2025年上海市数学高考一轮复习：复数（考点练+模拟练）含详解

专题10复数（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（23-24高三下•上海青浦•阶段练习）i为虚数单位，则=.

2.（23-24高三下•上海•期中）已知复数z=3,则zi的值等于.

3.（2024・上海・三模）已知复数z=«2+3i）（i为虚数单位），则z的实部为.

4.（2023・上海崇明•一模）已知复数4=2+ai,z2=3+i,若是纯虚数，则实数。=.

5.（22-23高三上•上海普陀•阶段练习）若复数z=l-2i（i为虚数单位），则z-2-z=.

6.（23-24高三上•上海黄浦•期中）已知复数z=l-i（i为虚数单位），则满足三w=z的复数w为.

7.（2024・上海•模拟预测）已知复数z满足z=（2-2i）i,则Imz=.

8.（23-24高三下•上海•阶段练习）已知i是虚数单位，则.

9.（23-24高三上•上海奉贤•阶段练习）已知复数z=l+ai（aeR）,其中i是虚数单位，Re（zi）=2,则。=.

10.（21-22高三下•上海浦东新•阶段练习）已知复数z满足z（l+i）=2zi（feR）,若|z|=2及，贝心的值为.

11.（23-24高三上•上海•期中）若复数z满足|z-3|+|z+3|=10,则|z|的最小值为_____.

12.（23-24高三上•上海浦东新•开学考试）已知复数z满足|z-2|=2|z-2i|,贝!||z|的最大值为.

13.（23-24高三下•上海浦东新•阶段练习）若2i-3（i为虚数单位）是关于x的实系数方程2/+px+q=0的一个

根，则P—4=.

n—1

14.（21-22高三上•上海虹口•期中）已知z=——,其中i为虚数单位，a>0,复数。=z（z+i）的虚部减去它的实部

1-1

3

所得的差等于1，则复数0的模为

15.（21-22高三下.上海浦东新・阶段练习）已知/（%）=犬+（4+1■+2-°是偶函数,则复数（。+：1）（2>4）的模为.

16.（2023・上海虹口•一模）设机，weR,i为虚数单位，若1-后是关于）的二次方程Y+如+〃=。的一个虚根,

则m-\-n=.

17.（22-23高二上•上海虹口•阶段练习）已知关于x的方程/+区+3=0伏eR）有两个虚根a与且|a-⑶=2&,

实数k的值是.

18.（2023・上海闵行•模拟预测）若|z+l-i|=l,则目的最大值与最小值的和为.

19.（21-22高三下•上海虹口•阶段练习）已知|z|=l,左eR且z是复数，当归+左+]的最大值为3,则左=.

20.（21-22高三下.上海浦东新•阶段练习）欧拉公式屋=cosO+isin。，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立

了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列｛%｝的通项公式为

ynrmr

an=cos——+isin--（«=1,2,3,..）,则数列｛4“｝前2022项的乘积为

21.（21-22高三下.上海虹口•阶段练习）已知关于x的方程：Y-（6+i）x+9+ai=0（oeR）有实数根6,若复数z满

足日-"历卜2忖，则忖的最小值为.

22.（21-22高三下•上海徐汇.阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是.

①同2=归|;②若Zj-Z2〉。，则Z]>Z2；

③若（Z]_Z2）2+卜2—Z3『=0,则Z]=Zz=Z3；④忆-Z?|=J（Z]+Z2J-dZ—；

⑤z；=z；,则Z].司=z?Z；⑥2乎2Vz；+z；；

⑦两个共轨复数的差是纯虚数；⑧若|z+i|=|z-i|,则Z必为实数.

二、单选题

23.（2024高三・上海.专题练习）设a,6eR,“复数a+历是纯虚数”是“a=0”的（）

A.充分而不必要条件；B.必要不充分条件；

C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件.

