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文档简介

专题3.4募函数

【核心素养】

1.以常见幕函数为载体,考查函数的奇偶性与周期性,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用

及数学运算的核心素养.

3.与函数、不等式结合,考查函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------------;

3怩

知识点一幕函数的定义

累函数的定义

一般地,形如y=x,的函数称为幕函数,其中尤是自变量,。为常数.

知识点二常见的5种黑函数的图象

__________)

常见的5种塞函数的图象

知识点三常见的5种幕函数的性质

常见的5种塞函数的性质

函数特征

—1

尸/y=x2

性质

定义域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

《一■一,一■一•一■一,一•一•一■一■一・7-

常考题型例析/

I■■■■■■I->IIMI■■■■■II■■■IIIJ

题型一:塞函数的概念

【典例分析】

例1-1.(2023秋•河北邯郸•高三统考期末)已知募函数/(X)满足曾=4,则/匕)的值为()

A.2B.—C.—D.—2

44

例1-2.(2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)己知暴函数〃尤)=x"的图象过点(2,4),

则小吟]=.

【知识拓展】

1.形如y=/的函数叫累函数,这里需有:⑴系数为1,⑵指数为一常数,(3)后面不加任何项.例如y=3x、

y=xx+i、y=r+l均不是嘉函数,再者注意与指数函数的区别,例如:〉=/是癌函数,y=2*是指数函数.

2.基函数y=K的形式特点是“募指数坐在尤的肩膀上”,往往利用待定系数法,求幕指数,得到函数解析

式,进一步解题.

【变式训练】

变式L1.(2023・河北•高三学业考试)已知塞函数y=〃x)的图象过点(8,20),则〃9)的值为()

A.2B.3C.4D.9

变式1-2.(2023•上海黄浦・统考二模)若函数y=的图像经过点(2,16)与(3,附,则机的值为.

题型二:幕函数的图象

1

例2-2.(2023•全国•高三对口高考)给定一组函数解析式:

@y'②,二尤§;③y=%5;®-y=x3;⑤,=尤5;(§)y—x3;⑦,=彳3.

如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

x2,x>0,

例2-3.(2023•新疆阿勒泰•统考三模)已知函数则函数/(无)=,Ig(x)=/(-无),则函数g(x)的图象大

一,1v0,

致是()

3

例2-4.(2023・陕西榆林•校考模拟预测)直线/:x+y=:与x,V轴的交点分别是A,B,/与函数〉=丁,

y=x"(O<m<〃)的图像的交点分别为C,D,若C,。是线段A3的三等分点,则”根的值为.

【规律方法】

函数y=x"的形式的图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当。>0时,第一象限图

象是上坡递增;当。<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即

可.

【变式训练】

R,且其图像关于y轴成轴对称,则机的值可以为()

A.1B.4C.7D.10

变式23(2023・全国•高三专题练习)已知幕函数、(P应£Z且,M互质)的图象关于y轴对称,如

y

图所示,则()

B.q为偶数,p为奇数,且‘<。

q

C.q为奇数,p为偶数,且/>o

D.q为奇数,p为偶数,且“<。

q

变式24(2023•宁夏银川・银川一中校考一模)函数y=尤,y=4和y='的图像都通过同一个点,则该点

X

坐标为.

题型三:幕函数的性质

【典例分析】

例3-1.(1993•全国•高考真题)函数y=[在[—1,1]上是()

A.增函数且是奇函数B,增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

例3-2.(2007・山东・高考真题)设。£卜1,11,3卜则使函数〉=丁的定义域为R且为奇函数的所有。值为

()

A.1,3B.—1,1C.~1,3D.-1,1,3

例3-3.(2023•浙江•高三专题练习)已知〃=1.产/=I?1、c=13」,则()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

例3-4.(2023•江苏淮安・江苏省目于胎中学校考模拟预测)已知塞函数/(%)=若〃a-l)<〃8-2a),

则a的取值范围是.

【方法技巧】

1.在比较幕值的大小时,必须结合幕值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不

同次数的暴函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较累函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握

各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幕的底数不确定时,要注意讨论

底数的不同取值情况.

【变式训练】

变式3-1.(2020・全国•高三对口高考)下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为().

