高考数学一轮复习：幂函数

专题3.4募函数

【核心素养】

1.以常见幕函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用

及数学运算的核心素养.

3.与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------------;

3怩

知识点一幕函数的定义

累函数的定义

一般地，形如y=x,的函数称为幕函数,其中尤是自变量，。为常数.

知识点二常见的5种黑函数的图象

__________)

常见的5种塞函数的图象

知识点三常见的5种幕函数的性质

常见的5种塞函数的性质

函数特征

—1

尸/y=x2

性质

定义域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

《一■一,一■一•一■一,一•一•一■一■一・7-

常考题型例析/

I■■■■■■I->IIMI■■■■■II■■■IIIJ

题型一：塞函数的概念

【典例分析】

例1-1.（2023秋•河北邯郸•高三统考期末）已知募函数/（X）满足曾=4,则/匕）的值为（）

A.2B.—C.—D.—2

44

例1-2.（2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）己知暴函数〃尤）=x"的图象过点（2,4）,

则小吟］=.

【知识拓展】

1.形如y=/的函数叫累函数，这里需有：⑴系数为1,⑵指数为一常数，（3）后面不加任何项.例如y=3x、

y=xx+i、y=r+l均不是嘉函数，再者注意与指数函数的区别，例如：〉=/是癌函数，y=2*是指数函数.

2.基函数y=K的形式特点是“募指数坐在尤的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幕指数，得到函数解析

式，进一步解题.

【变式训练】

变式L1.（2023・河北•高三学业考试）已知塞函数y=〃x）的图象过点（8,20）,则〃9）的值为（）

A.2B.3C.4D.9

变式1-2.（2023•上海黄浦・统考二模）若函数y=的图像经过点（2,16）与（3,附，则机的值为.

题型二：幕函数的图象

1

例2-2.（2023•全国•高三对口高考）给定一组函数解析式:

@y'②,二尤§；③y=%5;®-y=x3；⑤,=尤5;(§)y—x3;⑦,=彳3.

如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是（）

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

x2,x>0,

例2-3.（2023•新疆阿勒泰•统考三模）已知函数则函数/（无）=，Ig(x)=/(-无)，则函数g(x)的图象大

一,1v0,

致是（）

3

例2-4.（2023・陕西榆林•校考模拟预测）直线/：x+y=:与x,V轴的交点分别是A,B,/与函数〉=丁，

y=x"（O<m<〃）的图像的交点分别为C,D,若C,。是线段A3的三等分点，则”根的值为.

【规律方法】

函数y=x"的形式的图象都过点（1,1）.它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当。>0时，第一象限图

象是上坡递增；当。<0时，第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即

可.

【变式训练】

R,且其图像关于y轴成轴对称，则机的值可以为（）

A.1B.4C.7D.10

变式23（2023・全国•高三专题练习）已知幕函数、（P应£Z且，M互质）的图象关于y轴对称，如

y

图所示，则（）

B.q为偶数，p为奇数，且‘<。

q

C.q为奇数，p为偶数,且/>o

D.q为奇数,p为偶数，且“<。

q

变式24（2023•宁夏银川・银川一中校考一模）函数y=尤，y=4和y='的图像都通过同一个点，则该点

X

坐标为.

题型三：幕函数的性质

【典例分析】

例3-1.（1993•全国•高考真题）函数y=［在［—1,1］上是（）

A.增函数且是奇函数B,增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

例3-2.（2007・山东・高考真题）设。£卜1,11,3卜则使函数〉=丁的定义域为R且为奇函数的所有。值为

（）

A.1,3B.—1,1C.~1,3D.-1,1,3

例3-3.（2023•浙江•高三专题练习）已知〃=1.产/=I?1、c=13」，则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

例3-4.（2023•江苏淮安・江苏省目于胎中学校考模拟预测）已知塞函数/（%）=若〃a-l)<〃8-2a),

则a的取值范围是.

【方法技巧】

1.在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不

同次数的暴函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较累函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握

各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

2.指数函数的图象在第一象限内底大图高（逆时针方向底数依次变大）.当幕的底数不确定时，要注意讨论

底数的不同取值情况.

【变式训练】

变式3-1.（2020・全国•高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（）.

