人教版高中数学选择性必修第二册 数列 章末测试卷A（含答案）

第四章数列章末测试卷（A）【原卷版】

［时间：120分钟满分：150分］

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.等差数列｛©,｝：f，0,小，…的第15项为（）

A.11^2B.12^2

C.13^2D.14/

2.公比为2的等比数列｛诙｝的各项都是正数，且。361=16,则/=（）

A.1B.2

C.4D.8

3.等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，若52=2,S4=10,则羽=()

A.12B.18

C.24D.42

4.若等差数列｛。“｝满足且03+04+45+06=8,则a2a7的最大值为（）

A.4B.6

C.8D.10

5.《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问

题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，

下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第

8节竹子的容积之和为（）

a-¥升7

B.2升

啮升c109中

D后升

6.已知等比数列｛.”｝的前n项和为S”若S2n=4（ai+a3H---卜。2nT）‘的♦口•俏=27,则

。6=（）

A.27B.81

C.243D.729

7.数列｛斯｝中,01=1,对所有“22,都有的“2俏…斯=〃2,则的+。5=（）

•61

A16B-V

C空

c16D-15

8.小李年初向银行贷款加万元用于购房，购房贷款的年利率为p,按复利计算，并从借款

后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还（）

A.■万元Mp(1+p)i°

B.,万元

(1+p)10-l

p（1+p）J_Mp（1+p）;_

C-10万兀C（1+p）9_［万兀

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.下列命题不正确的是（）

A.若数列｛诙｝的前w项和为S"=/+2〃―1,则数列｛诙｝是等差数列

B.若等差数列｛斯｝的公差d>0,则｛诙｝是递增数列

C.常数列｛期｝既是等差数列，又是等比数列

D.若等比数列｛斯｝是递增数列，则｛斯｝的公比q<l

10.将等差数列｛%｝的前〃项和记为S”若0>0,S1O=S2O，贝女）

A.d<0

B.«i6<0

C.S.WS15

D.当且仅当〃》32时，S„<0

11.设数列｛。〃｝的前〃项和为已知a=2%—1,则下列结论正确的是（）

A.S2=2

B.数列｛以｝为等比数列

C.斯=2〃

D.若g------\------,则数列｛父｝的前10项和为当

10g2〃〃+110g2斯+211

12.设工是数列｛念｝的前〃项和，且〃1=—1,an+i=SnSn+^贝1J（）

A.(In一_1

-1,n=l,

B.an=\11、

---r-,n22,

[〃-1n

c.数列强为等差数列

Lx.0।O'1ct5050

31023100

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.已知数列｛斯｝为等比数列，若〃1+的=5,〃2+。4=10，则公比q=.

14.（2019•江苏）已知数列｛〃〃｝（〃£N*）是等差数列，是其前〃项和.若〃2。5+〃8=0,园=27,

则S8的值是.

15.已知数列｛跖｝,若点（〃，a“）（〃GN*）在直线y—3=灰无一6）上，则数列｛斯｝的前11项和S”

16.已知数列｛斯｝满足勿=33,斯+i一斯=2小则岸的最小值为.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（10分）在等比数列｛%｝中，已知的=2,04=16.

（1）求数列｛厮｝的通项公式；

（2）若。3,恁分别为等差数列｛儿｝的第3项和第5项，试求数列｛儿｝的通项公式及前〃项和

Sn.

18.（12分）在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每

隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树

工人共走了多少路程？

19.（12分）已知｛诙｝是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn,满足内=12,.是

否存在正整数左，使得&>2020?若存在，求左的最小值；若不存在，说明理由.

从①4=2；②q=；；③q=一2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

20.（12分）设正项等比数列｛诙｝的首项前w项和为S,，且2i°S30—（2i°+l）S2o+Sio=

0.

（1）求｛诙｝的通项公式；

⑵求｛“SJ的前”项和Tn.

21.（12分）已知数列｛诙｝的首项ai=|,且3斯+i=a〃+2,"GN*.

（1）求证：数歹也斯一1｝为等比数列；

（2）若2H-----^斯<100,求最大的正整数n.

