集合及集合思想应用-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题1-1集合及集合思想应用

目录

讲高考...........................................................................1

题型全归纳......................................................................3

【题型一】集合中元素表示..................................................3

【题型二】集合元素个数....................................................4

【题型三】知识点交汇处的集合元素个数......................................5

【题型四】由元素个数求参..................................................7

【题型五】子集关系求参....................................................8

【题型六】集合运算1：交集运算求参.......................................10

【题型七】集合运算2：并集运算求参.......................................12

【题型八】集合运算3：补集运算求参.......................................13

【题型九】应用韦恩图求解.................................................15

【题型十】集合中的新定义.................................................18

专题训练.................................................................20

讲高考

1.(2022•全国•高考真题(理))设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合

Z={-l,2},8={x|/-4x+3=0},则()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

［答案］D

【分析】解方程求出集合5再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，8=卜,2-4X+3=O}={1,3},所以/U5={T1,2,3},

所以。(4。3)={-2,0}.

故选：D.

2.(2021•全国•高考真题(理))已知集合5=卜卜=2〃+1,”€2},7={巾=4〃+l,〃eZ},则

S"=()

A.0B.SC.TD.Z

［答案］C

【彳析】分析可得TqS,由此可得出结论.

【详解】任取feT,则/=4〃+1=2-(2〃)+1,其中〃eZ,所以，teS,故TqS,

因此，snr=T.

故选：C.

3.(2021・北京・高考真题)已知集合/={尤|-1<尤<1},5={x|0<x<2},则/口8=()

A.{x\-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{尤|04x<l}D.{尤10(x42}

［答案］B

【骞析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：NU8={x|-l<x42}.故选：B.

4.（2021・浙江・高考真题）设集合/={x|x21},B={x\-\<x<2\,则/口3=（）

A.{x\x>-1}B.{x\x>11C.{x|-l<x<ijD.{x|l<x<2j

［答案］D

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：/n8={x［14x<2}.故选：D.

5.（2021•全国•高考真题（文））已知全集。={1,2,3,4,5},集合初={1,2},N={3,4},则

uN）=（）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4）

［答案］A

【彳析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：MUN={1,2,3,4},贝U（"UN）={5}.故选：A.

6.（2007•全国.高考真题（文））己知集合£={张05。<5M0,04。〈2；7},尸={O|tan。<sin。},

那么EC尸为区间（）

【答案】A

【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合£F,再利用交集的

运算求解.

【详解】•：E={0\cos9<sm0,O<e<27r}=<<9<}:,

尸={4tan0<sinO}=■左万<0<万+万万，左ezj-,二£「|尸=夕<万>.故选：A.

7.（2022・北京・高考真题）已知正三棱锥尸-4BC的六条棱长均为6,S是“3C及其内部的

点构成的集合.设集合T={QeS|PQW5},则T表示的区域的面积为（）

3兀

A.——B.兀C.2万D.3万

4

【答案】B

【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面/8C的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】设顶点尸在底面上的投影为0,连接8°,则。为三角形/8C的

_2*6x-=2出______

中心，且一§xX2一,故尸。=/6-12=2限因为尸0=5,故00=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，而三角形/3C内切圆的圆心为。，半径为

工=41，故S的轨迹圆在三角形/8C内部，故其面积为万故选：B

3x6

题型全归纳

【题型一】集合中元素表示

【讲题型】

例题1：已知集合/={{。},0},下列选项中均为A的元素的是()

(1){0}(2){{0}}(3)0(4){{0},0}

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

［答案］B

【3析】根据元素与集合的关系判断.

集合A有两个元素：{0}和0,

故选：B

例题2、设集合M==,k^Z},N={x［x="+g,kwZ},贝I」()

2442

A.M=NB.M^NC.McND.M续N

【答案】B

【分析】

对于集合N,令4=2©(©eZ)和左=2,"-l(meZ),即得解.

