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文档简介
专题3.4募函数
【核心素养】
1.以常见幕函数为载体,考查函数的奇偶性与周期性,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用
及数学运算的核心素养.
3.与函数、不等式结合,考查函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
<---------------;
3怩
知识点一幕函数的定义
累函数的定义
一般地,形如y=x,的函数称为幕函数,其中尤是自变量,。为常数.
知识点二常见的5种黑函数的图象
__________)
常见的5种塞函数的图象
知识点三常见的5种幕函数的性质
常见的5种塞函数的性质
函数特征
—1
尸/y=x2
性质
定义域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}
值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
《一■一,一■一•一■一,一•一•一■一■一・7-
常考题型例析/
I■■■■■■I->IIMI■■■■■II■■■IIIJ
题型一:塞函数的概念
【典例分析】
例1-1.(2023秋•河北邯郸•高三统考期末)已知募函数/(X)满足曾=4,则/匕)的值为()
A.2B.—C.—D.—2
44
例1-2.(2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)己知暴函数〃尤)=x"的图象过点(2,4),
则小吟]=.
【知识拓展】
1.形如y=/的函数叫累函数,这里需有:⑴系数为1,⑵指数为一常数,(3)后面不加任何项.例如y=3x、
y=xx+i、y=r+l均不是嘉函数,再者注意与指数函数的区别,例如:〉=/是癌函数,y=2*是指数函数.
2.基函数y=K的形式特点是“募指数坐在尤的肩膀上”,往往利用待定系数法,求幕指数,得到函数解析
式,进一步解题.
【变式训练】
变式L1.(2023・河北•高三学业考试)已知塞函数y=〃x)的图象过点(8,20),则〃9)的值为()
A.2B.3C.4D.9
变式1-2.(2023•上海黄浦・统考二模)若函数y=的图像经过点(2,16)与(3,附,则机的值为.
题型二:幕函数的图象
1
例2-2.(2023•全国•高三对口高考)给定一组函数解析式:
@y'②,二尤§;③y=%5;®-y=x3;⑤,=尤5;(§)y—x3;⑦,=彳3.
如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()
C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①
x2,x>0,
例2-3.(2023•新疆阿勒泰•统考三模)已知函数则函数/(无)=,Ig(x)=/(-无),则函数g(x)的图象大
一,1v0,
致是()
3
例2-4.(2023・陕西榆林•校考模拟预测)直线/:x+y=:与x,V轴的交点分别是A,B,/与函数〉=丁,
y=x"(O<m<〃)的图像的交点分别为C,D,若C,。是线段A3的三等分点,则”根的值为.
【规律方法】
函数y=x"的形式的图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当。>0时,第一象限图
象是上坡递增;当。<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即
可.
【变式训练】
R,且其图像关于y轴成轴对称,则机的值可以为()
A.1B.4C.7D.10
变式23(2023・全国•高三专题练习)已知幕函数、(P应£Z且,M互质)的图象关于y轴对称,如
y
图所示,则()
B.q为偶数,p为奇数,且‘<。
q
C.q为奇数,p为偶数,且/>o
D.q为奇数,p为偶数,且“<。
q
变式24(2023•宁夏银川・银川一中校考一模)函数y=尤,y=4和y='的图像都通过同一个点,则该点
X
坐标为.
题型三:幕函数的性质
【典例分析】
例3-1.(1993•全国•高考真题)函数y=[在[—1,1]上是()
A.增函数且是奇函数B,增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数
例3-2.(2007・山东・高考真题)设。£卜1,11,3卜则使函数〉=丁的定义域为R且为奇函数的所有。值为
()
A.1,3B.—1,1C.~1,3D.-1,1,3
例3-3.(2023•浙江•高三专题练习)已知〃=1.产/=I?1、c=13」,则()
A.c<b<aB.a<b<c
C.c<a<bD.a<c<b
例3-4.(2023•江苏淮安・江苏省目于胎中学校考模拟预测)已知塞函数/(%)=若〃a-l)<〃8-2a),
则a的取值范围是.
【方法技巧】
1.在比较幕值的大小时,必须结合幕值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不
同次数的暴函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较累函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握
各个幕函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幕的底数不确定时,要注意讨论
底数的不同取值情况.
【变式训练】
变式3-1.(2020・全国•高三对口高考)下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为().