24.（23-24高三下•上海杨浦•阶段练习）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（）

A.若z=2,贝Uz为实数B.若z2<0,贝Uz为纯虚数

C.若z=2，贝|z=±l,土iD,若z3=l，则彳=z2

Z

25.（23-24高三下•上海・开学考试）下列命题不正确的为（）

A.若复数句，zZ的模相等，则句，z?是共轨复数

B.4，Z2都是复数，若马+马是虚数，则均不是z?的共朝复数

C.复数是实数的充要条件是z=5

D.zsC,|z+i|+|z-i|=2,则z对应的点Z的轨迹为线段

26.（2023・上海宝山•一模）已知z是复数，三是其共轨复数，则下列命题中正确的是（）

A.z2=|z|2B.若目=1,贝电一1一1的最大值为四+1

C.若z=（l-2i）2,则复平面内三对应的点位于第一象限D.若l-3i是关于x的方程f+px+q=0（p,qeR）

的一个根，贝内=-8

27.（2002・上海•高考真题）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）

5n一］71,571

------,Z£CB.<1,—<argz<——，z£C

666

z|z|<l,Imz>^-,zeC

C.l,Imz>—,ZGCD.

2

28.⑵-22高三上.上海浦东新•阶段练习）已知函数个）=1鸣（1-三。的定义域为A，复数2=言一理若由A

则Iz|的取值范围是（）

A.1<|Z|<A/5B.1<|Z|<A/5

C.l<|z|<^D.l<|z|<^

29.（2023・上海闵行•一模）已知复数4、z?在复平面内对应的点分别为尸、Q,|OP|=5（。为坐标原点），且

zf-ZjZj-sin0+zf=0,则对任意OeR,下列选项中为定值的是（）

A.\OQ\B.\PQ\C.△。尸。的周长D.△OPQ的面积

30.（22-23高三下•上海宝山•阶段练习）数学家们在探寻自然对数底e=2.71828与圆周率兀之间的联系时，发现了

以下公式:

(1)e%=l+-+—+—+—+

1!2!3!4!n\

3512M-1

/八•xx+xX

(2)sinx=—--••+(-ir1----------------------1-••••

3!5!7!(2n-l)!’

x2%4X6-2

(3)cosx=1-一十-----------------------------1-------.

2!4!6!(2n-2)l

上述公式中，xeC,〃为正整数.

据此判断以下命题中正确的个数是（）（i为虚数单位）.

①e"=cosx+isinx；②ea=sinx+icosx;@em+1=0;®e17t+i=0;⑤卜"+e"<2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、解答题

31.(2012高三上•上海徐汇・学业考试)已知复数4=H_+(a2_3)i,Z2=2+(3a+l)i,aeR.

⑴若复数4-%在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)若虚数4是方程f一6%+加=0的一个根，求实数机的值.

32.(2021・上海•模拟预测)已知关于x的方程f-3依-3a=0(aeR)的虚数根为小马.

(1)求国+国的取值范围；

(2)若归-马卜1,求实数。的值.

33.(21-22高一下•上海嘉定・期末)已知复数4="一名必=2-々+1,(0€1<),若4和z?互为共轨复数.

⑴求实数。的值；

IT]Z,Z2

(2)求满足不等式”2>4的实数m的取值范围.

34.(21-22高三下•上海宝山•期中)已知虚数z=a+icos。，其中a,OGR,i为虚数单位.

⑴若对满足条件的任意实数仇均有归+2-归3,求实数a的取值范围；

(2)若z,z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a,。的值.

35.(2020高三・上海・专题练习)已知复数2=*+”，w=x'+y'i,z0=l-mi(m>0),z,w,z0满足卬=空,\w\=1\z\.

(1)若z所对应点(x,y)在圆Y+y2-4x=o上，求w所对应点的轨迹；

(2)是否存在这样的直线/,z对应点在/上，w所对应点也在直线/上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，

请说明理由.

36.(22-23高一下•上海杨浦•期末)设f(z)是一个关于复数z的表达式,若同)=菁+卯(其中x,»4，%eR，i

为虚数单位)，就称了将点尸(龙》)7•对应”到点。(公乂).例如〃z)2将点(0,1)7'对应”到点(0,-1).