A./(x)=-xB.=C.f(x)=x2D.f^X)-y[x

变式3-2.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)幕函数=(病-3〃L3卜"在区间(0,+8)上单调递

减,则下列说法正确的是()

A.〃1=4B./(X)是减函数

C.“X)是奇函数D./⑴是偶函数

变式3-3.【多选题】(2023•江苏•校联考模拟预测)若函数〃功=),且%<%,贝U()

A.(^-^)(/(%1)-/(%2))>0B.^-/(^)>x2-/(x,)

C./(3)一々</(%)一占D.五|强]

变式3-4.(2023春・上海•高三校联考阶段练习)已知函数了(耳=1,则关于t的表达式

/,_2.)+/(2产-1)<0的解集为.

题型四:塞函数综合问题

【典例分析】

例4-1.(2023・山东聊城•统考三模)设°=0.2%Z7=O.5°\c=log050.2plij()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

例4-2.(2023•安徽滁州•校考模拟预测)函数/(司=/2与g(x)=。尸在(0,+e)均单调递减的一个充分不

必要条件是()

A.ae(0,2)B.ae[O,l)C.ae[1,2)D.ae(1,2]

例4-3.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系尤Oy中,设定点A(a,a),尸是函数(x>0)图象上一动

x

点.若点P,A之间的最短距离为20,则满足条件的实数。的所有值为.

例44(2023•高三课时练习)已知幕函数=(加为正整数)的图像关于>轴对称,且在(0,+s)

上是严格减函数,求满足g+1)号>(3-2a)号的实数〃的取值范围.

【变式训练】

变式4-1.(2023•广东佛山•校联考模拟预测)设a=log°32,b=反,c=0.2@,则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

变式42(2023•陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知函数=g(x)=,,其中

xe[0,y),0<夕<1)>1,若点满足|MP|=|NQ],

贝IJ()

A.4a—4尸=2,+尸B.4a+44=2'+4

C.2a—2尸=2。+0D.2&+2尸=2&+0

变式4-3.(2023・高三课时练习)已知ae1-2,-1,-:,01,,1,21,若函数〃同=才满足:当xe(—l,0)U(0,l)

时,/(x)>|乂恒成立,则a的取值为.(写出满足条件的所有取值)

变式4-4.(2020秋•江西上饶•高三校考阶段练习)已知幕函数“%)=(疗-5根+7)产।为偶函数.

⑴求〃x)的解析式;

(2)若g(x)=〃x)-办-3在[1,3]上不是单调函数,求实数。的取值范围.

一、单选题

1.(2023•辽宁•校联考一模)下列函数中,是偶函数,且在区间(-少,。)单调递增的为()

A.y=x-2B.、=国C.J=2HD.y=x3

2.(2023・全国•高三专题练习)函数〃尤)=桐的图象大致为()

3.(2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测)若暴函数/(x)=(病一2加-21Em+i在区间

(0,+8)上单调递增,则加=()

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

4.(2023•海南•统考模拟预测)已知〃x)=(加+m-5卜"'为幕函数,则().

A.在(-8,0)上单调递增B.在(-⑦。)上单调递减

C.“X)在(0,+8)上单调递增D.〃尤)在(0,+8)上单调递减

5.(2023秋•山东德州•高三统考期末)函数f(x)=(>-机+1卜'~片3(0=机<3,机eZ)同时满足①对于定义

域内的任意实数x,都有/(-x)=f(x);②在(0,—)上是减函数,则/中的值为()

\1)

A.8B.4C.2D.1

6.(2023・江苏•高三统考学业考试)已知函数/(九)二%"是偶函数,且在区间(0,+e)上单调递增,则下列实

数可作为a值的是()

A.-2B.《C.2D.3

7.(2023・全国•高三对口高考)若〃,仇CER+,且a+b=c,当a>l时,则一定有()

、.1c

8.(2012•山东借考真题)设函数/Cx)=-,g(%)=ax+fer(a,)£R,awO),若>=/(%)的图象与y=g(%)图象

x

有且仅有两个不同的公共点j),2(々,%),则下列判断正确的是

A.当a<0时,再+9<0,必+%>0

B.当a<0时,xl+x2>0,yl+y2<0

C.当a>0时,占+%<。,%+%<0

D.当。>0时,x1+x2>0,yi+y2>0

二、填空题

2

9.(2020•江苏•统考高考真题)已知产船)是奇函数,当定0时,〃力=/,则於8)的值是.

