大值

综上所述，当a<e是，"X)在R上单调递增；

当a>e时，/(x)在(-oo,-ln(a-e))上单调递增，在(-ln(a-e),+co)上单调递减.

(2)/(%)42。等价于(e-Q)e“+x-XQW0,令%(%)=(e-a)e“，

当aMe时,/z(l+2a)=(e-a)e1+^+l>0,所以〃(x)wO不恒成立，不合题意.

当a>e时，/(x)V4。等价于2a2/(a)max,

由(1)可知/(XLax=/(-ln(a-e))=-l-ln(a-e),

所以XaN-l-lnm-e),对a>e有解，所以；121皿。,)对有解,

a

因此原命题转化为存在a>e,使得23TTn(a-e)

a

令a⑷=Tn(ae)l,fl>e>则九2以。*…

a

—]n(〃-e)[ln(a—e)---^―

"，⑷二-----+±=-------，

aaa

e1e

令0(a)=ln(Q—e)-----,贝ij0'(a)=----+-----^->0,

〃一ea—e(a—e)

A

所以(p(a)在(e,+8)上单调递增，又0(2e)=------+ln(2e-e)=0,

2e-e

所以当e<a<2e时，。(。)<0,u\a)<0,故"(a)在(e,2e)上单调递减，

当a>2e时，<p(a)>0,u'{d}>0,故"(a)在(2e,+co)上单调递增，

所以设⑷而口=a(2e)=-L所以人」，

ee

即实数2的取值范围是

【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为存在〃>e,使得22土皿二包，利用导数研究右侧最小值，即

a

可得范围.

2.(2023•江苏盐城・统考三模)已知函数/(x)=e'Y"(a+lnx).

⑴当a=l时，求〃尤)的单调递增区间；

(2)若“司之0恒成立，求。的取值范围.

【答案】⑴(1,内)

⑵(-训

【分析】(1)代入求导得:(x)=e'-：,再次设导函数为新函数进行求导得到其单调性和其零点，从而得

到〃x)的单调增区间；

(2)法一：令g(x)=xe，-e“，利用导数和零点存在定理得存在唯一正实数%使得x°e』=e"，从而得到

Jflfl

/(x)imn=/(x())=eo-elnr()-ea,再利用隐零点法得x0+21叫'W0,再次设新函数进行求导从而得到

xo

。的范围；

法二：同法一求得1nl.=〃％)=d—e"l啄—e"a,则

fla

/(^)mn=A-+x0-a\-ea,利用基本不等式有/(x)rin>e(2-a)-e«>0,从而得到。的范围•

【详解】(1)当a=l时，/(x)-e"-e(l+lnr),尸(x)=e'1,

设夕(x)=e*一：

又“⑺=e，+城>0,必尤)在(0,4w)上单调递增,

又/'⑴=0,.•.当xe(O,l)时/(%)<(),当xe(l,+劝时

/(X)的单调递增区间为(1,+8).

(2)对函数“力求导得，/⑺=令g(x)=xe，—e",

XX

则g，(x)=er+xex>0,g(x)=xe*-e"在(0,+e)上单调递增,

又g(0)=-e"<。，当x->+8时g(x)->+<z>,

故存在唯一正实数与使得/e'。=e"，

当x<%时，r(x)<0,f(x)单调递减,

当x>x0时，f^x)>0,/(x)单调递增，

aa

；•〃力*=fM=e^-elwc0-ea,

由〃x)20恒成立，得〃x)血了0,

fl

由=ex0+\wc0=a,/./(x)^=/(-\))=e^-A：0(x0+21nx0)>0

1-%0(%0+211«:0)>0,/.^(x0+21nx0)-l<0,

%+21nx0-----<0,

尤0

i21

设%(%)=%+21nx—,贝U//(%)=Id----1—^">0怛成立，

XXX

故〃(%)在(0,+8)上单调递增，而/2(1)=0,

0<x0<1,

又升+1啄=a且函数>=尤+如在(0,1］上是增函数，

故。的取值范围为(-8』

法2：同法一得/(x).=/(九0)=/一6"叫一^"

x

由x0e°=e"得x0+lnx0=a,

a

er1\(1)

.*•f(x).=---e。IHXQ—e"a=e。---IHXQ_e。a=e。|---F—Q_caa

\'min丫YIY

Ao\Ao7l人o7

>ea(2-a)-eflfi>0,当且仅当%=1时等号成立，

e°(2-2«)>0,

故。的取值范围为(-*1]

【点睛】关键点睛：本题第二问利用零点存在定理及隐零点法得到〃x)1nm=〃与)=e&-x°e-(5+21mo)20,

从而有毛+21叫-，W0,再次重新设函数Mx)=x+21nx-L根据其单调性和零点得到。<x°W1,从而得

入0X

到a£(-00,1].

3.(2023•浙江杭州•统考二模)已知函数/(x)=e'-3(aeR).

X

⑴讨论函数〃尤)零点个数；

(2)若，(尤)|>aln尤-。恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

⑵(-8,产)

【分析】(1)将f(x)零点问题转化为函数图象交点问题，设Mx)=xe)求出函数的导数，判断单调性，

作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.

(2)分。=0,。<0,。>0三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值

情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.

【详解】(1)由/(x)=e*-3=。，得==a,(xw0),

设=,则”(%)=(x+l)e",

当xv-l时，”(了)<0,当一1<兀<0,%>0时，

所以可无)=xex在(-1,0),(0,y)上单调递增；在