2023-2024学年北师大版九年级数学上册期末复习：期末压轴题分类1（必刷60题15种题型专项训练）解析版

期末压轴专题分类01(必刷60题15种题型专项训练)

一.解一元二次方程-因式分解法(共1小题)

1.对于实数a,b,定义运算“*”：a"ab(a>b).例如4*2,因为4>2,所以4*2=4?-4X2

、ab-b2(a<b).

=8.若xi,X2是一元二次方程/-5x+6=0的两个根，则xi*x2=3或-3.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：；xi,%2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，

(x-3)(x-2)=0,

解得：x=3或2,

①当xi=3,尤2=2时，XI*X2=32-3X2=3；

②当xi=2,X2=3时，XI*X2=3X2-32=-3.

故答案为：3或-3.

二.根与系数的关系(共1小题)

2.设a,B是方程d+gx+ln。的两根，则(a2+2009a+l)(p2+2009p+l)的值是()

A.0B.1C.2000D.4000000

【答案】D

【解答】解：：a,0是方程？+9x+l=0的两个实数根，

；.a+B=-9,a・0=l.

(a2+2009a+l)(伊+20090+1)

=(a2+9a+l+2000a)(p2+9p+1+2000p)

又0是方程/+9x+l=0的两个实数根，

a2+9a+1=0,p2+9p+l=0.

(a2+9a+l+2000a)(p2+9p+1+2000p)

=2000a-2000p

=2000X2000a。，

而a邛=1,

(a2+9a+l+2000a)(p2+9p+1+2000p)=4000000.

故选：D.

三.一元二次方程的应用(共3小题)

3.如图，A、B、C、。为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、。分别从点A、C同时出发,

点P以3cmk的速度向点B移动，一直到达B为止，点。以2cm/s的速度向D移动.

（1）尸、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33c«?；

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点尸和点。的距离是10C7W.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设P、。两点从出发开始到x秒时四边形PBC。的面积为33C77?,

则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,

根据梯形的面积公式得工（16-3x+2x）X6=33,

2

解之得x=5,

（2）设P,。两点从出发经过f秒时，点尸，。间的距离是10cm,

作垂足为E,

则。E=A£>=6,PQ^10,

\'PA=3t,CQ=BE=2t,

：.PE=AB-AP-BE=\16-5?|,

由勾股定理,得（16-5/）2+62=102,

解得〃=4.8,Z2=1.6.

答：（1）尸、。两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cHi2；

（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点。的距离是10a”.

B

2

4.阅读下列材料：求函数y二,X+2x-的最大值.

x2+x+0.25

解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y-3)x2+(y-2)x4y二&

为实数，・•・△=(y-2)2-4(y-3)x]y=7+420，因此，y的最大值为4.

2

根据材料给你的启示，求函数y=3：+x+2的最小值.

X2+2X+1

【答案】见试题解答内容

【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y-3)?+(2y-l)x+y-2=0,

为实数，

(2y-1)2-4(y-3)(y-2)=16y-23N0,

16

因此y的最小值为23.

16

5.某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商

场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设每张贺年卡应降价尤元，现在的利润是(0.3-x)元，则商城多售出100x+01=100Qx张.

(0.3-%)(500+1000%)=120,

解得处=-0.3(降价不能为负数，不合题意，舍去)，%2=0.1.

答：每张贺年卡应降价0」元.

四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)

6.如图，两个反比例函数y=2和y=」在第一象限的图象如图所示，当P在y=2的图象上，PCJ_x轴于

XXX

点C,交＞=上的图象于点A,PDLy轴于点。，交的图象于点3,则四边形P4O2的面积为1.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由于P点在y=2上，则SOPCOD=2,A、8两点在>=工上,

XX

贝1sADBO=SAACO=工X1=.

22

•*.S四边形R4OB=S口PC。。-S&DBO-S^ACO=1---A=l.

22

四边形PAOB的面积为1.

故答案为：1.

五.反比例函数图象上点的坐标特征(共3小题)

7.如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=K在第一象限内的图象与

△ABC有交点，则上的取值范围是(

C.2WkW6D.2WZ至

2

【答案】A

【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A,

.过点A(1,2)的反比例函数解析式为y=2,

.•.栏2.