10.(2014.上海.高考真题)若然球=4_金则满足〃X)<0的X取值范围是.

11.(2023春•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习)已知幕函数>=/(尤)的图像过点(9,3),则/(2)的值为

12.(2023•上海徐汇•位育中学校考模拟预测)已知幕函数>=/(尤)的图像过点尸(2,8),则函数y=/(x)-x的

零点为.

专题3.4募函数

【核心素养】

1.以常见幕函数为载体,考查函数的奇偶性与周期性,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用

及数学运算的核心素养.

3.与函数、不等式结合,考查函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------------;

3怩

知识占一幕函数的定义

累函数的定义

一般地,形如y=x,的函数称为幕函数,其中尤是自变量,。为常数.

知识点二常见的5种黑函数的图象

常见的5种新函数的图象

知识点三常见的5种幕函数的性质

常见的5种塞函数的性质

函数特征

—1

尸/2

性质y=x

定义域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

《一■一,一■一•一■一■一,一•一■一■一・7-

常考题型例析/

题型一:塞函数的概念

【典例分析】

例1-1.(2023秋•河北邯郸•高三统考期末)已知募函数/(X)满足曾=4,则/匕)的值为()

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】设出基函数的解析式,根据已知,求出参数的关系式,即可计算作答.

【详解】依题意,设〃力=算则等=1=3。=4,

/(2)2。

所以宿)=&$】•

故选:B

例1-2.(2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知事函数八尤)=尤"的图象过点(2,4),

则/Nin^U

【答案】1/0.5

【分析】根据募函数过点(2,4),求出函数解析式,将数值代入即可计算.

【详解】因为幕函数/(%)=丁的图象过点(2,4),所以2。=4,解得:«=2,

所以/(x)=x2,则/(sin:)=(/)2=g,

故答案为:).

【知识拓展】

1.形如的函数叫幕函数,这里需有:(1)系数为1,(2)指数为一常数,(3)后面不加任何项.例如y=3x、

y=x'+i、y=/+l均不是募函数,再者注意与指数函数的区别,例如:y=/是累函数,y=2*是指数函数.

2.暴函数y=K的形式特点是“累指数坐在尤的肩膀上”,往往利用待定系数法,求累指数,得到函数解析

式,进一步解题.

【变式训练】

变式L1.(2023・河北•高三学业考试)已知累函数y=/(x)的图象过点卜,2®),则/(9)的值为()

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

【分析】设幕函数为/(%)=£,代入点计算得到々=计算得到答案.

【详解】设幕函数为〃x)=x",图象过点(8,20),故〃8)=8〃=2&,故。=g,

〃尤)=尤晨/(9)=如=3.

故选:B

变式1-2.(2023•上海黄浦・统考二模)若函数y=x"的图像经过点(2,16)与(3,m),则根的值为.

【答案】81

【分析】根据函数图象过的点求得参数。,可得函数解析式,再代入求值即得答案.

[详解】由题意函数y=x"的图像经过点(2,16)与(3,m),

则16=2",;.a=4,则y=/

故机=34=81,

故答案为:81

题型二:基函数的图象

3—1

例2-1.(2023•全国•高三专题练习)函数〃龙”土二匚的图像大致为()

【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.

【详解】由『(1)=0,排除A,D.当x>l时,所以〃x)>0,排除C.

故选:B.

例2-2.(2023•全国•高三对口高考)给定一组函数解析式:

3232311

①,=尤1;②,二尤3;③,=了5;@y=x3;⑤,=了2;@y—x3;⑦,=尤3.

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根据幕函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式,即可得答案.

【详解】图象(1)关于原点对称,为奇函数,且不过原点、第一象限递减,故丫=/彳满足;

图象(2)关于y轴对称,为偶函数,且不过原点、第一象限递减,故y=满足;

3

图象(3)非奇非偶函数,且不过原点、第一象限递减,故y=/5满足;

图象(4)关于y轴对称,为偶函数,且过原点、第一象限递增,故y=j满足;

图象(5)关于原点对称,为奇函数,且过原点、第一象限递增,故y满足;

3

图象(6)非奇非偶函数,且过原点、第一象限递增,而增长率随x增大递减,故满足;

图象(7)非奇非偶函数,且过原点、第一象限递增,而增长率随尤增大递增,故满足;

故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.