22.（12分）由整数构成的等差数列｛诙｝满足〃3=5,41〃2=2。4.

（1）求数列｛念｝的通项公式；

⑵若数列｛勿｝的通项公式为幻=2〃，将数列｛斯｝，｛为｝的所有项按照“当〃为奇数时，仇放

在前面；当〃为偶数时，〃〃放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛品｝:bi，

a\,。2,bi,b3,俏，〃4,匕4,…,求数列｛金｝的前4〃+3项和A〃+3.

第四章数列章末测试卷(A)【解析版】

[时间：120分钟满分：150分]

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.等差数列｛斯｝:一叵0,嫄，…的第15项为()

A.11^2B.12^2

C.13^2D.14也

答案C

解析；ai=一也,d=y[2,

==

an-y[2~\-(n—l)y.y[2y[2n—2^/2.

.•.4/15=15^2-2^2=13^2.

2.公比为2的等比数列｛斯｝的各项都是正数，且的411=16,则45=()

A.1B.2

C.4D.8

答案A

解析因为。3ali=曲2=16,又数列｛劣｝的各项都是正数，所以解得。7=4,由47=45•2?=

4〃5,得“5=1.故选A.

3.等差数列｛斯｝的前〃项和为当,若S=2,54=10,则孔=()

A.12B.18

C.24D.42

答案C

12oi+d=2,13

解析方法一：设数列｛斯｝的公差为d,由题意得,一解得。尸.则S6=

[4〃i+6d=10,42

6〃i+15d=24.

方法二：$2,SLS?,S6—S4也成等差数列，则2(S4—32)=86—84+82,所以S6=3S4—3512=

24.故选C.

4.若等差数列｛斯｝满足斯＞0,且+04+05+%=8,则〃2〃7的最大值为()

A.4B.6

C.8D.10

答案A

解析已知等差数列｛〃〃｝满足斯＞0,且〃3+44+45+46=2(02+07)=8,所以。2+〃7=4.

又因为由+a7227a2a7,所以“247^4,当且仅当〃2=。7=2时，等号成立.故选A.

5.《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问

题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，

下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第

8节竹子的容积之和为()

177

A.不升B.1升

C•茄升升

答案A

々2+03+04=3,

解析设自上而下各节竹子的容积依次为〃2,…，。9,依题意有,,因

十〃8十。9=4,

、、3417、

为〃2+。3=〃1+。4,。7+。9=2。8,所以。2+〃3+〃8=]+^=石".故选人.

6.6知等比数列｛斯｝的前n项和为Sn,若S2〃=4(〃I+。3T-----卜。2〃T)，s•口•的=27,则

。6=()

A.27B.81

C.243D.729

答案C

解析:•数列｛斯｝为等比数列，.•・〃1。2。3=〃23=27,.・.。2=3.

又・S2=4〃I,・・。1+。2=4。1,・・3。1=。2,=

即公比4=3,首项〃1=1,

ae=ai•夕6-1=1X35=35=243.故选C.

7.数列｛斯｝中,ai=l,对所有九22,都有…斯=/，则〃3+。5=()

61「25

AA-16BT

C竺D卫

J6u，15

答案A

刀n29

解析…斯=〃2,则…%-1="23,•二斯=(〃_])2,，力二不

25.61,,、生

“5=讳，・.〃3+。5=布.故选A.

8.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p,按复利计算，并从借款

后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()

、Mp_„Mp(1+p)10^

A.记万兀B.(]+p)io_]万兀

p（1+p）1°__Mp（1+p）;_

C-10万兀D.（］+p）9—i万兀

答案B

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分）

9.下列命题不正确的是（）

A.若数列｛诙｝的前w项和为S“=/+2〃―1,则数列｛诙｝是等差数列

B.若等差数列｛斯｝的公差d>0,则｛诙｝是递增数列

C.常数列｛诙｝既是等差数列，又是等比数列

D.若等比数列｛斯｝是递增数列，则｛④｝的公比q<l

答案ACD

解析对于A,等差数列｛斯｝的前几项和a=4〃2+8小故错误；对于B,若内0,则引+1>斯，

故正确；对于C,当诙=0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D,若等比数列｛斯｝

是递增数列，则当0>0时，q>l,故错误.故选ACD.