随着々值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意,

经过2(2,5),C(6,1)的直线解析式为丫=-x+1,

y=-x+7

<k，得7-7x+左=0

y=—

X

根据△》（），得kW尊

4

综上可知2WAW尊.

4

故选：A.

8.如图，点Ai,上依次在y=9叵（x>0）的图象上，点81,均依次在x轴的正半轴上.若△4081,△

X

A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为—（6心0）.

【解答】解：作4CLOB1,垂足为C,

•.•△4081为等边三角形，

Z.ZAiOBi=60°,

A.C/-

/.tan60°=—--=73,

0C

•,.A1C=«OC,

设4的坐标为(m,

•..点4在y=9巨(尤＞0)的图象上，

X

Am*A/3IT=9A/3»解得根=3,

・•・OC=3,

.•.031=6,

作A2O_LS52,垂足为D

设B\D=a,

则OD=6+mA2D={Qa,

.*.A2(6+〃,

VA2(6+mMa)在反比例函数的图象上,

代入产生巨，得（6+。）・«。=9«,

X

化简得cr+6a-9=0

解得：a=-3+3V2.

'：a>Q,

.'.a--3+3

.".B1B2=-6+6A/2>

.,.OB2=OBI+BIB2=6A/^,

所以点22的坐标为（6加,0）.

9.如图，若双曲线>=区（％>0）与边长为3的等边△A08（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过点C作CELx轴于点E,过点。作。轴于点尸,

设OC=2x,则2£>=尤，

在RtZXOCE中，ZC0£=60°,

则0£=尤，CE=V3X,

则点C坐标为（x,

在RtZkBOF中，BD=x,ZDBF=60°,

则BF=L,DF=^-X,

22

则点。的坐标为（3-lx,叵），

22

将点c的坐标代入反比例函数解析式可得：k=aw,

将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：上=旦返x-返丁,

24

则百/=主应X-近?，

24

解得：x\——,无2=0（舍去），

5

故k=Ma=36愿.

25

故答案为：毁巨.

六.反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

10.如图，动点P在函数y」（x〉o）的图象上运动，轴于M,PNLy轴于N,线段PM、PN分

2x

别与直线AB：y=-x+l交于点E、F,则A>8E的值是（）

A.4B.2C.1D.A

2

【答案】c

【解答】解：作尸G,无轴，

的坐标为（。，」-）,且「N_LOB,PM1,OA,

2a

的坐标为（0,-M点的坐标为（a,0）,

2a

：.BN=1-工，

2a

在直角三角形BNF中，ZNBF=45

，三角形OAB是等腰直角三角形,

：.OB=OA=1,

:.NF=BN=\--L,

2a

，产点的坐标为（1-工，工）,

2a2a

同理可得出E点的坐标为（〃，1-41）,

22222

：.AF=(1-1+-L)+(上)2=_^,BE2=(a)+(-a)=2af

11.如图，反比例函数y=-的图象与直线y=L+b（b>0）交于A,8两点（点A在点5右侧），过点

x2

A作x轴的垂线，垂足为点C,连接AO,BO,图中阴影部分的面积为12,则6的值为二

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过2作8C0E于。，过A作AHLy轴于〃，设AC交。8于G,如图:

设M为A8的中点，A(xi,yi),B(12,>2),

12

y=------

X

由，得/+26x+24=0,

y得x+b

.*.xi+x2=-2b,

yi+y2=(Li+。)+(AX2+Z?)=」(xi+x2)+2b=b,

222

AM(-b,A),

2

而直线y=_Lx+b(6>0)交于坐标轴于E、F,

2

；.E(-2b,0),F(0,b),

的中点为(-6,2)，即EF的中点也为M,

2

：.EM=FM,BM=AM,

：.EB=FA,

又NFAH=/BED,ZAHF=ZEDB,

.♦.△EDB四△AHF(AAS),

：.AH=ED=OC,

,**(SAAGO+SAGCO)+(S^GCO+S四边形GCDB)=上因+上因=12,

22

且图中阴影部分的面积为12,

:・SABDE=2SAGCO

・・・_LED・BD=2X」oc・GC,

22

:・BD=2GC,

：.OD=2OC,即X2=2XI

设xi=m,贝IjX2=2m,

/.A(m,--A?.),B(2m,-A),

mm

将A(m,-卫•)，B(2m,-A)代入y=1+。得:

mm2

[121

——=ym+bv

4，解得根=2/§(舍去)或加=-2J§,

6,

—=m+b

m

：.b=-lx(-2A/3)=3«,

-2V32

故答案为：3y.