【详解】

M={x|x=y+p后eZ},N={x\x=^-+^,keZ},

对于集合N,当"=2©(0eZ)时，X=等+彳，meZ；

当斤=2m-1(,”eZ)时，》=等+：,m&Z.:.M麋N,故选：B.

【讲技巧】

集合表示

L列举法，注意元素互异性和无序性

2、描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素

描述法表示集合时，要注意“那条竖线"前边的字母及字母形式。一般情况下，一个字母是数集，有

序数对(a,b、)形式可以理解为点集

【练题型】

1.以下四个写法中:①0e{0,l,2}；②0a{1,2}；③{0,1,2,3}={2,3,0,1}；@Ar>0=A,正

确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

对于①，0€{0,1,2}正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以0a{1,2}正确；对于

③，根据集合的互异性可知{0,123}={2,3,0,1}正确；对于④，4n0=0,所以/C0=/

不正确；四个写法中正确的个数有3个，故选C.

2.下面五个式子中：①。={。}；②。={a}；③{a}e{a,b}-,®{a}c{a}；⑤ae{"c,

a}；正确的有（）

A.②④⑤B.②③④⑤C.②④D.①⑤

［答案］A

【彳析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.

①中，。是集合{研中的一个元素，ae{。},所以①错误；

空集是任一集合的子集，所以②正确；

{。}是{。,6}的子集，所以③错误；

任何集合是其本身的子集，所以④正确；

°是{6,c,a}的元素，所以⑤正确.

故选：A.

3.若则。的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断。的可能取值.

a=0,贝lJae{l,3,0},符合题设；

a=l时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；

a=3时，贝［Jae{1,3,9},符合题设；a=0或a=3均可以.故选：C

【题型二】集合元素个数

【讲题型】

例题L已知集合4=卜€2占<3143；,5=jxe2V|j±|<oj,则集合

{z\z=xy,xe的元素个数为（）

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【分析】

解指数不等式求得集合/,解分式不等式求得集合B,由此求得集合{z［z=xy,xe//e引的

元素个数.

【详解】

由上<3‘TV3得3—<3143、-4<x-l<l,解得一3<x42,所以/={-2,-1,0,1,2}.由

81

_|_0

=¥<0解得_2<X<3,所以A={-l,0,l,2}.所以{z|z=xy,xe4蚱3}={2,0,-2,-4,1,7,4},

x-3

共有7个元素.故选：B.

例题2.4=k|2”<x<2叫x=3肛掰JV},若⑷表示集合4中元素的个数，则

|4|=，则⑷+⑷+⑷+…+I=-

【答案】n；682.

【详解】

3264

试题分析：当“_5时，25<3W<25-即11£优£21，,国=11，

33

由于2n不能整除3,从21到210，二=682三，3的倍数，共有682个,

33

二⑷+闺+…+闻=682

【讲技巧】

集合元素个数，多涉及到对集合元素形式的判断：

1.点集多是图像交点

2.数集，多涉及到一元二次方程的根。

［练题型］

1.若集合Z={xeN|log2X<3},8=卜1=4^),则4口8的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

［答案］c

【分析】分别求出集合48,然后，由交集定义求得交集后可得元素个数.

由题意得，={xeN|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7),5={x|x>3},故/口2={3,4,5,6,7},有

5个元素.

故选：C

2.已知集合/={-1,0,1},8=则集合B中所含元素的个数为

A.3B.4C.6D.9

【答案】B

【分析】根据几何A中的元素，可求得集合B中的有序数对，即可求得B中元素个数.

X

因为尤e/,y^A,-eN,

y

所以满足条件的有序实数对为(TT),(0,1),(1,1).

故选:B.

3.集合A=卜£一7x<0,xeN*},则B=N*,ye中元素的个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

A=|x|x2-7x<0,xGN*|=1x|0<X<7,X£N*}={1,2,3,4,5,61,

B=}I；eN*,ye/1={1,2,3,6}，则B中的元素个数为4个.