A./(x)=-xB.=C.f(x)=x2D.f^X)-y[x

变式3-2.（2023・四川成都•石室中学校考模拟预测）幕函数=（病-3〃L3卜"在区间（0,+8）上单调递

减，则下列说法正确的是（）

A.〃1=4B./（X）是减函数

C.“X）是奇函数D./⑴是偶函数

变式3-3.【多选题】（2023•江苏•校联考模拟预测）若函数〃功=），且％<%，贝U（）

A.（^-^）（/（%1）-/（%2））>0B.^-/（^）>x2-/（x,）

C./（3）一々</（%）一占D.五|强］

变式3-4.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）已知函数了（耳=1，则关于t的表达式

/,_2.）+/（2产-1）<0的解集为.

题型四：塞函数综合问题

【典例分析】

例4-1.（2023・山东聊城•统考三模）设°=0.2%Z7=O.5°\c=log050.2plij（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

例4-2.（2023•安徽滁州•校考模拟预测）函数/（司=/2与g（x）=。尸在（0,+e）均单调递减的一个充分不

必要条件是（）

A.ae（0,2）B.ae[O,l）C.ae[1,2）D.ae（1,2]

例4-3.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系尤Oy中，设定点A（a,a）,尸是函数（x>0）图象上一动

x

点.若点P,A之间的最短距离为20,则满足条件的实数。的所有值为.

例44（2023•高三课时练习）已知幕函数=（加为正整数）的图像关于>轴对称，且在（0,+s）

上是严格减函数，求满足g+1）号>（3-2a）号的实数〃的取值范围.

【变式训练】

变式4-1.（2023•广东佛山•校联考模拟预测）设a=log°32,b=反,c=0.2@,则（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

变式42（2023•陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数=g（x）=，，其中

xe[0,y）,0<夕<1）>1,若点满足|MP|=|NQ],

贝IJ（）

A.4a—4尸=2,+尸B.4a+44=2'+4

C.2a—2尸=2。+0D.2&+2尸=2&+0

变式4-3.（2023・高三课时练习）已知ae1-2,-1,-：,01，,1,21,若函数〃同=才满足：当xe（—l,0）U（0,l）

时，/（x）>|乂恒成立，则a的取值为.（写出满足条件的所有取值）

变式4-4.（2020秋•江西上饶•高三校考阶段练习）已知幕函数“%）=（疗-5根+7）产।为偶函数.

⑴求〃x）的解析式;

（2）若g（x）=〃x）-办-3在[1,3]上不是单调函数，求实数。的取值范围.

一、单选题

1.（2023•辽宁•校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间（-少,。）单调递增的为（）

A.y=x-2B.、=国C.J=2HD.y=x3

2.（2023・全国•高三专题练习）函数〃尤）=桐的图象大致为（）

3.（2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若暴函数/（x）=（病一2加-21Em+i在区间

（0,+8）上单调递增，则加=（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

4.（2023•海南•统考模拟预测）已知〃x）=（加+m-5卜"'为幕函数，则（）.

A.在（-8,0）上单调递增B.在（-⑦。）上单调递减

C.“X）在（0,+8）上单调递增D.〃尤）在（0,+8）上单调递减

5.（2023秋•山东德州•高三统考期末）函数f（x）=（＞-机+1卜'~片3（0=机＜3,机eZ）同时满足①对于定义

域内的任意实数x,都有/（-x）=f（x）；②在（0,—）上是减函数，则/中的值为（）

\1）

A.8B.4C.2D.1

6.（2023・江苏•高三统考学业考试）已知函数/（九）二%"是偶函数，且在区间（0,+e）上单调递增，则下列实

数可作为a值的是（）

A.-2B.《C.2D.3

7.（2023・全国•高三对口高考）若〃，仇CER+,且a+b=c,当a＞l时，则一定有（）

、.1c

8.(2012•山东借考真题)设函数/Cx)=-,g(%)=ax+fer(a,)£R,awO),若＞=/(%)的图象与y=g(%)图象

x

有且仅有两个不同的公共点j），2（々，%）,则下列判断正确的是

A.当a<0时，再+9<0,必+%>0

B.当a<0时，xl+x2>0,yl+y2<0

C.当a>0时，占+%<。，%+%<0

D.当。>0时，x1+x2>0,yi+y2>0

二、填空题

2

9.（2020•江苏•统考高考真题）已知产船）是奇函数，当定0时，〃力=/，则於8）的值是.