A./(x)=-xB.=C.f(x)=x2D.f^X)-y[x
变式3-2.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)幕函数=(病-3〃L3卜"在区间(0,+8)上单调递
减,则下列说法正确的是()
A.〃1=4B./(X)是减函数
C.“X)是奇函数D./⑴是偶函数
变式3-3.【多选题】(2023•江苏•校联考模拟预测)若函数〃功=),且%<%,贝U()
A.(^-^)(/(%1)-/(%2))>0B.^-/(^)>x2-/(x,)
C./(3)一々</(%)一占D.五|强]
变式3-4.(2023春・上海•高三校联考阶段练习)已知函数了(耳=1,则关于t的表达式
/,_2.)+/(2产-1)<0的解集为.
题型四:塞函数综合问题
【典例分析】
例4-1.(2023・山东聊城•统考三模)设°=0.2%Z7=O.5°\c=log050.2plij()
A.a>c>bB.b>c>a
C.c>a>bD.c>b>a
例4-2.(2023•安徽滁州•校考模拟预测)函数/(司=/2与g(x)=。尸在(0,+e)均单调递减的一个充分不
必要条件是()
A.ae(0,2)B.ae[O,l)C.ae[1,2)D.ae(1,2]
例4-3.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系尤Oy中,设定点A(a,a),尸是函数(x>0)图象上一动
x
点.若点P,A之间的最短距离为20,则满足条件的实数。的所有值为.
例44(2023•高三课时练习)已知幕函数=(加为正整数)的图像关于>轴对称,且在(0,+s)
上是严格减函数,求满足g+1)号>(3-2a)号的实数〃的取值范围.
【变式训练】
变式4-1.(2023•广东佛山•校联考模拟预测)设a=log°32,b=反,c=0.2@,则()
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.a<c<b
变式42(2023•陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知函数=g(x)=,,其中
xe[0,y),0<夕<1)>1,若点满足|MP|=|NQ],
贝IJ()
A.4a—4尸=2,+尸B.4a+44=2'+4
C.2a—2尸=2。+0D.2&+2尸=2&+0
变式4-3.(2023・高三课时练习)已知ae1-2,-1,-:,01,,1,21,若函数〃同=才满足:当xe(—l,0)U(0,l)
时,/(x)>|乂恒成立,则a的取值为.(写出满足条件的所有取值)
变式4-4.(2020秋•江西上饶•高三校考阶段练习)已知幕函数“%)=(疗-5根+7)产।为偶函数.
⑴求〃x)的解析式;
(2)若g(x)=〃x)-办-3在[1,3]上不是单调函数,求实数。的取值范围.
一、单选题
1.(2023•辽宁•校联考一模)下列函数中,是偶函数,且在区间(-少,。)单调递增的为()
A.y=x-2B.、=国C.J=2HD.y=x3
2.(2023・全国•高三专题练习)函数〃尤)=桐的图象大致为()
3.(2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测)若暴函数/(x)=(病一2加-21Em+i在区间
(0,+8)上单调递增,则加=()
A.-1B.3C.-1或3D.1或-3
4.(2023•海南•统考模拟预测)已知〃x)=(加+m-5卜"'为幕函数,则().
A.在(-8,0)上单调递增B.在(-⑦。)上单调递减
C.“X)在(0,+8)上单调递增D.〃尤)在(0,+8)上单调递减
5.(2023秋•山东德州•高三统考期末)函数f(x)=(>-机+1卜'~片3(0=机<3,机eZ)同时满足①对于定义
域内的任意实数x,都有/(-x)=f(x);②在(0,—)上是减函数,则/中的值为()
\1)
A.8B.4C.2D.1
6.(2023・江苏•高三统考学业考试)已知函数/(九)二%"是偶函数,且在区间(0,+e)上单调递增,则下列实
数可作为a值的是()
A.-2B.《C.2D.3
7.(2023・全国•高三对口高考)若〃,仇CER+,且a+b=c,当a>l时,则一定有()
、.1c
8.(2012•山东借考真题)设函数/Cx)=-,g(%)=ax+fer(a,)£R,awO),若>=/(%)的图象与y=g(%)图象
x
有且仅有两个不同的公共点j),2(々,%),则下列判断正确的是
A.当a<0时,再+9<0,必+%>0
B.当a<0时,xl+x2>0,yl+y2<0
C.当a>0时,占+%<。,%+%<0
D.当。>0时,x1+x2>0,yi+y2>0
二、填空题
2
9.(2020•江苏•统考高考真题)已知产船)是奇函数,当定0时,〃力=/,则於8)的值是.