本题选择D选项.

【题型三】知识点交汇处的集合元素个数

【讲题型】

例题L1.已知全集。={。4)E€氏/€m，集合S=U,若S中的点在直角坐标平面内形成

的图形关于原点、坐标轴、直线y=x均对称，且(2,3)eS,贝心中的元素个数至少有

A.4个B.6个C.8个D.10个

［答案］c

求出点(2,3)关于原点、坐标轴、直线y=x的对称点，其中关于直线y=x对称点，再求它

关于原点、坐标轴、直线>=x的对称点，开始重复了.从而可得点数的最小值.

因为(2,3)eS,s中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y=x对称，所

以(-2,-3)6S,(-2,3)eS,(2,-3)eS,(3,2)eS,(一3,-2)eS,(3；2)eS,(-3,2)eS,所以S中的

元素个数至少有8个，

故选：C.

例题2.若正方体4444-BMB.的棱长为1,则集合

{x［x=4瓦.语"€{1,2,3,4，/€{1,2,3,4］中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

［答案］A___________________________________

【分析】将靖=(44+4瓦+R豆)代入谪可，结合4瓦，4%和

丽，丽(/e{2,3,4})化简即可得出集合中元素的个数.

①当48户4用时；正方体

4444-4与凡旦.♦.丽故:丽•砧=0(je{2,3,4}).•.丽，丽

故:福•瓦^=0(/e{2,3,4}4S?=(44+4X+S1^)A

1(1,--------*--------*--------»---------►--------»---------»--------»2--------»---------►

4瓦•A,Bj=44.(44+44+4约)=44+&耳+=i

A1B1-B1BJ

{x[x=4瓦.语■/€{1,2,3,4，/€{1,2,3,4}中元素的个数为1.

②藕=丽时.

x=AlBl-Afij=AtBt-A{B1=AlBl=1此时{x\x=A^BX-,ze1,2,3,，/e{1,2,3,。冲兀素

的个数为1.

综上所述，任IX=4瓦♦语■/6{1,2,3,4Jq1，2,3,4冲元素的个数为1.故选:A.

【讲技巧】

集合知识点交汇处，多涉及到集合与函数，集合与向量，集合与数列，集合与立体几何,

集合与圆锥曲线等等相关知识的综合应用。

【练题型】

L设集合A={-2,-1,0,1,2},5={-1,0,l),C=*x,y):+$1,xe/,y€叶,则集合C中元素的

个数为()

A.11

【答案】A

【分析】由题意可得出：x从-1,0,1任选一个；或者x从一2,2任选一个；结合题中条件，确

定对应的选法，即可得出结果.

解：根据条件得：x从7,0,1任选一个J从而一1,04任选一个，有9种选法；

x=-2或2时/=。，有两种选法；共11种选法；，C中元素有11个.故选A.

2.已知集合/={(x,y)|/+J?ez},B={(x,y)||x|<2,|y|<2,x,yGZ］,定义集合

/㊉5={(不+%,为必)e4(X2，%)w3},则/㊉8中元素的个数为

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

因为集合/=｛（茁j，）|『+y241,x,yeZ｝，所以集合H中有5个元素（即5个点），即图

中圆中的整点，集合8-｛（x,y）k[42,|J，|42,K/WZ｝中有25个元素（即25个点）：即

图中正方形.1BCD中的整点，集合1①8=｛（芭+x2,yt+必）（5乂）€4（马，归）日8｝的

元素可看作正方形瑜斓媪稣中的整点（除去四个顶点），即7x~-4=45个.