Z

⑴若f(z)=z+l(zeC)点虫U)丁对应”到点0,点空了对应”到点。2。,1),求点0、G的坐标；

(2)设常数入reR,若直线/：y=kx+t,/(z)=z2(zeC),是否存在一个有序实数对(仁。，使得直线/上的任意

一点P(x,y)“对应”到点Q(.M)后，点。仍在直线/上？若存在，试求出所有的有序实数对化。；若不存在，请说

明理由；

⑶设常数“，beR,集合D={z|zeC且Rez>0}和A={o|oeC且同<1},若/⑵二安;满足：①对于集合。

中的任意一个元素z,都有/(z)eA；②对于集合A中的任意一个元素。，都存在集合D中的元素z使得。=f(z).请

写出满足条件的一个有序实数对(a,b),并论证此时的f(z)满足条件.

02上海模拟练

一、填空题

2-i

1.（2024•上海闵行.三模）复数z=—（i为虚数单位），贝匹=.

1

2.（2024•上海奉贤二模）已知复数z=（3-4i）-i（i为虚数单位），贝ijz=.

3.（2023・上海黄浦・一模）已知复数z满足（l+i）z=4-2i（i为虚数单位），则复数z的模等于.

4.（2023・上海金山・一模）已知机是实数，i是虚数单位,若复数z="1的实部和虚部互为相反数,则目=.

5.（2023・上海静安•一模）已知复数z=±辿（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数。的

a-i

取值范围是.

6.（2024・上海普陀・二模）已知复数z=l+i,其中i为虚数单位，则彳在复平面内所对应的点的坐标为.

7.（2024・上海宝山.二模）设实数尤、y满足（尤+用1-2+不=（尤-向（1+:1）6为虚数单位），贝p+y=.

8.（2023・上海杨浦•模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点是A,其共辗复数2在复平面内对应的点是反。是

坐标原点，若A在第一象限，且。则土二=.

z—Z

9.（2024.上海杨浦•二模）设复数4与句所对应的点为Z1与ZZ,若4=l+i,z2=i-z1；则,乙卜.

10.（2024.上海黄浦・二模）若实系数一元二次方程Y+"+6=0有一个虚数根的模为4,则“的取值范围是.

11.（2024・上海・三模）已知关于龙的一元二次方程尤2+履+公-2左=0有两个虚根X”尤2,且片+月=3,则实数上的

值为.

12.（2017・上海•三模）已知函数〃x）=log/3'+l）+；a法为偶函数，g（元）=2工+七挈为奇函数，其中。、b为常

322

数，贝以0+6）+（疗+^）+,3+》3）+-+廿00+。皿）=

二、单选题

13.（2024・上海长宁•二模）设zeC,则“z=7'是"zwR”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.（2020・上海杨浦・一模）设4a2为复数，则下列命题中一定成立的是（）

A.如果马>0,那么4>z?B.如果㈤=%|,那么Zj=±z?

C.如果B>1,那么闵>闾D.如果z；+z：=0,那么z=Z2=。

Z2

15.(2022•上海黄浦•模拟预测)复平面内存在复数4=10=-1,23="+立1对应的三点21,423,若点乙可

22一

与Z”Z2，Z3共圆，则下列复数中可以表示为Z4的是()

A.tanl5°+cot30°iB.cos450+sin30°i

C.tan30°+sinl50iD.sin75o+sinl5°i

16.(2022・上海奉贤•一模)复数(cos29+isin3(9>(cose+isin，)的模为1,其中i为虚数单位，夕e[0,2兀],则这样

的e一共有()个.

A.9B.10C.11D.无数

三、解答题

17.(2019・上海•模拟预测)已知复数z满足|z|=0，Z?的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设复数z、Z?、z-z?在复平面上对应点分别为A、B、C,求(OA+OB)OC的值.

18.(2021・上海浦东新•模拟预测)已知关于x得二次方程：尤?+(2+i)x+4ab+(2a-6)i=0(a,beR).

(1)当方程有实数根时，求点(。力)的轨迹方程；

⑵求方程实数根的取值范围.

19.(2018•上海奉贤•二模)设复平面上点Z对应的复数z=x+y“xeR,yeR)C•为虚数单位)满足

|z+2|+|z-2|=6,点Z的轨迹方程为曲线G.双曲线G：/一片=1与曲线有共同焦点，倾斜角为二的直线/与双

曲线G的两条渐近线的交点是A、B,OAOB=2>。为坐标原点.