12.如图，A(-4,A),8(-1,2)是一次函数yi=Qx+/?与反比例函数”=旦图象的两个交点，AC±x

2x

轴于点C,轴于点。.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，yi-”>0?

(2)求一次函数解析式及根的值；

(3)P是线段AB上一点，连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)当yi-*>0,

即：yi>y2,

...一次函数yi=tu+b的图象在反比例函数”=旦图象的上面,

x

VA(-4,A),B(-1,2)

2

当-4VxV-1时，yi-y2>0；

(2)・・》2=典图象过3(-1,2),

x

：.m=-1X2=-2,

•.,yi=ox+b过A(-4,A),8(-1,2),

2

,]fa」

・•.「4a+b=5,解得J?

-a+b=2b=^"

，一次函数解析式为；y=L+互，

22

（3）设尸（M7,L〃+S）,过产作PALLx轴于Af,PN_Ly轴于N,

22

：.PM=l.m+^-,PN=-m,

22

'：APCA和△PDB面积相等，

即;yXy（m+4）=yxix（2^-m-y）,

乙乙乙乙乙

解得m=-立，

2

：.p（-5,5）.

24

七.反比例函数综合题（共8小题）

13.如图，点A是反比例函数y=」_在第二象限内图象上一点，点2是反比例函数y.在第一象限内图象

XX

上一点，直线A8与y轴交于点C,且AC=8C,连接OA、OB,则AAOB的面积是（）

--------------------------?

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】C

一

【解答】解：分别过A、3两点作轴，3ER轴，垂足为。、E

VAC=CB,

：・OD=OE,

设A（-〃，—则B（〃，A）,

aa

故SMOB=S梯形AOEB-S^AOD-SABOE=—（—+A）X2a--aX---aX9=3.

2aa2a2a

解法二：过A,8两点作y轴的垂线，由AC=3C求两个三角形全等，再求面积，

故选：C.

14.如图，梯形A08C中，对角线交于点E,双曲线（E>0）经过A、E两点，若AC：08=1：3,梯

形A08C面积为24,贝！H=()

:・CE：EO=1：3,AE：EB=1：3,

设△ACE的面积为S,则可得出△80E的面积为95,△AOE的面积为3S,△(?防的面积为3S,

又•・,梯形AOBC面积为24,

・・・S+9s+3S+3S=24,

解得：s=l,

2

设△OAM的面积为a,则AOE尸的面积也为a,

故可得的面积=18-a,AEFB的面积=2工-a,

2

27__

从而可得S4BEF=(理)2,即上二=_t，

^AABM研I*〜16

解得：a=^-,即SAAOM=S^OEF=^-,

77

故可得％=2X_§2=期.

77

故选：A.

15.如图，反比例函数y=K(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与A3、8c相交于点£>、

E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设M点坐标为(a,b),则左=",即>=处，

x

点M为矩形OABC对角线的交点，

AA(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),

.,••D点的横坐标为2a,E点的纵坐标为2b,

又•.•点。、点E在反比例函数y=3旦的图象上，

X

•9•D点的纵坐标为E点的横坐标为」〃，

22

,**S矩形OABC—SAOAD+SAOCE+S四边形ODBE9

/.2。•2。=工•2。•2b•Atz+6，

2222

••〃Z?=2,

：.k=2.

故答案为2.

16.如图，已知反比例函数(x<0)的图象与直线尸反叶匕将于交于A(-1,6)、3(-6,M两

x

点，直线AB交无轴于点点C是无轴正半轴上的一点，

(1)求反比例函数及直线AB的解析式；

(2)若S“BC=25,求点C的坐标；

(3)若点C的坐标为(1,0),点。为无轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点。和点

E,使得以点。、E、A、8为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请

说明理由.

y

【答案】⑴尸一2，产1+7；

x

(2)C(3,0)；

(3)存在.点E的坐标为(一生，7)或(-2,5)或(&，-5).