10.(2014.上海.高考真题)若然球=4_金则满足〃X)<0的X取值范围是.
11.(2023春•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习)已知幕函数>=/(尤)的图像过点(9,3),则/(2)的值为
12.(2023•上海徐汇•位育中学校考模拟预测)已知幕函数>=/(尤)的图像过点尸(2,8),则函数y=/(x)-x的
零点为.
专题3.4募函数
【核心素养】
1.以常见幕函数为载体,考查函数的奇偶性与周期性,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用
及数学运算的核心素养.
3.与函数、不等式结合,考查函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
<---------------;
3怩
知识占一幕函数的定义
累函数的定义
一般地,形如y=x,的函数称为幕函数,其中尤是自变量,。为常数.
知识点二常见的5种黑函数的图象
常见的5种新函数的图象
知识点三常见的5种幕函数的性质
常见的5种塞函数的性质
函数特征
—1
尸/2
性质y=x
定义域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}
值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
《一■一,一■一•一■一■一,一•一■一■一・7-
常考题型例析/
题型一:塞函数的概念
【典例分析】
例1-1.(2023秋•河北邯郸•高三统考期末)已知募函数/(X)满足曾=4,则/匕)的值为()
A.2B.—C.—D.—2
44
【答案】B
【分析】设出基函数的解析式,根据已知,求出参数的关系式,即可计算作答.
【详解】依题意,设〃力=算则等=1=3。=4,
/(2)2。
所以宿)=&$】•
故选:B
例1-2.(2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知事函数八尤)=尤"的图象过点(2,4),
则/Nin^U
【答案】1/0.5
【分析】根据募函数过点(2,4),求出函数解析式,将数值代入即可计算.
【详解】因为幕函数/(%)=丁的图象过点(2,4),所以2。=4,解得:«=2,
所以/(x)=x2,则/(sin:)=(/)2=g,
故答案为:).
【知识拓展】
1.形如的函数叫幕函数,这里需有:(1)系数为1,(2)指数为一常数,(3)后面不加任何项.例如y=3x、
y=x'+i、y=/+l均不是募函数,再者注意与指数函数的区别,例如:y=/是累函数,y=2*是指数函数.
2.暴函数y=K的形式特点是“累指数坐在尤的肩膀上”,往往利用待定系数法,求累指数,得到函数解析
式,进一步解题.
【变式训练】
变式L1.(2023・河北•高三学业考试)已知累函数y=/(x)的图象过点卜,2®),则/(9)的值为()
A.2B.3C.4D.9
【答案】B
【分析】设幕函数为/(%)=£,代入点计算得到々=计算得到答案.
【详解】设幕函数为〃x)=x",图象过点(8,20),故〃8)=8〃=2&,故。=g,
〃尤)=尤晨/(9)=如=3.
故选:B
变式1-2.(2023•上海黄浦・统考二模)若函数y=x"的图像经过点(2,16)与(3,m),则根的值为.
【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数。,可得函数解析式,再代入求值即得答案.
[详解】由题意函数y=x"的图像经过点(2,16)与(3,m),
则16=2",;.a=4,则y=/
故机=34=81,
故答案为:81
题型二:基函数的图象
3—1
例2-1.(2023•全国•高三专题练习)函数〃龙”土二匚的图像大致为()
【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.
【详解】由『(1)=0,排除A,D.当x>l时,所以〃x)>0,排除C.
故选:B.
例2-2.(2023•全国•高三对口高考)给定一组函数解析式:
3232311
①,=尤1;②,二尤3;③,=了5;@y=x3;⑤,=了2;@y—x3;⑦,=尤3.
A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤
C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幕函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式,即可得答案.
【详解】图象(1)关于原点对称,为奇函数,且不过原点、第一象限递减,故丫=/彳满足;
图象(2)关于y轴对称,为偶函数,且不过原点、第一象限递减,故y=满足;
3
图象(3)非奇非偶函数,且不过原点、第一象限递减,故y=/5满足;
图象(4)关于y轴对称,为偶函数,且过原点、第一象限递增,故y=j满足;
图象(5)关于原点对称,为奇函数,且过原点、第一象限递增,故y满足;
3
图象(6)非奇非偶函数,且过原点、第一象限递增,而增长率随x增大递减,故满足;
图象(7)非奇非偶函数,且过原点、第一象限递增,而增长率随尤增大递增,故满足;
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选:C
x2,x>0,
例2-3.(2023•新疆阿勒泰・统考三模)已知函数则函数/(%)=1g(%)=/(r),则函数g(x)的图象大
—,x<0,
【分析】由g(x)=/(-x)可知g(x)图像与“X)的图像关于y轴对称,由/(X)的图像即可得出结果.