(1)求点Z的轨迹方程G;

(2)求直线/的方程；

(3)设APQR三个顶点在曲线G上，求证：当。是APOR重心时，APQR的面积是定值.

专题10复数（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

2-i3

1.（23-24高三下•上海青浦•阶段练习）i为虚数单位，则——=

【答案】典

22

【解析】因为宗2+i(2+i)(l-i)3-i31.

IT?―+一〒一二？

故答案为：叵.

2

2.（23-24高三下•上海•期中）已知复数z=3,贝人三的值等于_______.

1-1

【答案】2

【分析】利用复数的除法运算求出z,再利用共轨复数及复数乘法计算即得.

2i.(l+i)-2+2i

【解析】复数Z-=-l+i,z=-i-i，

(l-i)(l+i)2

所以z「=(-l+i)(-l-i)=2.

故答案为：2

3.（2024.上海.三模）己知复数z=i（2+3i）（i为虚数单位），则z的实部为

【答案】-3

【分析】利用复数的运算法则，化简为。+6i（a，6eR）的形式，即。为实部.

【解析】z=i（2+3i）=2i+3i2=-3+2i.

所以复数的实部为-3.

故答案为：-3

4.（2023・上海崇明•一模）已知复数Z=2+ai,z2=3+i,若z邑是纯虚数，则实数。=.

【答案】6

【分析】根据复数的乘法运算，求得Z|Z2=（6-a）+（3a+2）i,再根据4乌为纯虚数，即可求解.

【解析】」ZiZ2=（6-a）+（3a+2）i,若z—是纯虚数

6—a=0

所以__即Q=6

3a+2w0

故答案为：6

5.（22-23高三上•上海普陀•阶段练习）若复数z=l-2,（i为虚数单位），贝壮扬-z=

【答案】4+2z72z+4

【分析】根据共轨复数的定义以及复数的乘法、加法运算即可求解.

【解析】由z=l-2,得W=i+2i，

所以z-2—z=（l—2i）（l+2i）—（1—2i）=5—l+2i=4+2i,

故答案为：4+2i

6.（23-24高三上•上海黄浦•期中）已知复数z=l-i（i为虚数单位）,则满足Zw=z的复数w为

【答案】-i

【分析】根据已知结合共辗复数得出彳=l+i,代入化简，即可得出答案.

【解析】z=l-i,则5=l+i,

则三十=2,为（l+i>w=l-i,

2

即吁匕(I)l-2i+i2-2i

1+i(l+i)(l-i)l2-i22

故答案为：—i

7.（2024・上海•模拟预测）已知复数z满足z=（2-2i）i,则Imz=

【答案】2

【分析】利用复数的乘法运算求出z即可得解.

【解析】依题意，z=2+2i,所以Imz=2.

故答案为：2

8.（23-24高三下•上海•阶段练习）已知i是虚数单位，则加

【答案】1/0.5

【分析】由复数除法运算以及虚部的概念即可求解.

故答案为：

9.（23-24高三上.上海奉贤.阶段练习）已知复数z=l+ai（aeR）,其中i是虚数单位，Re（zi）=2,则。=

【答案】-2

【分析】先求得zi,然后根据zi的实部求得

【解析】依题意，zi=(l+ai)i=-a+i,

而Re(zi)=2,所以一“=2,。=一2.

故答案为：-2

10.(21-22高三下.上海浦东新•阶段练习)已知复数z满足z(l+i)=24reR),若回=2夜，则t的值为,

【答案】2或-2

【分析】先由z(l+i)=2/i(feR)求出z,再由目=20列方程可求出t的值

、/、2ri2ri(l-i)

［解析］由z(zl+i)=2G(fwR),^z=---=-———-=ri(l-i)=f+ri,

v7v71+1(1+1)(1-1)

因为14=20,

所以产+/=卜6')，解得f=2或/'=—2,

故答案为：2或-2

11.(23-24高三上.上海•期中)若复数z满足|z-3|+|z+3|=10,则的最小值为_____.