10.（2014.上海.高考真题）若然球=4_金则满足〃X）<0的X取值范围是.

11.（2023春•上海杨浦・高三复旦附中校考阶段练习）已知幕函数>=/（尤）的图像过点（9,3）,则/（2）的值为

12.（2023•上海徐汇•位育中学校考模拟预测）已知幕函数>=/（尤）的图像过点尸（2,8）,则函数y=/（x）-x的

零点为.

专题3.4募函数

【核心素养】

1.以常见幕函数为载体，考查函数的奇偶性与周期性，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用

及数学运算的核心素养.

3.与函数、不等式结合，考查函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------------;

3怩

知识占一幕函数的定义

累函数的定义

一般地，形如y=x,的函数称为幕函数,其中尤是自变量，。为常数.

知识点二常见的5种黑函数的图象

常见的5种新函数的图象

知识点三常见的5种幕函数的性质

常见的5种塞函数的性质

函数特征

—1

尸/2

性质y=x

定义域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

《一■一,一■一•一■一■一,一•一■一■一・7-

常考题型例析/

题型一：塞函数的概念

【典例分析】

例1-1.（2023秋•河北邯郸•高三统考期末）已知募函数/（X）满足曾=4,则/匕）的值为（）

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】设出基函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.

【详解】依题意，设〃力=算则等=1=3。=4,

/（2）2。

所以宿）=&$】•

故选:B

例1-2.（2022秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知事函数八尤）=尤"的图象过点（2,4）,

则/Nin^U

【答案】1/0.5

【分析】根据募函数过点（2,4）,求出函数解析式，将数值代入即可计算.

【详解】因为幕函数/（%）=丁的图象过点（2,4）,所以2。=4,解得：«=2,

所以/（x）=x2,则/（sin：）=（/）2=g,

故答案为：）.

【知识拓展】

1.形如的函数叫幕函数，这里需有：（1）系数为1,（2）指数为一常数，（3）后面不加任何项.例如y=3x、

y=x'+i、y=/+l均不是募函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y=/是累函数，y=2*是指数函数.

2.暴函数y=K的形式特点是“累指数坐在尤的肩膀上”，往往利用待定系数法，求累指数，得到函数解析

式，进一步解题.

【变式训练】

变式L1.（2023・河北•高三学业考试）已知累函数y=/（x）的图象过点卜,2®）,则/（9）的值为（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

【分析】设幕函数为/（%）=£，代入点计算得到々=计算得到答案.

【详解】设幕函数为〃x）=x",图象过点（8,20）,故〃8）=8〃=2&，故。=g,

〃尤）=尤晨/（9）=如=3.

故选：B

变式1-2.（2023•上海黄浦・统考二模）若函数y=x"的图像经过点（2,16）与（3,m），则根的值为.

【答案】81

【分析】根据函数图象过的点求得参数。，可得函数解析式，再代入求值即得答案.

［详解】由题意函数y=x"的图像经过点（2,16）与（3,m）,

则16=2",;.a=4,则y=/

故机=34=81,

故答案为：81

题型二：基函数的图象

3—1

例2-1.（2023•全国•高三专题练习）函数〃龙”土二匚的图像大致为（）

【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.

【详解】由『（1）=0,排除A,D.当x>l时，所以〃x）>0,排除C.

故选：B.

例2-2.（2023•全国•高三对口高考）给定一组函数解析式：

3232311

①,=尤1；②,二尤3；③,=了5；@y=x3；⑤,=了2；@y—x3；⑦,=尤3.

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根据幕函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.

【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故丫=/彳满足;

图象（2）关于y轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=满足；

3

图象(3)非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=/5满足；

图象(4)关于y轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故y=j满足；

图象(5)关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故y满足；

3

图象(6)非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递减，故满足；

图象(7)非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随尤增大递增，故满足；

故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.

故选：C

x2,x>0,

例2-3.(2023•新疆阿勒泰・统考三模)已知函数则函数/(%)=1g(%)=/(r),则函数g(x)的图象大

—,x<0,

【分析】由g(x)=/(-x)可知g(x)图像与“X)的图像关于y轴对称，由/(X)的图像即可得出结果.