X

3.若集合£={（/）,^,r,5）|0<jp<5<4,0<^<5<4,0<r<5<4S.p,q,r,seN},

F=M,V,W）|O</<MW4,0Vv<wV4且f,〃,v,weN},用card（X）表示集合X中的元素个数,

则card（E）+card（F）=

A.50B.100C.150D.200

【答案】D

当s=4时，P,q,r都是取0,1,2,3中的一个，有4x4x4=64种，当s=3时，P,0,

r都是取0,1，2中的一个，有3x3x3=27种，当s=2时，P,Q,r都是取0,1中的一

个，有2x2x2=8种，当s=l时，p,q,r都取0,有1种，所以card（E）=64+27+8+1=100,

当f=0时，”取1,2,3,4中的一个，有4种，当f=l时，”取2,3,4中的一个，有3种,

当/=2时，”取3,4中的一个，有2种，当1=3时，”取4,有1种，所以人〃的取值有

1+2+3+4=10种，同理，V、卬的取值也有10种，所以card（F）=10xl0=100,所以

card（E）+card（F）=100+100=200,故选D.

【题型四】由元素个数求参

【讲题型】

例题L若集合N=｛xeR|ax2+ax+l=0｝中只有一个元素，贝1]。=（）

A.4B.2C.0D.0或4

【答案】A

集合/中只有一个元素,/.A=a2-4a=0,:.a=0或4.又当a=0时集合/中无元素，故选4

考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.

例题2.已知集合Z=｛xeN[l<x<log2上｝,集合A中至少有3个元素，贝|

A.k>8B.k>8C.左>16D.^>16

【答案】C

试题分析：因为/=｛xeN[l<x<log2%｝中到少有3个元素，即集合A中一定有2,3,4三个元

素，所以4>24=16,故选C.

【讲技巧】

在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验

证集合中元素是否满足互异性

【练题型】

L已知集合/=｛巾2+2公+2440｝,若A中只有一个元素，则实数。的值为（）

A.0B.0或-2C.0或2D.2

【答案】C

【分析】根据题意转化为抛物线y=X。+2"+2a与x轴只有一个交点，只需△=4储一8a=0

即可求解.

若A中只有一个元素，则只有一个实数满足/+2°x+2a40,

即抛物线y=f+2ax+2a与x轴只有一个交点，.•.△=4/一8°=0，，。=0或2.故选：C

2..已知/=｛（"）,+/<l,xGZ,,ve^,5=1（x,y）||jc|<3,|j]V3,xeZ,yw4.定义集合

A®B=｛（^1+x2,J；[+^2）|（x15J；1）eA,\（x2,y2）e5,）,则工㊉3的元素个数”满足（）

A.n=77B.??<49C.〃=64D.z?>81

【答案】A

先理解题意，然后分①当玉=±1,乂=0时，②当为=0,乂=±1时，③当占=0,乂=0时,三种情

况讨论即可.

解:由/=｛（尤,了）尸+/<l,XEZ,yeZ^,3=｛（尤,刈同V3,|乂V3,尤eZ,ye@,

①当X]=±1,必=0时，x1+x2=-4,-3,—2,-1,0,1,2,3,4,

Ji+%=—3,-2,-1,0,1,2,3,

此时“㊉8的元素个数为9x7=63个，

②当X]=0,必=±1时，再+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,

%+y2=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,

这种情况和第①种情况除%+%=-4,4外均相同,故新增7x2=14个，

③当占=0,必=。时，X]+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,

乂+%=-3,-2,-1,0,1,2,3,这种情况与前面重复，新增0个，

综合①②③可得：

/㊉8的元素个数为63+14+0=77个，

故选:A.

3.如果集合/辰2+2x+l=0｝中只有一个元素，贝匹的值是（）

A.0B.0或1C.1D.不能确定

【答案】B

因为A中只有一个元素，所以方程ax?+2x+l=0只有一个根，当a=0时，X=-；;当Qw0时,

△=4-4。=0,。=1,所以a=0或1.

【题型五】子集关系求参

【讲题型】

例题L已知集合/=｛才收=41｝,6=同4》-0<@,若则0的取值范围是（）

A.B.。,+8）C.（-8,2）D.（2,+动

【答案】D

【分析】先化简集合A,8,再根据得解.