【答案】4

【分析】根据题设条件确定复数z对应点在以(3,0),(-3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，结合椭圆性质及|z|的几

何意义确定最小值.

【解析】设2=.丫+其且x,yeR,又解-3|+|z+3|=10,

所以J(尤-3)2+3+J(元+3)2+5=10,

即点(％y)到两定点(3,0),(-3,0)的距离之和为10,

所以点(x»)在以(3,0),(-3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，

由|z|=J7T7表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴b=病二/=序导=4.

故答案为：4

12.(23-24高三上•上海浦东新•开学考试)己知复数z满足|z-2|=2|z-2i|,贝||z|的最大值为.

［答案］2a+4近

3

【分析】

设复数z的代数形式，根据给定的等式求出复数z在复平面内对应点的轨迹作答.

【解析】设复数z=x+yi(x,yeR),由|z-21=2|z-2i|,得而三节7=2后而二了，

整理得V+y2+［x-?y+4=0,即(x+g)?+(y--1)2=,

因此复数z在复平面内对应点(x,y)在以点C(-二3为圆心，逆为半径的圆，。为原点，

333

4A/22a+4出

所以12k=1。。+d-------

33

故答案为:H也

13.(23-24高三下•上海浦东新•阶段练习)若2i-3(i为虚数单位)是关于了的实系数方程2d+px+g=0的一个

击艮，贝心.

【答案】-14

【分析】由题意可将2i-3代入方程2d+px+g=0,结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得。应，即得答案.

【解析】由题意2i-3是关于x的实系数方程2x2+px+q=0的一个根，

贝！J2(2i—3)2+〃(2i—3)+q=0,即10—37+q+(2p—24)i=0,

10-3〃+q=0p=12

即得

2/7-24=0q=26

故p_g=_14,

故答案为：-14

Q—i

14.(21-22高三上.上海虹口•期中)已知z二7一，其中i为虚数单位，。〉0,复数。=z(z+i)的虚部减去它的实部

1-1

3

所得的差等于1，则复数。的模为

【答案】:正/述

22

【分析】利用复数乘法法则计算出0=3+幺空Di,从而列出方程，求出。=2,进而求出模长.

22

【解析】把2=『(〃>0),代入。中,

a-i.(l+qi)(4+i)a+l+

侍。=口---------1-1=­I1,

1-i222

工Q(Q+1)a+13d八小

由~~———,行Z〃R0=4,又。＞0,所以〃=2,

222

故|同="|+3i=^|+9=|^-

故答案为：-1A/5

15.(21-22高三下•上海浦东新•阶段练习)已知/(x)=犬+(o+l)x+2-。是偶函数,则复数(a+i)⑵-4的模为

【答案】A/10

【分析】根据/'(x)=d+(a+l)x+2-a是偶函数可得。=-1,根据复数的乘法运算求出(a+i)⑵-a)的结果，根据

模的计算求得答案.

【解析】由/cond+g+Dx+z-a是偶函数，

*m*f(—九)=f(x),(—x)2—(a+l)x+2—ci=%2+(a+1)%+2—a,

即2(a+l)%=0,因为,故a=-l,

所以(a+i)(2i—a)=(—l+i)(2i+l)=—3—i,

故复数(a+i)(2i—a)的模为«一3丫+(-打=晒，

故答案为：A/10

16.(2023・上海虹口•一模)设加，〃wR,i为虚数单位，若1-"是关于x的二次方程无2+皿+〃=0的一个虚根,

贝|m+n—.

【答案】2

r^22——2

【分析】将根代入方程，化简即可得到(-2+加+力+(-2石-鬲)i=0,列方程组即可求得一，.

[〃=4

【解析】将％=1-gi代入方程得：(1-V3i)2+m(l-V3i)+n=0,

即1一2^/§i+3i?+m-V3mi+〃=0,即(-2+m+n)+(-2^/3-石机)i=0,

所以|--2+6m-+鬲n=0=。’解[得m=-2,

所以m+〃=2.

故答案为：2

17.(22-23高二上•上海虹口•阶段练习)已知关于x的方程V+爪+3=0伏eR)有两个虚根。与夕，且|々-0=2加,

实数上的值是.