【详解】因为g(x)=/(-X),所以g(x)图像与“X)的图像关于y轴对称,

由“X)解析式，作出“X)的图像如图

从而可得g(x)图像为B选项.

故选：B.

3

例24（2023・陕西榆林•校考模拟预测）直线/：x+y=z与x,了轴的交点分别是A,B,/与函数、=都，

y=x"（O<m<〃）的图像的交点分别为C,。，若C,。是线段A3的三等分点，则〃-机的值为.

【答案】43

2

【分析】求出点C、。的坐标，代入相应的塞函数解析式，求出加、〃的值，即可得解.

【详解】直线/：x+y=：与x、y轴的交点分别是«°，£|，

因为C,D是线段A3的三等分点，可得c］；，£|，

且/与函数>=无'"、y=x"的图像交点分别是C、D,其中0<根<〃，

1

m=一—.3

解得2,所以,n-m--.

2

n=2

【规律方法】

函数y=/的形式的图象都过点（1,1）.它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当〃>0时，第一象限图

象是上坡递增；当。<0时，第一象限图象是下坡递减.然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即

可.

【变式训练】

【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1,1）,（8,2）,（J,J）,再判断函数的走向，结合图形,

82

选出正确的答案.

解：函数图象上的特殊点（1,1）,故排除A,D；

由特殊点（8,2）,（—,—）,可排除C.

82

故选B.

变式2-2.（2023春•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）设，"©R,若塞函数y=廿2口角定义域为

R,且其图像关于y轴成轴对称，则机的值可以为（）

A.1B.4C.7D.10

【答案】C

【分析】根据暴函数的定义域和幕函数的奇偶性可以确定m的值.

【详解】解：由题意知/一2租+1>0二>租w1,

因为其图像关于y轴成轴对称，则〃z=7.

故选：C.

变式2-3.（2023・全国•高三专题练习）已知事函数、「4（p,«eZ且。应互质）的图象关于y轴对称，如

图所示，贝U（）

A.p,q均为奇数，且:>°

B.q为偶数，p为奇数,且“<。

q

C.q为奇数，p为偶数,且

D.乡为奇数，p为偶数，且“<0

q

【答案】D

【分析】根据函数的单调性可判断出“<。；根据函数的奇偶性及。，q互质可判断出?为偶数，q为奇数.

q

【详解】因为函数J的定义域为（-*0）U（0,+s）,且在（。，+8）上单调递减，

所以“<0,

q

因为函数的图象关于y轴对称，

yv

所以函数、，一1为偶函数，即P为偶数，

又p、q互质，所以q为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

变式2-4.（2023•宁夏银川・银川一中校考一模）函数丁=«和丫=」的图像都通过同一个点，则该点

X

坐标为.

【答案】（1,1）

【分析】根据幕函数的性质既可以求得.

【详解】根据三个函数可得定义域为：（0,+8）,则根据幕函数的性质可知这三个函数都经过点（1,1）.

故答案为：（1,1）

题型三：塞函数的性质

【典例分析】

3

例3-1.（1993•全国•高考真题）函数y=/在［-1,1］上是（）

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

【答案】A

3

考查幕函数>=必.

：（>（）,根据幕函数的图象与性质

可得在［-1,1］上的单调增函数，是奇函数.

故选A.

点睛：对于形如丫=「的幕函数，研究函数性质时，可以将函数化简为y=0T，可知定义域及函数奇偶性，

塞函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.

例32（2007・山东・高考真题）设ae卜则使函数y=x"的定义域为R且为奇函数的所有。值为

（）

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

【答案】A

【详解】a=-l,a=；时，函数定义域不是R,不合题意；

a=l,a=3时，函数y=x"的定义域为R且为奇函数，合题意，

故选A.

例3-3.（2023•浙江•高三专题练习）已知。=1.产,6=1.213,。=1.3口，则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中间值1.212比较〃力的大小，再让b,C与中间值13比较，判断瓦。的大小，即可得解.