【详解】

由题得j2-xWl=>14x42,故么=1,2],

当a<0时，8=（。,0）,显然不满足力。8；

当。=0时，5=0,显然不满足4=8；

当a>0时，8=（0,。），若/=,故选：D

例题2.已知集合/=„-2x-3<0},非空集合8={x|2-“<x<1+a},B屋A,则实数a

的取值范围为().

A.(-℃,2]B.Q,2C.(f2)D.g"]

【答案】B

先化简集合A,再由BqN建立不等式组即可求解

【详解】

/=卜卜2-2工-3<。}={x|-l<x<3},由5U/且8为非空集合可知，

2-a>-1

应满足T+aW3,解得故选：B

1+a〉2—ct

【讲技巧】

集合子集：

(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系

(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).

(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如：幺={1,2},8={1,3},

因为26Z,但2在8,所以Z不是8的子集；同理，因为3G8,但3也4,所以

B也不是Z的子集.

(3)子集有下列两个性质：

①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即ZCN；

②传递性：对于集合Z,B,C,如果2=8,且8UC,那么NCC

(4)求子集运算时，一定要注意子集是从“空集开始”

【练题型】

L若集合4={x|2a+lVxV3a_5},5={x15<x<16},则能使合48成立的所有。组成的集合

为()

A.{a|2<a<7}B.{a|6<a<7}C.{a|a<7}D.0

【答案】C

2〃+1«3Q—5

考虑力=0和Zw0两种情况，得到3«-5<16,解得答案.

2^+1>5

【详解】

当N=0时，即2a+l>3a-5,a<6时成立；

2a+143a—5

当时，满足,3(7—5<16,解得6<«<7；

2(2+1>5

综上所述：.故选：C.

2.^={x|-2<x<5},B={x\m+l<x<2m-l],若5=4,则实数加的取值范围是()

A.m<3B.2<m<3C.m<3D.2<m<3

【答案】c

由分3=0和3H0两种情况讨论，利用相应的不等式(组)，即可求解.

【详解】

由题意，集合/={^-24x45},B={x|m+l<x<2m-l),因为

(1)当3=0时，可得冽+1>2加-1,即加<2,止匕时81月，符合题意；

m+l<2m-1

(2)当时，由8=4,则满足1—20加+1,解得2(加〈3,

2m-1<5

综上所述，实数机的取值范围是加V3.

故选：C.

3.已知集合/=卜,一2X_3=0},7?={x|ax-l=0},若B=4,则实数。的值构成的集合

是()

A.B.{-1,0}C.D.

【答案】A

解若程求得集合A,分别在5=0和3W0两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果.

【详解】

由％2一2%-3=0得：x=-1或x=3,即/={-1,3}；①当。=0时，B=0,满足814,符

合题意；

②当“wO时，5=卜版-1=0}=...夕=/,.」=_1或工=3,解得：〃=一1或。=」；

〔0aa3

综上所述：实数。的值构成的集合是故选：A.

【题型六】集合运算1：交集运算求参

【讲题型】

例题L已知集合/={(x,y),+即_°=o},5={(x,y)|ox+(2a+3)y_l=0}.若/口8=0,

则实数。=()

A.3B.-1C.3或-1D.-3或1

【答案】A

【分析】将问题转化为“直线x+砂-。=0与直线ax+(2.+3)y-l=0互相平行”，由此求解

出a的取值.

【详解】因为/口8=0,所以直线x+即-。=0与直线"+(20+3万-1=0没有交点，

所以直线x+卬一。=0与直线。尤+(2a+3)y-l=0互相平行，

所以lx(2a+3)-axa=0,解得。=-1或a=3,

当。=-1时，两直线为：x-y+l=O,-x+y-l=Q,此时两直线重合，不满足，

当“=3时，两直线为：x+3y-3=0,3x+9y-l=0,此时两直线平行，满足，

所以。的值为3,

故选：A.