【答案】±2

【分析】由求根公式得虚根，再由题意列方程求解

【解析】由求根公式得f+履+3=0(keR)的虚根为x=-"a2-父i,

2

故3—尸|=\J12-k2=2亚,解得k—±2,

故答案为：±2

18.(2023・上海闵行•模拟预测)若|z+l-i|=l,则同的最大值与最小值的和为.

【答案】2&

【分析】由题意结合复数的何意义可得复数z表示以(-L1)为圆心的半径为1的圆，从而可求出忖的最值，进而

可得答案.

【解析】由几何意义可得：复数z表示以(-L1)为圆心的半径为1的圆，

贝[&T应+l]n|zL+|z1mM=20.

故答案为：2女

19.(21-22高三下•上海虹口•阶段练习)己知|z|=l,左eR且z是复数，当归+左+]的最大值为3,则左=.

【答案】±1

【分析】由Iz|=l可知，z.z=i，化简产+后+]可得其最值为网+2,进而求出上的值.

【解析】设z=a+历,a,b&R,因为|z|=l,所以|z『=l,z.^=\,

所以归+Az+1卜卜2+Az+z.z卜|z(z+z+人,

因为z+z="+6i+q-bi=2aeR，

所以归+%z+l|=|z(z+z+左)=[z+z+笈'z[=[2。+耳，

因为|z|=，片+k=],所以

所以以2+衣+1|=网+2=3,

IImax11

解得，k=±l,

故答案为：±1.

20.(21-22高三下.上海浦东新•阶段练习)欧拉公式屋=cosO+isine,它将指数函数的定义域扩大到复数，建立

了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列伍〃｝的通项公式为

r717Tmr

a„=cos——+isin--(n=1,2,3,),则数列｛〃“｝前2022项的乘积为一

【答案】-i

【分析】根据题意，%=8$墨+1$山瀛=/题，然后根据指数运算法则求积，再根据等差数列求和公式化简，

最后根据定义求结果.

.rm

【解析】因为屋=cose+isin。，所以。〃=cos-^+isin-^=-2022,

20222022

.Ji.2n.20227rn2无2022g.2023n

所以dya>2,■■^^2022e‘。e'。e'。e一。。。e2

2023兀..2023兀,兀、..,兀、

=cos---------Fism--------=cos(l011K+—)+isin(lOII71+—)=—1.

2222

故答案为：-i.

21.(21-22高三下•上海虹口•阶段练习)已知关于x的方程：尤2-(6+i)x+9+oi=0(aeR)有实数根6,若复数z满

足口一°一历卜2|z|,则忖的最小值为.

【答案】x/2

【分析】首先由方程求。=6=3,再根据模的公式化简为(x+iy+(y-l)2=8,再根据几何意义求目的最小值.

【解析】由条件可知，〃-(6+iW+9+a=o,

所以(片-66+9)+(a-6)i=0,

万2_66+9=0

即，解得:a=b=3,

a—b=O

设z=x+W,z=x-yi,彳-Q-bi=(x-3)—(y+3)i,

因为「一。一同=2忖，所以(彳-3)2+(〉+3)2=4(尤2+力，

BP(x+l)2+(y-l)2=8,

所以点z在以(-1,1)为圆心，2行为半径的圆上，所以|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知

\z\.—2^2—V2=V2.

IImin

故答案为：及

22.(21-22高三下•上海徐汇•阶段练习)在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是

@|z|2=|z2|;②若4—2>0,则4乜；

222

©^(zj-z2)+(z2-z3)=0,则Z]=Z2=Z3；®IZ[-z21=^(Z1+z2)-4Z；Z2;

⑤Z；=z；,则z/4=/4；@2Z1Z2<zf+zf；

⑦两个共轨复数的差是纯虚数；⑧若|z+i|=|z-i|,贝Uz必为实数.

【答案】①⑤⑧

【分析】根据复数的四则运算法则以及模长公式逐一判断，判断一个真命题需要证明，判断一个假命题需要举反例.