【详解】a=l,l12<1,212<1,213=Z;,又因为通过计算知L2—1H,所以。毅片<。^广，即1.2"<1.3。9,

又1.2°」<1.3%所以I2。v1.31<L3ii=c,所以

故选：B

1

例3-4.（2023•江苏淮安・江苏省旺胎中学校考模拟预测）己知塞函数/（无）=\了，若-2a）,

则a的取值范围是.

【答案】（3,4）

【分析】根据题意得到幕函数/（x）的定义域和单调性，得到不等式〃。-1）<〃8-2a）的等价不等式组，

即可求解.

【详解】由塞函数〃x）=1可得函数“X）的定义域为（0,+/）,且是递减函数,

赤

。—1〉8—2〃

因为〃“一1)<〃8—2a),可得<。一1>0,解得3<°<4,

8—2a>0

即实数。的取值范围为（3,4）.

故答案为：（3,4）.

【方法技巧】

L在比较幕值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不

同次数的基函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较累函数值与中间值的大小进行判断.准确掌握

各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

2.指数函数的图象在第一象限内底大图高（逆时针方向底数依次变大）.当幕的底数不确定时，要注意讨论

底数的不同取值情况.

【变式训练】

变式3-1.（2020・全国•高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（）.

A./（x）=-xB.尤）=0C./（x）=x2D.f（x）=y[x

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.

【详解】A：一次函数的性质知/（力=-了在R上是减函数，不合题意.

B：/（力定义域为区且〃-幻=|£|=（|）^±/（x）,为非奇非偶且是减函数，不合题意；

C：/（无）定义域为R且/（T）=（-X）2=X2=/（X）,为偶函数且在R上不单调，不合题意.

D：”力定义域为R且/（一招=。=-也=-/（犬），为奇函数且在R上是增函数，符合题意.

故选：D.

变式3-2.（2023・四川成都.石室中学校考模拟预测）塞函数=（川-3m-3）/在区间（0,+动上单调递

减，则下列说法正确的是（）

A.m=4B./（x）是减函数

C.”尤）是奇函数D.〃尤）是偶函数

【答案】C

【分析】根据幕函数的定义及单调性可判断AB,再由奇函数的定义判断CD.

【详解】函数/'（》）=（*-3相-3）/为幕函数，贝“加一3m一3=1,解得山=4或〃7=-1.

当777=4时，〃X）=f在区间（0,+8）上单调递增，不满足条件，排除A;

当机=-1时，〃力=/在区间（。,+8）上单调递减，满足题意.

函数/（%）="在（-8,0）和（0,+8）上单调递减，但不是减函数，排除B;

因为函数定义域关于原点对称，且/（-x）='=-/（x），

—X

所以函数/（X）是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.

故选：C.

变式3-3.【多选题】（2023•江苏•校联考模拟预测）若函数〃x）=x）且改＜々，则（）

A.-/（%,））＞0B.%-/（不）＞%—/伍）

C./（xl）-x2＜/（x2）-x1D.

【答案】AC

【分析】利用幕函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.

【详解】由塞函数的性质知，/（x）=/在R上单调递增.

因为无1＜%,所以/（占）＜/（尤2），即无一14＜。，占）一/（%）＜。，

所以（石_/）（/（3）一/（巧））＞0.故A正确；

令国=0,%=1,则。一/（0）=1-/（1）=（）,故B错误；

_1

令g（x）=/（x）+X=X^+X'则

1

由函数单调性的性质知，〃x）=Q在R上单调递增，y=x在R上单调递增，

1

所以y=/（x）+x=x3+x在R上单调递增，

因为西＜尤2，所以g（xJ＜g（X2），即/（芯）+占＜/（当）+”2，于是有了（不）一马＜/（尤2）-菁，故C正确;

令玉=一1,%=1,则受产=0,

所以因为/⑴[”-1）=/（。）=0,故D错误.

故选：AC.

1

变式3-4.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）已知函数了（*=必，则关于r的表达式

/（r-2z）+/（2r-l）<0的解集为.