【详解】因为g(x)=/(-X),所以g(x)图像与“X)的图像关于y轴对称,
由“X)解析式,作出“X)的图像如图
从而可得g(x)图像为B选项.
故选:B.
3
例24(2023・陕西榆林•校考模拟预测)直线/:x+y=z与x,了轴的交点分别是A,B,/与函数、=都,
y=x"(O<m<〃)的图像的交点分别为C,。,若C,。是线段A3的三等分点,则〃-机的值为.
【答案】43
2
【分析】求出点C、。的坐标,代入相应的塞函数解析式,求出加、〃的值,即可得解.
【详解】直线/:x+y=:与x、y轴的交点分别是«°,£|,
因为C,D是线段A3的三等分点,可得c];,£|,
且/与函数>=无'"、y=x"的图像交点分别是C、D,其中0<根<〃,
1
m=一—.3
解得2,所以,n-m--.
2
n=2
【规律方法】
函数y=/的形式的图象都过点(1,1).它们的单调性要牢记第一象限的图象特征:当〃>0时,第一象限图
象是上坡递增;当。<0时,第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即
可.
【变式训练】
【详解】试题分析:先找出函数图象上的特殊点(1,1),(8,2),(J,J),再判断函数的走向,结合图形,
82
选出正确的答案.
解:函数图象上的特殊点(1,1),故排除A,D;
由特殊点(8,2),(—,—),可排除C.
82
故选B.
变式2-2.(2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习)设,"©R,若塞函数y=廿2口角定义域为
R,且其图像关于y轴成轴对称,则机的值可以为()
A.1B.4C.7D.10
【答案】C
【分析】根据暴函数的定义域和幕函数的奇偶性可以确定m的值.
【详解】解:由题意知/一2租+1>0二>租w1,
因为其图像关于y轴成轴对称,则〃z=7.
故选:C.
变式2-3.(2023・全国•高三专题练习)已知事函数、「4(p,«eZ且。应互质)的图象关于y轴对称,如
图所示,贝U()
A.p,q均为奇数,且:>°
B.q为偶数,p为奇数,且“<。
q
C.q为奇数,p为偶数,且
D.乡为奇数,p为偶数,且“<0
q
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出“<。;根据函数的奇偶性及。,q互质可判断出?为偶数,q为奇数.
q
【详解】因为函数J的定义域为(-*0)U(0,+s),且在(。,+8)上单调递减,
所以“<0,
q
因为函数的图象关于y轴对称,
yv
所以函数、,一1为偶函数,即P为偶数,
又p、q互质,所以q为奇数,
所以选项D正确,
故选:D.
变式2-4.(2023•宁夏银川・银川一中校考一模)函数丁=«和丫=」的图像都通过同一个点,则该点
X
坐标为.
【答案】(1,1)
【分析】根据幕函数的性质既可以求得.
【详解】根据三个函数可得定义域为:(0,+8),则根据幕函数的性质可知这三个函数都经过点(1,1).
故答案为:(1,1)
题型三:塞函数的性质
【典例分析】
3
例3-1.(1993•全国•高考真题)函数y=/在[-1,1]上是()
A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数
【答案】A
3
考查幕函数>=必.
:(>(),根据幕函数的图象与性质
可得在[-1,1]上的单调增函数,是奇函数.
故选A.
点睛:对于形如丫=「的幕函数,研究函数性质时,可以将函数化简为y=0T,可知定义域及函数奇偶性,
塞函数的单调性可以只研究第一象限,再结合奇偶性即可得结论.
例32(2007・山东・高考真题)设ae卜则使函数y=x"的定义域为R且为奇函数的所有。值为
()
A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3
【答案】A
【详解】a=-l,a=;时,函数定义域不是R,不合题意;
a=l,a=3时,函数y=x"的定义域为R且为奇函数,合题意,
故选A.