10.将等差数列｛以｝的前〃项和记为S”若。1>0,S1O=S2O，贝1（）

A.d<0

B.。16<0

C.S〃WSi5

D.当且仅当〃232时，Sn<0

答案ABC

解析由题意得，Sio=S2o,则au-\-an~\----H〃2o=O,即〃i5+"i6=0,也即2〃i+29d=0（d

为公差），因为的>0,所以d<0,所以。i6<0,&WS15.所以A、B、C正确.由于512〃=〃（斯+

斯+1）,&n-l=（2n—l）«n,故S30=15（〃15+〃16）=0,S31=31«16<0,所以D不正确.

11.设数列｛为｝的前几项和为S〃，已知&=2斯一1,则下列结论正确的是（）

A.S2=2

B.数列｛“〃｝为等比数列

n

C.an=2

D.若b”=;-------------,则数列｛b｝的前10项和为当

10g2斯+110g2斯+211

答案BD

解析因为工=2为一1,①

所以当〃=1时，。1=51=2的一1,得〃1=1；

当时，S〃T=2念-1—1,②

=

①②两式相减得an2an~2an-if

a

所以，n=2(G2),

a八一i

所以数列｛斯｝是以«i=l为首项，q=2为公比的等比数歹I.

所以a“=aig"-i=lX2"-i=2"-i,。2=2,

所以必=3,所以A、C错误，B正确；

因为log2a,i+ilog2a„+2〃(〃+1)n〃+]'

设乙为｛儿｝的前〃项和，则Tio=0—0+(1—3)"^故D正确.故选BD.

12.设工是数列｛诙｝的前几项和，且的=-1,an+i=SnSn+i,贝U（）

_1

A.斯一_2«-1

—1,〃=1,

B.言V，心2,〃GN*

数列强为等差数列

C.

5050

答案BCD

解析由S,是数列｛斯｝的前〃项和，且。i=-1,a"+i=SS+i,

得S,+i—S"=S〃S”+i,又ai=-1,，Si=ai=-4,从而出一Si=SiS2,即S?+l=—S,得

S2=一；.S1S2WO,从而S”S“+1¥O,s〃=i,整理得?——9=—1（常数），所以数

列［5,是以上=—i为首项，―1为公差的等差数列，故C正确;

所以8=T—d)=f所以1(1+2+3+…+1。0)=—5050,故D

正确；由==—"得&=-5所以当时，斯=%—出—尸言—首项不符合此式），故

—1,n=l,

斯=111j、遥故B正确，A错误.故选BCD.

［二厂］G2,,

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

13.已知数列｛〃〃｝为等比数列，若〃1+俏=5,42+。4=10，则公比9=.

答案2

解析因为数列｛斯｝为等比数列，且。1+。3=5,42+。4=10,所以由等比数列的通项公式可

得。2+〃4=（。1+〃3）q,即10=5q,・・q=2.

14.（2019•江苏）已知数列｛斯｝（〃£N*）是等差数列，S〃是其前〃项和.若〃2〃5+〃8=0,S9=27,

则S8的值是.

答案16

解析方法一：设等差数列｛。八｝的公差为d,则〃2。5+〃8=(。1+⑨(〃1+46/)+〃1+7"=〃12+4法

+5〃M+QI+7d=0,59=941+361=27,将以上两式联立，解得。i=—5,d=2,则S8=8〃I

+28d=—40+56=16.

方法二：设等差数列｛斯｝的公差为d.由S9=^2—~—=9(15=27,得。5=3,又。2。5+〃8=

0,贝|3(3—3<i)+3+3d=0,得d=2,a^—1,贝ISs=~=4(〃4+〃5)=4X(l+3)=

16.

15.已知数列｛斯｝,若点(九，Q“)(〃£N*)在直线y—3=4]—6)上，则数列｛斯｝的前11项和Su

答案33

解析,••点(〃，念)在直线y—3=k(x—6)上，an=3-\-k(n—6).