故选:C

x2,x>0,

例2-3.(2023•新疆阿勒泰・统考三模)已知函数则函数/(%)=1g(%)=/(r),则函数g(x)的图象大

—,x<0,

【分析】由g(x)=/(-x)可知g(x)图像与“X)的图像关于y轴对称,由/(X)的图像即可得出结果.

【详解】因为g(x)=/(-X),所以g(x)图像与“X)的图像关于y轴对称,

由“X)解析式,作出“X)的图像如图

从而可得g(x)图像为B选项.

故选:B.

3

例24(2023・陕西榆林•校考模拟预测)直线/:x+y=z与x,了轴的交点分别是A,B,/与函数、=都,

y=x"(O<m<〃)的图像的交点分别为C,。,若C,。是线段A3的三等分点,则〃-机的值为.

【答案】43

2

【分析】求出点C、。的坐标,代入相应的塞函数解析式,求出加、〃的值,即可得解.

【详解】直线/:x+y=:与x、y轴的交点分别是«°,£|,

因为C,D是线段A3的三等分点,可得c];,£|,

且/与函数>=无'"、y=x"的图像交点分别是C、D,其中0<根<〃,

1

m=一—.3

解得2,所以,n-m--.

2

n=2

【规律方法】

函数y=/的形式的图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当〃>0时,第一象限图

象是上坡递增;当。<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即

可.

【变式训练】

【详解】试题分析:先找出函数图象上的特殊点(1,1),(8,2),(J,J),再判断函数的走向,结合图形,

82

选出正确的答案.

解:函数图象上的特殊点(1,1),故排除A,D;

由特殊点(8,2),(—,—),可排除C.

82

故选B.

变式2-2.(2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习)设,"©R,若塞函数y=廿2口角定义域为

R,且其图像关于y轴成轴对称,则机的值可以为()

A.1B.4C.7D.10

【答案】C

【分析】根据暴函数的定义域和幕函数的奇偶性可以确定m的值.

【详解】解:由题意知/一2租+1>0二>租w1,

因为其图像关于y轴成轴对称,则〃z=7.

故选:C.

变式2-3.(2023・全国•高三专题练习)已知事函数、「4(p,«eZ且。应互质)的图象关于y轴对称,如

图所示,贝U()

A.p,q均为奇数,且:>°

B.q为偶数,p为奇数,且“<。

q

C.q为奇数,p为偶数,且

D.乡为奇数,p为偶数,且“<0

q

【答案】D

【分析】根据函数的单调性可判断出“<。;根据函数的奇偶性及。,q互质可判断出?为偶数,q为奇数.

q

【详解】因为函数J的定义域为(-*0)U(0,+s),且在(。,+8)上单调递减,

所以“<0,

q

因为函数的图象关于y轴对称,

yv

所以函数、,一1为偶函数,即P为偶数,

又p、q互质,所以q为奇数,

所以选项D正确,

故选:D.

变式2-4.(2023•宁夏银川・银川一中校考一模)函数丁=«和丫=」的图像都通过同一个点,则该点

X

坐标为.

【答案】(1,1)

【分析】根据幕函数的性质既可以求得.

【详解】根据三个函数可得定义域为:(0,+8),则根据幕函数的性质可知这三个函数都经过点(1,1).

故答案为:(1,1)

题型三:塞函数的性质

【典例分析】

3

例3-1.(1993•全国•高考真题)函数y=/在[-1,1]上是()

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

【答案】A

3

考查幕函数>=必.

:(>(),根据幕函数的图象与性质

可得在[-1,1]上的单调增函数,是奇函数.

故选A.

点睛:对于形如丫=「的幕函数,研究函数性质时,可以将函数化简为y=0T,可知定义域及函数奇偶性,

塞函数的单调性可以只研究第一象限,再结合奇偶性即可得结论.

例32(2007・山东・高考真题)设ae卜则使函数y=x"的定义域为R且为奇函数的所有。值为

()

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

【答案】A

【详解】a=-l,a=;时,函数定义域不是R,不合题意;

a=l,a=3时,函数y=x"的定义域为R且为奇函数,合题意,

故选A.

例3-3.(2023•浙江•高三专题练习)已知。=1.产,6=1.213,。=1.3口,则()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中间值1.212比较〃力的大小,再让b,C与中间值13比较,判断瓦。的大小,即可得解.