【解析】①设Z=a+历，则彳=。一历，=(a2+(_°)2)^2

=a2+

归|=卜_k)+2a历卜《(a2一芹丫+4a%2=^a2+b2f=/+〃

所以①正确

②设4=3+i,z2=1+1

z「Z2>0,但4与Z2不能比较大小

所以②不正确

③设Z=l+i,z2=1,z3=0

则（马一22）2+（22—23）2=。

所以③不正确

④设Z[=1+2i,z2=1+i

+2-4

贝1JIZ|—Z?I=|i|=1，7（ZIZ2）ZIZ2=V（Z1-Z2）2=Q=i

所以④不正确

⑤设Zi=4+bj,z2=a2+b2i

则Z；=（4+&J）2=（〃；-Z?j2）+2^1,Z；=（。2+耸）2=（a2—尽）+2。2%

Z=?」"；_"：="；一£

12

\2afy=2a2b2

N（Q；-b；『+4Gb；=（a；-b；『+4a豺；

"；+厅）2=（蜡+前

na；+b；=a；+b；

Z]•Z]=z2•z?

⑥当4=l+i,z?=l—i时，2z/z=4,z；+z；=0

2Z[Zz>z；+z；

所以⑥不正确

⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，

所以⑦不正确

⑧设z=a+bi（。，Z?eR）,贝!|z+i=a+（6+l）i,z-i=a+（Z?-l）i

|z+i|=|z-i|=>Ja。+（b+l）~=Ja?+（%_]『=6=0

所以⑧正确

故答案为：①⑤⑧

二、单选题

23.（2024高三.上海.专题练习）设a,beR,“复数a+历是纯虚数”是“a=0”的（

A.充分而不必要条件;B.必要不充分条件;

C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件.

【答案】A

【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.

【解析】当。+历是纯虚数时，一定有。=0,但是当。=0时，只有当。/。时，。+历才能是纯虚数，所以“复数〃+历

是纯虚数”是“a=。”的充分而不必要条件，

故选：A

24.（23-24高三下.上海杨浦•阶段练习）已知z均为复数，则下列命题不正确的是（）

A.若z=N,贝Uz为实数B.若z2<0,贝Uz为纯虚数

C.若z=2，则2=±1,±1D.若z=l，则彳=z2

Z

【答案】c

【分析】依题意由z=a+为O,8eR）可知若z=2可得/J=0,即A正确；若/<0,可得a=0,b/0,即B正确；

由z=J可得/+〃=i,贝ijz的取值有无数个；由23-1=卜一1）卜2+2+1）=0可知，z=l或2=可得D

正确.

【解析】由题意，设复数z=a+历（a,》eR）,

对于A,由z=2,即a+历=a-历，解得8=0,所以复数z为实数，所以A正确；

对于B,复数z2=4-62+2q历，因为z2<o,可得a=0,b^O,所以复数z为纯虚数，所以B正确；

对于C,令z=a+6i,由z=2整理得=i,则z的取值有无数个，所以C不正确；

Z

对于D,由z3=l，可得z3-l=0,即（zTd+z+l）=0,

解得z=l或z=-L±3i,所以彳=z2,所以D正确.

22

故选：C.

25.（23-24高三下•上海•开学考试）下列命题不正确的为（）

A.若复数4，z2的模相等，则4,z?是共辗复数

B.4,z?都是复数，若马+4是虚数，则4不是z?的共朝复数

C.复数是实数的充要条件是z=2

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,则z对应的点Z的轨迹为线段

【答案】A

【分析】根据共轨复数的定义可判断ABC,根据复数的几何意义可判断D.

【解析】对于A,若复数Z，z?的模相等，贝I]4,Z2还可能是相等的复数，故A错误；

对于B,若Z和z,是共轨复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；

对于C,若复数是实数，贝Uz=a(aeR),从而三=a(aeR),所以z=N,

反之若z=2,则由。+历=。一历(a,beR)得6=0,所以z=a,

所以复数是实数的充要条件是z=2,故C正确；

对于D,设2=°+历(a,Z?eR),

由复数的几何意义可知Iz+i,|z-i|=2表示点(°㈤到点(0,-1)和(0,1)距离之和为2,

而点(0,T)和(0,1)之间距离为2,所以z对应的点Z的轨迹为线段，故D正确.