【答案】■，”

【分析】利用幕函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】由题意可知，“X）的定义域为

11

所以/（-%）=（-%a=-户=-/（%），

所以函数〃力是奇函数，

由塞函数的性质知，函数〃尤）=/在函数（-w,+w）上单调递增，

由/（z2-2z）+/（2r-l）<o,得/（/_2）<-f（2t2-l）,即f（t2-2t）</（1-2/2）,

所以产一2/<1—2/，即3产-2-1<0,解得

所以关于f的表达式的解集为

故答案为：D

题型四：塞函数综合问题

【典例分析】

例4-1.（2023•山东聊城・统考三模）设。=0.2°-5,6=0.5.2,。=1。8°.502则（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

[分析]根据指对累函数的单调性以及中间值进行比较即可.

【详解】由y=0.2”单调递减可知:0.2°5<0.2°-2,

由〉=尤0-2单调递增可知：0.2。2<0.5%所以0.20-5<0.5。2,即。<6,且匕<1.

由y=logo,5X单调递减可知：c=log050.2>log050.5=1,所以c>A>a.

故选：D

例42（2023・安徽滁州•校考模拟预测）函数〃彳）=/2与g（x）=g）r在（0,+时均单调递减的一个充分不

必要条件是（）

A.[£（0,2）B.«e[0,l）C.«e[l,2)D.4£(1,2]

【答案】C

【分析】分别求出函数/（x）=y与g（x）=?）在（。,+8）均单调递减时，。的取值区间结合选项可得答案.

【详解】函数/（%）=无心在（0,+8）均单调递减可得。-2<0即。<2；

函数g（x）=g[=\）在（0,+8）均单调递减可得0<51,解得0<°<4,

若函数/（外=/一2与g（x）=（£|均单调递减，可得0<a<2,

由题可得所求区间真包含于（0,2）,

结合选项，函数/（无）=/-2与g（x）=（，）均单调递减的一个充分不必要条件是C

故选：C

例4-3.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a,a）,P是函数>=工（尤>0）图象上一动

X

点.若点P,A之间的最短距离为2夜，则满足条件的实数。的所有值为.

【答案】一1或JIU

【解析】

设点（%>0）,则

X

令g（f）=产-2at+2矿-2=（f-a）+ci—2

（1）当。22时，/=a时g（/）取得最小值8（。）=。2-2,7$一2=2抗,解得a=M

⑵当a<2时，g⑺在区间[2,+。。）上单调递增，所以当/=2时，g⑺取得最小值g（2）=2片—4a+2

.,.J2a2—4a+2=2&，解得a=-l

综上可知：。=-1或4=9

所以答案应填：-1或J而.

例44（2023・高三课时练习）已知暴函数〃尤）=/H-3（机为正整数）的图像关于y轴对称，且在（0,+8）

上是严格减函数，求满足（4+l）号>（3_2a）中的实数a的取值范围.

【答案】=，!>值'+』

【分析】根据函数为幕函数以及函数的性质，可确定参数机的取值，结合幕函数y的单调性，分类讨

论求解不等式，可得答案.

【详解】因为函数/（尤）在（o,+8）上是严格减函数，所以m-3<0,解得-1<祖<3.

由m为正整数，则〃2=1或〃?=2,

又函数/（尤）的图像关于y轴对称，得是偶函数，

而当机=2时，22-2x2-3=-3,/（司=丁为奇函数，不符题意，

当〃?=1时，F-2xl-3=T,为偶函数，于是m=1.

因为y=为奇函数，在（-8,0）与（0,+8）上均为严格减函数，

11

所以+>（3-2〃户等价于a+1v3—2aV。或3-2〃>a+l>0或a+l>0>3-2a,

解得一1<"|•或a〉,，Epae^-l,|juQ,+coy

【变式训练】

变式4-1.（2023・广东佛山•校联考模拟预测）设a=log°.32,b=辰,c=0.2^3,则（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【分析】分别由指数、对数、幕函数的性质可得。<0,0<6<1,ol,即可得出答案.

05

【详解】由题知，a=log032<log031=0,0<b=703=O.3<0.3°=1,

1=0.2°<c=0.2^-3,所以。<b<c.

故选：A.

变式42(2023・陕西•西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知函数/(彳卜产，g(x)=xj其中

闫0,同，0<&<1,/>1,若点“打出,叫"削,叫遭削，0*削满足|网=|/

贝I()

A.4"-42=2"+'B.4a+42=2"+产

C.2a_2尸=2"尸D.2a+2尸=2&+尸

【答案】D

【分析】由|"P|=|NQ|且横坐标对应相等，知纵坐标差的绝对值对应相等，化简即得.