例题2.已知集合/={xeN*|x2-2x-3<0},B={x\ax+1,若4口5=3,则实数0的取

值集合为()

A.{-1,—2}B.{-1，。}C.{-2,0,1}D.{-2,—1,0}

【答案】D

【分析】先求出集合A,由=3得到BaN,再分类讨论。的值即可.

【详解】/=卜€“上一2x_3<0}={1,2},因为/口8=8,所以8-，

当a=0时，集合8={x|ax+2=0}=0,满足3=/；

当口片0时，集合B={x,x+2=0}=,x=-21,

77

由5=N={1,2}得-4=1或-4=2,解得。=一2或a=T,

aa

综上，实数。的取值集合为{-2,-1,0}.故选：D.

【讲技巧】

交集的运算性质：

l.AC\B=B_r\A,AC]B^A,AC\A=A,NC0=g,ACB=A0A=&

2.求交集题型时，要注意“边界值”是否能取等号

【练题型】

1.已知集合/={x[l<x<2},集合8=卜卜=J”一、},若=/,则机的取值范围是

()

A.(0,1]B.(1,4]C.[1,+℃)D.[4,+oo)

【答案】D

由/n8=/可得出可知3/0,解出集合3,结合题意可得出关于实数加的不等式,

由此可解得实数机的取值范围.

【详解】="且/={x[l<x<2},则.•.3/0.

若〃7<0,贝1]加一/<(),可得3=0,不合乎题意；

若"?20,贝！]B=卜,=Nm-X。)=卜卜VxV卜

所以，际22,解得，"24.因此，实数〃?的取值范围是[4,+co).故选：D.

2.设集合/=3%2_4或},B={x\2x+a<S)},AC\B={x|-2<x<l},则。=()

A.-4B.-2C.2D.4

[答案]B

【分析】由题意首先求得集合4乃，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可

确定实数〃的值.

【详解】求解二次不等式V-440可得：A^{x[-2<x<2},

求解一次不等式2x+aW0可得：S=L|x<-jj.

由于/门8={刈-24》41},故：一|=1,解得：。=一2.故选：B.

3.已知集合“=卜|三|川1,8=卜卜2一(0+心+2骑2+1)<0},若/口3=0,则实数0的

取值范围是()

A.(2,+co)B.{l}u(2,+(»)

C.{1}U[2,+oo)D.[2,+oo)

【答案】C

【分析】先解出集合A,考虑集合3是否为空集，集合8为空集时合题意，集合3不为空集

时利用2磋4或1+RT解出。的取值范围.

【详解】由题意/="用》0卜(-1,4],

B=卜卜之—(Q+1)2%+2a+1)<o|=卜—2a)[x—(/+1)]<o1,

当3=0时，2a=/+i,即〃=i,符合题意；当即awl时，5=(2a,/+i),则有

2Q24或/+K—1,即Q)2.

综上，实数。的取值范围为{l}U[2,+s）.故选：C.

【题型七】集合运算2：并集运算求参

【讲题型】_____

2

例题L已知」="汁=：5》一产一4},B={x\x-2ax+a+2<0}若人3=4,那么实数0

的取值范围是（）

A.（T，2）B.2,yC.D.I-l,y

【答案】D

【分析】由题意，可先化简集合A,再由Nu8=N得8qZ，由此对B的集合讨论求a,由于集

合B可能为空集,可分两类探讨，当B是空集时，与B不是空集时，分别解出a的取值范围，选出

正确选项

【详解】解：由题意,4={工b=，5%一工2一4}={%|1令W4},

由AuB=A得B=A

yiB={x\x2-2ax+<2+2<0}

当B是空集时，符合题意,此时有△=4/_4Q-8V0解得-l〈aV2

A=4a2-4a-8^0

当B不是空集时，有<

1-2a+Q+220

16—8〃+a+220

选：D

例题2.设常数aGR,集合A={x|(x-1)(x-a)>0},B={x|x>a-1},若AUB=R,贝ija的

取值范围为()