故选：A

26.(2023・上海宝山•一模)已知z是复数，[是其共辗复数，则下列命题中正确的是()

A.z2=|z|2B.若忖=1,贝电一1一1的最大值为0+1

C.若z=(l-2i)2,则复平面内三对应的点位于第一象限D.若l-3i是关于X的方程x2+px+q=O(0,qeR)

的一个根，则q=-8

【答案】B

【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数I判断C；利用复数相等求出4判

断D.

【解析】对于A,设z=a+历(a,)eR),则|z=(a+历?=/-6?+2a历，z2^|z|2,A错误；

对于B,由|z|=l知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，

可看作该单位圆上的点到点(1,1)的距离，因为圆心到(1,1)的距离为近，

则该单位圆上的点到点(1,1)的距离最大值为&+1，B正确；

对于C,z=(l-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,则复平面内三对应的点位于第二象限，C错误；

对于D,依题意，(l-3i)2+p(l-3i)+^=0,整理得(〃+q—8)+(-3p-6)i=0,

["+g-8=0

而。应eR,因此二<八，解得。=-2应=10,D错误.

[-3p—6=0

故选：B.

27.(2002.上海•高考真题)如图，与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是()

［兀/■/5兀「zz|<l,^<argz<^,zeC

l,-<argz<—,zeCB.

o6

|z|<1,Imz>^,zGC

z|z|=1,Imz-5zeCD.

【答案】D

【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及坐标，据此进行计算可得答案.

【解析】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故目41；

又复数对应点的纵坐标大于等于;，故其虚部大于等于;，

所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为｛z||z区l,ImzN；,zeC

TT

可得/COA=NCO3=1,

所以mWargzW学，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是[z]z0,/mz42argzW”,zeC

o61|266

故选：D.

28.（21-22高三上•上海浦东新•阶段练习）己知函数/（x）=log,（1-^1）的定义域为A，复数z，若aeA,

则Iz|的取值范围是（）

A.l<|z|<>/5B.1<|Z|<A/5

C.l<|z|<V5D.1<|Z|<A/5

【答案】B

【分析】先求出，(x)的定义域A,然后化简复数，把|Z|表示成。的函数求值域即可.

o_i—r+2

【解析】由1—会r＞0,得4-〉0,即—1VXV2,所以A=(—L2)

x+lX+1

3-i1

因为复数z=^7_ai=?(3_i)(l+2i)_ai=l+(l-a)i

1-215

所以|z|=Jl+(a-l)z

因为ae(-1,2),所以|z|=71+(1-a)2e工痴

故选：B

29.(2023・上海闵行•一模)已知复数4、z,在复平面内对应的点分别为尸、Q,|OP|=5(。为坐标原点)，且

z；-ZjZ2-sin6＞+zf=0,则对任意6eR,下列选项中为定值的是()

A.\OQ\B.C.△。尸。的周长D.△OPQ的面积

【答案】A

(Y

【分析】由已知可得出a-三sin0+l=0,求出方程x2_xsin6+l=0的虚根，结合复数模的性质可得出结论.

Iz"马

【解析】因为复数4、Z2在复平面内对应的点分别为p、Q,|OP|=5(。为坐标原点)，则4*0,

1

由z；-ZJZJ-sin6+zf=。可得(三]-^-sin^+^O,

(z"Z]

对于方程尤2-xsind+l=0,则公会近己一代。,

sin0±i\/4-sin20

解方程炉-xsin，+l=0可得尤=

2

所以，乏=忖=应3手亘3=＞三，所以，口。=闫=团=|。尸|=5,

Z[2Z]

△OPQ中，由于ZPOQ不是定值，则△OPQ的面积、|尸。|均不为定值,

故选：A.

30.(22-23高三下•上海宝山•阶段练习)数学家们在探寻自然对数底。。2.71828与圆周率兀之间的联系时，发现了

以下公式:

(1)e"=1+一----1---1---1---1---1—

1!2!3!4!n\

九2〃T

(2)sinx=—---------F

1!7!(2H-1)!

(3)cosx=l-—+—-—~+•••

2!4!6!(2n-2)!

上述公式中，x