例3-3.(2023•浙江•高三专题练习)已知。=1.产,6=1.213,。=1.3口,则()
A.c<b<aB.a<b<c
C.c<a<bD.a<c<b
【答案】B
【分析】利用中间值1.212比较〃力的大小,再让b,C与中间值13比较,判断瓦。的大小,即可得解.
【详解】a=l,l12<1,212<1,213=Z;,又因为通过计算知L2—1H,所以。毅片<。^广,即1.2"<1.3。9,
又1.2°」<1.3%所以I2。v1.31<L3ii=c,所以
故选:B
1
例3-4.(2023•江苏淮安・江苏省旺胎中学校考模拟预测)己知塞函数/(无)=\了,若-2a),
则a的取值范围是.
【答案】(3,4)
【分析】根据题意得到幕函数/(x)的定义域和单调性,得到不等式〃。-1)<〃8-2a)的等价不等式组,
即可求解.
【详解】由塞函数〃x)=1可得函数“X)的定义域为(0,+/),且是递减函数,
赤
。—1〉8—2〃
因为〃“一1)<〃8—2a),可得<。一1>0,解得3<°<4,
8—2a>0
即实数。的取值范围为(3,4).
故答案为:(3,4).
【方法技巧】
L在比较幕值的大小时,必须结合塞值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,既不同底又不
同次数的基函数值比较大小:常找到一个中间值,通过比较累函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握
各个幕函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幕的底数不确定时,要注意讨论
底数的不同取值情况.
【变式训练】
变式3-1.(2020・全国•高三对口高考)下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为().
A./(x)=-xB.尤)=0C./(x)=x2D.f(x)=y[x
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.
【详解】A:一次函数的性质知/(力=-了在R上是减函数,不合题意.
B:/(力定义域为区且〃-幻=|£|=(|)^±/(x),为非奇非偶且是减函数,不合题意;
C:/(无)定义域为R且/(T)=(-X)2=X2=/(X),为偶函数且在R上不单调,不合题意.
D:”力定义域为R且/(一招=。=-也=-/(犬),为奇函数且在R上是增函数,符合题意.
故选:D.
变式3-2.(2023・四川成都.石室中学校考模拟预测)塞函数=(川-3m-3)/在区间(0,+动上单调递
减,则下列说法正确的是()
A.m=4B./(x)是减函数
C.”尤)是奇函数D.〃尤)是偶函数
【答案】C
【分析】根据幕函数的定义及单调性可判断AB,再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数/'(》)=(*-3相-3)/为幕函数,贝“加一3m一3=1,解得山=4或〃7=-1.
当777=4时,〃X)=f在区间(0,+8)上单调递增,不满足条件,排除A;
当机=-1时,〃力=/在区间(。,+8)上单调递减,满足题意.
函数/(%)="在(-8,0)和(0,+8)上单调递减,但不是减函数,排除B;
因为函数定义域关于原点对称,且/(-x)='=-/(x),
—X
所以函数/(X)是奇函数,不是偶函数,故C正确,D错误.
故选:C.
变式3-3.【多选题】(2023•江苏•校联考模拟预测)若函数〃x)=x)且改<々,则()
A.-/(%,))>0B.%-/(不)>%—/伍)
C./(xl)-x2</(x2)-x1D.
【答案】AC
【分析】利用幕函数的性质及函数的单调性的性质,结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由塞函数的性质知,/(x)=/在R上单调递增.
因为无1<%,所以/(占)</(尤2),即无一14<。,占)一/(%)<。,
所以(石_/)(/(3)一/(巧))>0.故A正确;
令国=0,%=1,则。一/(0)=1-/(1)=(),故B错误;
_1
令g(x)=/(x)+X=X^+X'则
1
由函数单调性的性质知,〃x)=Q在R上单调递增,y=x在R上单调递增,
1
所以y=/(x)+x=x3+x在R上单调递增,
因为西<尤2,所以g(xJ<g(X2),即/(芯)+占</(当)+”2,于是有了(不)一马</(尤2)-菁,故C正确;
令玉=一1,%=1,则受产=0,
所以因为/⑴[”-1)=/(。)=0,故D错误.
故选:AC.
1
变式3-4.(2023春・上海•高三校联考阶段练习)已知函数了(*=必,则关于r的表达式
/(r-2z)+/(2r-l)<0的解集为.