A.(-co,2)B.(-oo,2]C.(2,+oo)D.[2,+co)

【答案】B

【详解】试题分析：当a_l时，A-R>此时月U3=K成立，当a>l时，

,l=[al8）U（x:l],当X（J3=及时，a-lKlna£2,即。二]，当a<l时，

J=[l,+x）U（-oc.a]-当,4UB=及时，a-lsa恒成立，所以。的取值范围为（-*,2],

故选B.

【讲技巧】

并集的运算性质：

AUB=BUA,A^AUB,AUA=A,AU0=A,

【练题型】

1.设集合“={刈/_（a+3）工+34=0},B={x|/-5x+4=0},集合/U3中所有元素之和

为8,则实数。的取值集合为（）

A.{0}B.{0,3}C.{0,1,3,4}D.{1,3,4}

【答案】C

【详解】试题分析：B={l,4},x?-（a+3）x+3a=0两根是x=3,x=a,当a=0、1、3^4时，

满足集合8中所有元素之和为8,故选C.

2.非空集合/={xeN|0<x<3},B={y^N\y2-my+l<0,meR},AC\B=A\JB,则实数

加的取值范围为（）

【答案】A一一

【分析】由题知4=5={1,2},进而构造函数“x)=/-s+l,再根据零点存在性定理得

/⑶

</(2)<0,解不等式即可得答案.

/⑴<。

【详解】解：由题知/={xeN[0<x<3}={l,2},

因为/n3=NU3,所以N=5,

所以8={”白|/_叩+1<0,加€&}={1,2},

故令函数〃x)=x?-加X+1,

所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：

f（3）>0[10-3m>0

v75in

</（2）<0,即5-2切<0,MW-<w<—,

/（1）<02-m<0~

所以，实数加的取值范围为与

3.已知集合〃={1,3},N={l-4,3},若MUN={1,2,3},贝!的值是（

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.

【详解】因为MUN={1,2,3},若l-a=lna=0,经验证不满足题意；

若l-a=2oa=-l,经验证满足题意.所以a=-1.故选：B.

【题型八】集合运算3：补集运算求参

【讲题型】

例题1.已知集合4=H0<x<2},集合8={-d-1<K<I],集合C="ix+I>0},若

A^JB^C,则实数机的取值范围是.

【答案】-1,1

【详解】由题意，A^B={x\-\<x<2\,

*.*集合C={x\mx+1>0},BqC,

（T）加<0,-----，NZ;.m2—，.二—<Q

mm22

②m=0时，成立；

③加>0,X>-----，.=-----W—1,777«10«1,

mm

综上所述，加VI,故答案为-7W冽W1.

22

j,3=卜€尺卜-2a)(

例题2..已知集合A=\x&R-^―<1—2一1)<0,若(1刃5=0,

2x+l

则实数。的取值范围是

[0,+OO

A.[l,+°o)B.C.(0,+司D.(1,+句

【答案】B

解分式不等式求得集合A,对。进行分类讨论，结合(1/)口8=0,求得实数。的取值范围.

【详解】由**。,&-盗=言三℃-2x(2x+l)<01—〜।

2x+Wox<”或x".所以

/="|工<-(或》20},所以0/=]x|-10,.由(x-2a'x-1—i)=o,解得x=2a或

s-<x<

2

x=a2+1.a2+1>2y]a2-1=2同22。，当。=1时，2a=/+i,此时3=0,满足(1⑷n5=0；

2a>0

当°片1时，5={x|2a<x</+1},由=0得"1,即心。且"1.综上所述，

实数。的取值范围是［0,+8).