【详解】a=l,l12<1,212<1,213=Z;,又因为通过计算知L2—1H,所以。毅片<。^广,即1.2"<1.3。9,

又1.2°」<1.3%所以I2。v1.31<L3ii=c,所以

故选:B

1

例3-4.(2023•江苏淮安・江苏省旺胎中学校考模拟预测)己知塞函数/(无)=\了,若-2a),

则a的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】根据题意得到幕函数/(x)的定义域和单调性,得到不等式〃。-1)<〃8-2a)的等价不等式组,

即可求解.

【详解】由塞函数〃x)=1可得函数“X)的定义域为(0,+/),且是递减函数,

。—1〉8—2〃

因为〃“一1)<〃8—2a),可得<。一1>0,解得3<°<4,

8—2a>0

即实数。的取值范围为(3,4).

故答案为:(3,4).

【方法技巧】

L在比较幕值的大小时,必须结合塞值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不

同次数的基函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较累函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握

各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幕的底数不确定时,要注意讨论

底数的不同取值情况.

【变式训练】

变式3-1.(2020・全国•高三对口高考)下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为().

A./(x)=-xB.尤)=0C./(x)=x2D.f(x)=y[x

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.

【详解】A:一次函数的性质知/(力=-了在R上是减函数,不合题意.

B:/(力定义域为区且〃-幻=|£|=(|)^±/(x),为非奇非偶且是减函数,不合题意;

C:/(无)定义域为R且/(T)=(-X)2=X2=/(X),为偶函数且在R上不单调,不合题意.

D:”力定义域为R且/(一招=。=-也=-/(犬),为奇函数且在R上是增函数,符合题意.

故选:D.

变式3-2.(2023・四川成都.石室中学校考模拟预测)塞函数=(川-3m-3)/在区间(0,+动上单调递

减,则下列说法正确的是()

A.m=4B./(x)是减函数

C.”尤)是奇函数D.〃尤)是偶函数

【答案】C

【分析】根据幕函数的定义及单调性可判断AB,再由奇函数的定义判断CD.

【详解】函数/'(》)=(*-3相-3)/为幕函数,贝“加一3m一3=1,解得山=4或〃7=-1.

当777=4时,〃X)=f在区间(0,+8)上单调递增,不满足条件,排除A;

当机=-1时,〃力=/在区间(。,+8)上单调递减,满足题意.

函数/(%)="在(-8,0)和(0,+8)上单调递减,但不是减函数,排除B;

因为函数定义域关于原点对称,且/(-x)='=-/(x),

—X

所以函数/(X)是奇函数,不是偶函数,故C正确,D错误.

故选:C.

变式3-3.【多选题】(2023•江苏•校联考模拟预测)若函数〃x)=x)且改<々,则()

A.-/(%,))>0B.%-/(不)>%—/伍)

C./(xl)-x2</(x2)-x1D.

【答案】AC

【分析】利用幕函数的性质及函数的单调性的性质,结合特殊值法及构造函数法即可求解.

【详解】由塞函数的性质知,/(x)=/在R上单调递增.

因为无1<%,所以/(占)</(尤2),即无一14<。,占)一/(%)<。,

所以(石_/)(/(3)一/(巧))>0.故A正确;

令国=0,%=1,则。一/(0)=1-/(1)=(),故B错误;

_1

令g(x)=/(x)+X=X^+X'则

1

由函数单调性的性质知,〃x)=Q在R上单调递增,y=x在R上单调递增,

1

所以y=/(x)+x=x3+x在R上单调递增,

因为西<尤2,所以g(xJ<g(X2),即/(芯)+占</(当)+”2,于是有了(不)一马</(尤2)-菁,故C正确;

令玉=一1,%=1,则受产=0,

所以因为/⑴[”-1)=/(。)=0,故D错误.

故选:AC.

1

变式3-4.(2023春・上海•高三校联考阶段练习)已知函数了(*=必,则关于r的表达式

/(r-2z)+/(2r-l)<0的解集为.