【答案】■,”
【分析】利用幕函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知,“X)的定义域为
11
所以/(-%)=(-%a=-户=-/(%),
所以函数〃力是奇函数,
由塞函数的性质知,函数〃尤)=/在函数(-w,+w)上单调递增,
由/(z2-2z)+/(2r-l)<o,得/(/_2)<-f(2t2-l),即f(t2-2t)</(1-2/2),
所以产一2/<1—2/,即3产-2-1<0,解得
所以关于f的表达式的解集为
故答案为:D
题型四:塞函数综合问题
【典例分析】
例4-1.(2023•山东聊城・统考三模)设。=0.2°-5,6=0.5.2,。=1。8°.502则()
A.a>c>bB.b>c>a
C.c>a>bD.c>b>a
【答案】D
[分析]根据指对累函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【详解】由y=0.2”单调递减可知:0.2°5<0.2°-2,
由〉=尤0-2单调递增可知:0.2。2<0.5%所以0.20-5<0.5。2,即。<6,且匕<1.
由y=logo,5X单调递减可知:c=log050.2>log050.5=1,所以c>A>a.
故选:D
例42(2023・安徽滁州•校考模拟预测)函数〃彳)=/2与g(x)=g)r在(0,+时均单调递减的一个充分不
必要条件是()
A.[£(0,2)B.«e[0,l)C.«e[l,2)D.4£(1,2]
【答案】C
【分析】分别求出函数/(x)=y与g(x)=?)在(。,+8)均单调递减时,。的取值区间结合选项可得答案.
【详解】函数/(%)=无心在(0,+8)均单调递减可得。-2<0即。<2;
函数g(x)=g[=\)在(0,+8)均单调递减可得0<51,解得0<°<4,
若函数/(外=/一2与g(x)=(£|均单调递减,可得0<a<2,
由题可得所求区间真包含于(0,2),
结合选项,函数/(无)=/-2与g(x)=(,)均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选:C
例4-3.(江苏省高考真题)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数>=工(尤>0)图象上一动
X
点.若点P,A之间的最短距离为2夜,则满足条件的实数。的所有值为.
【答案】一1或JIU
【解析】
设点(%>0),则
X
令g(f)=产-2at+2矿-2=(f-a)+ci—2
(1)当。22时,/=a时g(/)取得最小值8(。)=。2-2,7$一2=2抗,解得a=M
⑵当a<2时,g⑺在区间[2,+。。)上单调递增,所以当/=2时,g⑺取得最小值g(2)=2片—4a+2
.,.J2a2—4a+2=2&,解得a=-l
综上可知:。=-1或4=9
所以答案应填:-1或J而.
例44(2023・高三课时练习)已知暴函数〃尤)=/H-3(机为正整数)的图像关于y轴对称,且在(0,+8)
上是严格减函数,求满足(4+l)号>(3_2a)中的实数a的取值范围.
【答案】=,!>值'+』
【分析】根据函数为幕函数以及函数的性质,可确定参数机的取值,结合幕函数y的单调性,分类讨
论求解不等式,可得答案.
【详解】因为函数/(尤)在(o,+8)上是严格减函数,所以m-3<0,解得-1<祖<3.
由m为正整数,则〃2=1或〃?=2,
又函数/(尤)的图像关于y轴对称,得是偶函数,
而当机=2时,22-2x2-3=-3,/(司=丁为奇函数,不符题意,
当〃?=1时,F-2xl-3=T,为偶函数,于是m=1.
因为y=为奇函数,在(-8,0)与(0,+8)上均为严格减函数,
11
所以+>(3-2〃户等价于a+1v3—2aV。或3-2〃>a+l>0或a+l>0>3-2a,
解得一1<"|•或a〉,,Epae^-l,|juQ,+coy
【变式训练】
变式4-1.(2023・广东佛山•校联考模拟预测)设a=log°.32,b=辰,c=0.2^3,则()
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.a<c<b
【答案】A
【分析】分别由指数、对数、幕函数的性质可得。<0,0<6<1,ol,即可得出答案.
05
【详解】由题知,a=log032<log031=0,0<b=703=O.3<0.3°=1,
1=0.2°<c=0.2^-3,所以。<b<c.
故选:A.
变式42(2023・陕西•西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知函数/(彳卜产,g(x)=xj其中
闫0,同,0<&<1,/>1,若点“打出,叫"削,叫遭削,0*削满足|网=|/
贝I()
A.4"-42=2"+'B.4a+42=2"+产
C.2a_2尸=2"尸D.2a+2尸=2&+尸
【答案】D
【分析】由|"P|=|NQ|且横坐标对应相等,知纵坐标差的绝对值对应相等,化简即得.