【详解】因为同=M，且ow”1,故：9曰.故：+1=1,

则2a+2夕=2"".

故选：D.

变式4-3.(2023・高三课时练习)已知夕“-2,-1,-：,0，(1,1,2],若函数"力=^满足：当xe(—l,0)U(0,l)

时，/(x)>W恒成立，则a的取值为.(写出满足条件的所有取值)

【答案】—2、-22、0或彳2

【分析】根据幕函数的性质，结合题意，根据函数值的正负情况，一一判断a的取值是否符合题意，可得

答案.

【详解】因为x«-l,0)U(0,l),所以0<|无|<1,

要使〃x)>W则〃尤)=x"在区间(T0)U(0,l)上应大于0,

所以a=-1,g,1时〃x)=X。在区间(-1,0)U(0,l)可取到负值，不合题意；

当e=O时，/(x)=x°=l,在区间(T0)U(0,l)上恒有/(x)>|尤|成立，符合题意;

当a=2时,f(x)=x2,当xe(-1,0)时，x2+x=x(x+1)<0,x2<-x,

当xe(0,1)时，x2—x=x(x-1)<0,.'.x2<x,

即在区间(-l,0)U(0,l)上有<k|成立，不合题意；

当a=-2时，/(x)=x-2,当xe(-l,0)时，y=-+x为递增函数，x-2+x>(-1)-2-1=0,贝!!彳>-x;

当xe(O,l)时，丫=彳以一%为递减函数，x-2-x>(I)-2-1=0,贝1］彳-2>%，

故在区间(T0)U(0,1)上有〃x)>W恒成立，符合题意；

22IYIL

当。=—公时,/(%)=%),由"、=1XP，及。<国<1，

Irl-

知y=i无/<1,了⑶>|无胆成立,符合题意；

/(尤)

O2II1

当"=§时，/(%)=#，由篇r=1吓及0<N|<l，

知y=i尤|3<1,.-/(X)>ix।恒成立,符合题意，

/(尤)

综上所述，a的取值为-2、-2.、0或25，

J。

22

故答案为：-2、-->。或Q

变式44(2020秋.江西上饶•高三校考阶段练习)已知幕函数"%)=(疗-5根+7)产।为偶函数.

⑴求“X)的解析式；

(2)若g(x)=〃x)-冰-3在［1,3］上不是单调函数，求实数。的取值范围.

【答案】(1)/(尤)=/

(2)2<a<6

【分析】(1)根据基函数的定义和函数的奇偶性求出加的值，求出函数的解析式即可；

(2)求出函数g(x)的对称轴，根据函数的单调性求出。的范围即可.

【详解】(1)由题意m2-5/71+7=1.

解得：帆=2或3,

若f。)是偶函数，则加=3,

故/(X)=%2;

(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,

g(x)的对称轴是X=p

若g(x)在［1,3］上不是单调函数，

则1<晟<3,解得：2<a<6.

所以实数。的取值范围为2<a<6.

一、单选题

1.（2023・辽宁•校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间（-8,0）单调递增的为（）

A.y-x'2B.y=|x]C.y=2忖D.y=x3

【答案】A

【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.

【详解】解：y=V为奇函数，y=|x|,八州为偶函数,

但在（0,+8）单调递增，所以在（-8,0）单调递减,

而y=x"为偶函数且在（-0。）单调递增.

故选:A

2.（2023•全国•高三专题练习）函数元）=桐的图象大致为（）

【分析】利用函数的奇偶性及塞函数的性质进行排除可得答案.

【详解】因为〃-力=屈=/。），所以为偶函数，排除A,B选项；

易知当尤＞0时，/（*）=石为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.

故选：C.

3.（2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若暴函数/（x）=（疗-2加-21'在区间

（0,+8）上单调递增，则加=（）

A.-1B.3C.一1或3D.1或-3

【答案】A

【分析】根据幕函数的概念和单调性可求出结果.

【详解】因为函数=加-2b""""I为嘉函数，且在区间（0,+“）上单调递增，

所以机2-2加一2=1且^—4m+1>0,

由"一2m-3=0,得根=-1或机=3,

当加=-1