【答案】■,”

【分析】利用幕函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】由题意可知,“X)的定义域为

11

所以/(-%)=(-%a=-户=-/(%),

所以函数〃力是奇函数,

由塞函数的性质知,函数〃尤)=/在函数(-w,+w)上单调递增,

由/(z2-2z)+/(2r-l)<o,得/(/_2)<-f(2t2-l),即f(t2-2t)</(1-2/2),

所以产一2/<1—2/,即3产-2-1<0,解得

所以关于f的表达式的解集为

故答案为:D

题型四:塞函数综合问题

【典例分析】

例4-1.(2023•山东聊城・统考三模)设。=0.2°-5,6=0.5.2,。=1。8°.502则()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

[分析]根据指对累函数的单调性以及中间值进行比较即可.

【详解】由y=0.2”单调递减可知:0.2°5<0.2°-2,

由〉=尤0-2单调递增可知:0.2。2<0.5%所以0.20-5<0.5。2,即。<6,且匕<1.

由y=logo,5X单调递减可知:c=log050.2>log050.5=1,所以c>A>a.

故选:D

例42(2023・安徽滁州•校考模拟预测)函数〃彳)=/2与g(x)=g)r在(0,+时均单调递减的一个充分不

必要条件是()

A.[£(0,2)B.«e[0,l)C.«e[l,2)D.4£(1,2]

【答案】C

【分析】分别求出函数/(x)=y与g(x)=?)在(。,+8)均单调递减时,。的取值区间结合选项可得答案.

【详解】函数/(%)=无心在(0,+8)均单调递减可得。-2<0即。<2;

函数g(x)=g[=\)在(0,+8)均单调递减可得0<51,解得0<°<4,

若函数/(外=/一2与g(x)=(£|均单调递减,可得0<a<2,

由题可得所求区间真包含于(0,2),

结合选项,函数/(无)=/-2与g(x)=(,)均单调递减的一个充分不必要条件是C

故选:C

例4-3.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数>=工(尤>0)图象上一动

X

点.若点P,A之间的最短距离为2夜,则满足条件的实数。的所有值为.

【答案】一1或JIU

【解析】

设点(%>0),则

X

令g(f)=产-2at+2矿-2=(f-a)+ci—2

(1)当。22时,/=a时g(/)取得最小值8(。)=。2-2,7$一2=2抗,解得a=M

⑵当a<2时,g⑺在区间[2,+。。)上单调递增,所以当/=2时,g⑺取得最小值g(2)=2片—4a+2

.,.J2a2—4a+2=2&,解得a=-l

综上可知:。=-1或4=9

所以答案应填:-1或J而.

例44(2023・高三课时练习)已知暴函数〃尤)=/H-3(机为正整数)的图像关于y轴对称,且在(0,+8)

上是严格减函数,求满足(4+l)号>(3_2a)中的实数a的取值范围.

【答案】=,!>值'+』

【分析】根据函数为幕函数以及函数的性质,可确定参数机的取值,结合幕函数y的单调性,分类讨

论求解不等式,可得答案.

【详解】因为函数/(尤)在(o,+8)上是严格减函数,所以m-3<0,解得-1<祖<3.

由m为正整数,则〃2=1或〃?=2,

又函数/(尤)的图像关于y轴对称,得是偶函数,

而当机=2时,22-2x2-3=-3,/(司=丁为奇函数,不符题意,

当〃?=1时,F-2xl-3=T,为偶函数,于是m=1.

因为y=为奇函数,在(-8,0)与(0,+8)上均为严格减函数,

11

所以+>(3-2〃户等价于a+1v3—2aV。或3-2〃>a+l>0或a+l>0>3-2a,

解得一1<"|•或a〉,,Epae^-l,|juQ,+coy

【变式训练】

变式4-1.(2023・广东佛山•校联考模拟预测)设a=log°.32,b=辰,c=0.2^3,则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【分析】分别由指数、对数、幕函数的性质可得。<0,0<6<1,ol,即可得出答案.

05

【详解】由题知,a=log032<log031=0,0<b=703=O.3<0.3°=1,

1=0.2°<c=0.2^-3,所以。<b<c.

故选:A.

变式42(2023・陕西•西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知函数/(彳卜产,g(x)=xj其中

闫0,同,0<&<1,/>1,若点“打出,叫"削,叫遭削,0*削满足|网=|/

贝I()

A.4"-42=2"+'B.4a+42=2"+产

C.2a_2尸=2"尸D.2a+2尸=2&+尸

【答案】D

【分析】由|"P|=|NQ|且横坐标对应相等,知纵坐标差的绝对值对应相等,化简即得.