【详解】因为同=M,且ow”1,故:9曰.故:+1=1,
则2a+2夕=2"".
故选:D.
变式4-3.(2023・高三课时练习)已知夕“-2,-1,-:,0,(1,1,2],若函数"力=^满足:当xe(—l,0)U(0,l)
时,/(x)>W恒成立,则a的取值为.(写出满足条件的所有取值)
【答案】—2、-22、0或彳2
【分析】根据幕函数的性质,结合题意,根据函数值的正负情况,一一判断a的取值是否符合题意,可得
答案.
【详解】因为x«-l,0)U(0,l),所以0<|无|<1,
要使〃x)>W则〃尤)=x"在区间(T0)U(0,l)上应大于0,
所以a=-1,g,1时〃x)=X。在区间(-1,0)U(0,l)可取到负值,不合题意;
当e=O时,/(x)=x°=l,在区间(T0)U(0,l)上恒有/(x)>|尤|成立,符合题意;
当a=2时,f(x)=x2,当xe(-1,0)时,x2+x=x(x+1)<0,x2<-x,
当xe(0,1)时,x2—x=x(x-1)<0,.'.x2<x,
即在区间(-l,0)U(0,l)上有<k|成立,不合题意;
当a=-2时,/(x)=x-2,当xe(-l,0)时,y=-+x为递增函数,x-2+x>(-1)-2-1=0,贝!!彳>-x;
当xe(O,l)时,丫=彳以一%为递减函数,x-2-x>(I)-2-1=0,贝1]彳-2>%,
故在区间(T0)U(0,1)上有〃x)>W恒成立,符合题意;
22IYIL
当。=—公时,/(%)=%),由"、=1XP,及。<国<1,
Irl-
知y=i无/<1,了⑶>|无胆成立,符合题意;
/(尤)
O2II1
当"=§时,/(%)=#,由篇r=1吓及0<N|<l,
知y=i尤|3<1,.-/(X)>ix।恒成立,符合题意,
/(尤)
综上所述,a的取值为-2、-2.、0或25,
J。
22
故答案为:-2、-->。或Q
变式44(2020秋.江西上饶•高三校考阶段练习)已知幕函数"%)=(疗-5根+7)产।为偶函数.
⑴求“X)的解析式;
(2)若g(x)=〃x)-冰-3在[1,3]上不是单调函数,求实数。的取值范围.
【答案】(1)/(尤)=/
(2)2<a<6
【分析】(1)根据基函数的定义和函数的奇偶性求出加的值,求出函数的解析式即可;
(2)求出函数g(x)的对称轴,根据函数的单调性求出。的范围即可.
【详解】(1)由题意m2-5/71+7=1.
解得:帆=2或3,
若f。)是偶函数,则加=3,
故/(X)=%2;
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,
g(x)的对称轴是X=p
若g(x)在[1,3]上不是单调函数,
则1<晟<3,解得:2<a<6.
所以实数。的取值范围为2<a<6.
一、单选题
1.(2023・辽宁•校联考一模)下列函数中,是偶函数,且在区间(-8,0)单调递增的为()
A.y-x'2B.y=|x]C.y=2忖D.y=x3
【答案】A
【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.
【详解】解:y=V为奇函数,y=|x|,八州为偶函数,
但在(0,+8)单调递增,所以在(-8,0)单调递减,
而y=x"为偶函数且在(-0。)单调递增.
故选:A
2.(2023•全国•高三专题练习)函数元)=桐的图象大致为()
【分析】利用函数的奇偶性及塞函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为〃-力=屈=/。),所以为偶函数,排除A,B选项;
易知当尤>0时,/(*)=石为增函数,且增加幅度较为缓和,所以D不正确.
故选:C.
3.(2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测)若暴函数/(x)=(疗-2加-21'在区间
(0,+8)上单调递增,则加=()
A.-1B.3C.一1或3D.1或-3
【答案】A
【分析】根据幕函数的概念和单调性可求出结果.
【详解】因为函数=加-2b""""I为嘉函数,且在区间(0,+“)上单调递增,
所以机2-2加一2=1且^—4m+1>0,
由"一2m-3=0,得根=-1或机=3,
当加=-1
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