.•・〃〃+〃12-〃=[3+%(h-6)]+[3+女(6—〃)]=6,n—1,2,3,…，6,

Su=〃i+〃2+…=5(〃1+〃11)+。6=5X6+3=33.

16.已知数列｛诙｝满足勿=33,。“+1—斯=2小则岸的最小值为.

答案f21

解析在诙+1—中，令〃=1,得〃2—。1=2；令〃=2,得俏一42=4,an~an-\

=2(〃—1).

把上面n~1个式子相加，得斯-QI=2+4+6H---卜2("―1)=(2+2〃__?_9!_12-=/

—〃，・••斯=/—〃+33.，也—'+3'=。+卫一122^/5§-1,当且仅当〃=卫，即〃=^55

时取等号，而〃£N*,"取不到.*.,5<^33<6,「・当〃=5时，牛=5—1+苧=?，

业(R。〃么1_i_336321..5321.斯协曰爪估曰21

当九=6时，丁=6—I+W=W=E，,行">5~，・・]■的取小值是爹.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分)在等比数列｛斯｝中，已知。1=2,4/4=16.

(1)求数列｛念｝的通项公式；

(2)若。3,。5分别为等差数列｛瓦｝的第3项和第5项，试求数列｛为｝的通项公式及前〃项和

Sn.

解析(1)设数列｛〃〃｝的公比为必由已知得16=27,

解得9=2,所以诙=2*2『1=2〃，几£N*.

(2)由(1)得的=8,。5=32,

则%=8,65=32.

设数列｛为｝的公差为义

加+2d=8,

则有,

61+44=32,

|Z?i=-16,

解得]d=12,

所以6"=-16+12(〃-1)=12"—28,“GN*.

所以数列｛d｝的前〃项和

n(-16+12M-28)

Sn=Q—6n2—22n,wGN*.

18.(12分)在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每

隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树

工人共走了多少路程？

解析植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0,20,40,

60,…，380,

这是首项ai=0,公差d=20,项数〃=20的等差数列，其和S2o=2Oai+”上粤二

,20X(20-1)

0+---------z--------X20=3800(m).

因此，植树工人共走了3800m的路程.

19.(12分)已知｛Z｝是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn,满足的=12,.是

否存在正整数匕使得&>2020?若存在，求上的最小值；若不存在，说明理由.

从①q=2；②③q=—2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分.解析若选①,

因为B=12,4=2,所以ai=3.

”,3(1-2")

所以S“=———=3(2"—1).

1—2

SP2020,即3(2人-1)>2020,即2*>2詈.

当上=9时，29=512<£2y023^,当％=10时，21°=1024>匕20=23」,

所以存在正整数鼠使得品>2020,%的最小值为10.

若选②，

因为俏=12,所以四=48.

因为S„<96<2020,

所以不存在满足条件的正整数发.

若选③，

因为的=12,q——2,所以的=3.

匕“，3X[1-(-2)”]

所以Sn=一；_(_。)_i=l-(-2)".

&>2020,即1一(一2)冬2020,整理得(-2)%-2019.

当女为偶数时，原不等式无解；

当人为奇数时，原不等式等价于2%2019,

当％=9时，29=512<2019,当笈=9时,2n=2048>2019,

所以存在正整数左，使得S*>2020,上的最小值为11.

20.(12分)设正项等比数列｛斯｝的首项3=当前w项和为S”且21%—(2i°+l)S2o+Sio

0.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求｛“SJ的前”项和T„.

1O1O

解析(1)设数列｛©,｝的公比为/由2S3O-(2+1)S2O+SIO=O,得2i°(S3o—S2o)=S2o—SIO.

VSio,S20—Sio,S30—S20成等比数列，

.包二包=小=田

**520—S10①.

•。八>0,・・夕=],・・〃〃=4iq"1=2〃(九tN*).

⑵：｛诙｝是首项为=/公比q=3的等比数列，

••Sn一]一1--2〃'TI2〃.

1-2

则数列｛“S"｝的前“项和为

G=(1+2H------^青,①

则与=/l+2HM—修+养J+消7)，②

①一②，得

y=1(l+