故选：B

【讲技巧】

补集运算：

1.符号语言：CuA={x|xGU,且xML

2.图形语言:

【练题型】

1.设全集。={123,4,5},集合/={1,/一1,4},^A={2,a+3},则a的值为()

A.±2B.+y[6C.—2D.2

【答案】D

【彳析】根据集合A及其补集情况分情况讨论即可.

【详解】由已知得卜,2,4/—i,a+3}

a2—1=3fa2—1=5

所以a+3=5或]a+3=3解得。=2,故选：D.

2.已知全集U={2,4,月，集合/={4,a+3},1/={1},则a的所有可能值形成的集合为()

A.{—1}B.{1}C.{-1,1}D.0

【答案】A

【解析】由以/=。，可得/=1,即。=±1,当。=1时，不符合元素的互异性，。=-1时,

符合题意.

【详解】由即{1}={2,4,月，则/=1,解得。=±1,

若a=l,则。+3=4,而/={4,a+3},不符合集合中元素的互异性，舍去；

若a=T,则。={2,4,1},A={4,2},Q/={1},符合题意.

所以。的所有可能值形成的集合为{-1}.故选：A.

3.已知全集。={2,3,。2+2。-3},4={|0+1],2},&/={。+3},则。的值为

湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

【答案】2

【分析】要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进行

分类讨论

【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

〃+3=3(1)+3—6/+2tz-3(1)

|4+1|=Q2+2Q-3(2)|a+l|=3(2)

/+2〃-3W2⑶斯'a?+2a-3w2(3)

a?+2Q—3w3(4)4+2a-3w3(4)

分两种情况进行讨论：

在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去.

在B中，由（1）得a=-3,a=2,分别代入（2、（3）、（4）检验，a=-3不合②，故舍去，a=2

能满足②③④，故a=2符合题意.答案为：2

【题型九】应用韦恩图求解

【讲题型】

例题1.全集U=R,集合4=士V0）,集合8={x|log2（x-l）>2},图中阴影部分所表

示的集合为（）

A.（-8,0]U[4,5]B.（-00,0）U（4,5]

C.（-oo,0）U[4,5]D.（-oo,4]U（5,+co）

【答案】C

【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为Q（/口3）.求出集合42,/U8,即求Q。8）.

【详解】•.•集合N=3（）4X<4},5={小>5},

由Venn图可知阴影部分对应的集合为G,（4口2）,又/口3={x|0Vx<4或x>5},

.•.0（/1^）=（一-0）“4,5].故选：C.

例题2.已知全集U=R,集合/={+卜+2）<0},8=卜上归1},则图中阴影部分表示的集

合是（）

A.(-2,1)B.[~l,0]U[l,2)C.(-2,-l)U[0,l]D.[0,1]

【答案】C

【分析】由集合描述求集合4B,结合韦恩图知阴影部分为Q(/c3)c(4u3),分别求出

4(/口8)、(AS),然后求交集即可.

【详解】/={x|x(尤+2)<o}={x|-2<x<0},S^=|x||x|<1|={x|-l<x<1},

由图知：阴影部分为而/c8={x|-14x<0},B={x\-2<x<1},

：.Cu(/c8)={x|x<-l或xNO},即G(4c8)c(/u8)={x|x2<x<il或04x41},

故选：C

【讲技巧】

并集运算韦恩图：

交集运算韦恩图

补集运算韦恩图

图形语言：

【练题型】

L若全集U=R,集合/={x|y=lg(6-x)},8={x|2、＞l},则图中阴影部分表示的集合是

()

(T0]C.[0,6)D.(-0o,0]

【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合45,阴影部分表示的集合是13门4

计算得到答案.

【详解】A=[x]y=lg(6-X)}=[x\|x<6|,B

阴影部分表示的集合是n/=（-*o]n（-«>,6）=（-«>,0].

故选：D.

2

2.已知全集U=R,集合M=x|3x-13x-10<oj和"={x|x=2k,keZ\的关系的韦恩(Venn)

图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有