【详解】因为同=M,且ow”1,故:9曰.故:+1=1,

则2a+2夕=2"".

故选:D.

变式4-3.(2023・高三课时练习)已知夕“-2,-1,-:,0,(1,1,2],若函数"力=^满足:当xe(—l,0)U(0,l)

时,/(x)>W恒成立,则a的取值为.(写出满足条件的所有取值)

【答案】—2、-22、0或彳2

【分析】根据幕函数的性质,结合题意,根据函数值的正负情况,一一判断a的取值是否符合题意,可得

答案.

【详解】因为x«-l,0)U(0,l),所以0<|无|<1,

要使〃x)>W则〃尤)=x"在区间(T0)U(0,l)上应大于0,

所以a=-1,g,1时〃x)=X。在区间(-1,0)U(0,l)可取到负值,不合题意;

当e=O时,/(x)=x°=l,在区间(T0)U(0,l)上恒有/(x)>|尤|成立,符合题意;

当a=2时,f(x)=x2,当xe(-1,0)时,x2+x=x(x+1)<0,x2<-x,

当xe(0,1)时,x2—x=x(x-1)<0,.'.x2<x,

即在区间(-l,0)U(0,l)上有<k|成立,不合题意;

当a=-2时,/(x)=x-2,当xe(-l,0)时,y=-+x为递增函数,x-2+x>(-1)-2-1=0,贝!!彳>-x;

当xe(O,l)时,丫=彳以一%为递减函数,x-2-x>(I)-2-1=0,贝1]彳-2>%,

故在区间(T0)U(0,1)上有〃x)>W恒成立,符合题意;

22IYIL

当。=—公时,/(%)=%),由"、=1XP,及。<国<1,

Irl-

知y=i无/<1,了⑶>|无胆成立,符合题意;

/(尤)

O2II1

当"=§时,/(%)=#,由篇r=1吓及0<N|<l,

知y=i尤|3<1,.-/(X)>ix।恒成立,符合题意,

/(尤)

综上所述,a的取值为-2、-2.、0或25,

J。

22

故答案为:-2、-->。或Q

变式44(2020秋.江西上饶•高三校考阶段练习)已知幕函数"%)=(疗-5根+7)产।为偶函数.

⑴求“X)的解析式;

(2)若g(x)=〃x)-冰-3在[1,3]上不是单调函数,求实数。的取值范围.

【答案】(1)/(尤)=/

(2)2<a<6

【分析】(1)根据基函数的定义和函数的奇偶性求出加的值,求出函数的解析式即可;

(2)求出函数g(x)的对称轴,根据函数的单调性求出。的范围即可.

【详解】(1)由题意m2-5/71+7=1.

解得:帆=2或3,

若f。)是偶函数,则加=3,

故/(X)=%2;

(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,

g(x)的对称轴是X=p

若g(x)在[1,3]上不是单调函数,

则1<晟<3,解得:2<a<6.

所以实数。的取值范围为2<a<6.

一、单选题

1.(2023・辽宁•校联考一模)下列函数中,是偶函数,且在区间(-8,0)单调递增的为()

A.y-x'2B.y=|x]C.y=2忖D.y=x3

【答案】A

【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.

【详解】解:y=V为奇函数,y=|x|,八州为偶函数,

但在(0,+8)单调递增,所以在(-8,0)单调递减,

而y=x"为偶函数且在(-0。)单调递增.

故选:A

2.(2023•全国•高三专题练习)函数元)=桐的图象大致为()

【分析】利用函数的奇偶性及塞函数的性质进行排除可得答案.

【详解】因为〃-力=屈=/。),所以为偶函数,排除A,B选项;

易知当尤>0时,/(*)=石为增函数,且增加幅度较为缓和,所以D不正确.

故选:C.

3.(2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测)若暴函数/(x)=(疗-2加-21'在区间

(0,+8)上单调递增,则加=()

A.-1B.3C.一1或3D.1或-3

【答案】A

【分析】根据幕函数的概念和单调性可求出结果.

【详解】因为函数=加-2b""""I为嘉函数,且在区间(0,+“)上单调递增,

所以机2-2加一2=1且^—4m+1>0,

由"一2m-3=0,得根=-1或机=3,

当加=-1

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