333

kk

【解答】解：(1)将A(-1,6)代入y=-L,得6=-1,

X-1

解得：ki=-6,

・・・反比例函数的解析式为：>=-2；

将5(-6,m)代入y=-―,

x

得m=l,

：.B(-6,1),

・・•直线丁=也什。经过A(-1,6)>B(-6,1)两点，

+

’6=-k2b

，

…l=-6k2+b

解得：『2=1,

lb=7

直线A8的解析式为：y=x+7；

(2)在y=x+7中，令y=0,得x=-7,

：.M(-7,0),

:点C是无轴正半轴上的一点，

.•.设C(尤，0)(尤>0),

：.MC=x-(-7)=x+7,

•S/^ABC~S△AMC-S&BMC=25,

：.1MC<6-1)=25,即9(x+7)=25,

22

解得：尤=3；

.,.点C的坐标为（3,0）；

（3）若点C的坐标为（1,0）,点。为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点。和点

E,使得以点。、E、A、8为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请

说明理由.

（3）存在.点E的坐标为（一生，7）或（一2,5）或（2,-5）

333

设直线AC的解析式为y=ax+c,

则件-a+c,

[0=a+c

解得：卜=-3,

1c=3

直线AC的解析式为：y=-3x+3；

设。(t,0)、E(«,-3〃+3),

又A(-1,6)、2(-6,1),

当A3、DE为平行四边形的对角线时，AB,的中点重合,

•f-l-6=t+n

16+l=-3n+3+0

f17

t=~

解得：，

4

n=T

,,E（-y.7）；

当A。、BE为平行四边形的对角线时，AD.BE的中点重合,

.（t-l=n-6

16+0=-3n+3+l

f17

t=r

解得《：

,2

.下

E（»5）；

当AE、8。为平行四边形的对角线时，AE.的中点重合,

n-l=t-6

0+l=-3n+3+6

23

t=T

解得：

嗔■

E(y，-5〉

综上所述，点E的坐标为(-鱼，7)或(-2,5)或(&，-5)-

333

17.己知：一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=K(4>0)的图象相交于A,B两点(A在2的右

x

侧).

(1)当A(4,2)时，求反比例函数的解析式及2点的坐标；

(2)在(1)的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点尸，使△丛8是以A8为直角边的直角

三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当4(a,-2A+10),B(6,-26+10)时，直线。4与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,

【解答】解：(1)把A(4,2)代入y=K,得24X2=8.

X

...反比例函数的解析式为>=&.

X

y=-2x+10

解方程组|8，得

y-

X

；.点,B的坐标为(1,8)；

(2)①若NBAP=90。，

过点A作AHLOE于X,设A尸与x轴的交点为M,如图1,

对于y=-2x+10,

当y=0时，-2x+10=0,解得尤=5,

.,.点E（5,0）,OE=5.

'：A（4,2）,：.OH=4,AH=2,

,,.HE=5-4=1.

•：AH.LOE,；.NAHM=NAHE=90°.

又,

ZAME+ZAEM=90°,ZAME+ZMAH=90°,

：.ZMAH=ZAEM,

：.XAHMsMEHA,

•AH=MH

"EHAH'

•2=MH

*'T_2-，

：.M（0,0）,

可设直线AP的解析式为y=mx

则有4机=2,解得%="1,

2

...直线AP的解析式为

2

f_1

y节x

解方程组，c，得

8

y=­x

卜=4或卜“4,

1y=21y=-2

点P的坐标为（-4,-2）.

②若N4?P=90。，

同理可得：点尸的坐标为（-16,-A）.

2

综上所述：符合条件的点尸的坐标为（-4,-2）、（-16,-1）；

2

（3）过点2作2sLy轴于S,过点C作CTUy轴于T,连接。2,如图2,

则有BS〃CT,

：.4CTDs丛BSD,

•••CD=CT•

BDBS

••-•-B-C—-，5

BD2

•CT=CD=3

BSBD2

VA(a,-2a+10),B("-26+10),

'.C(-a,2a-10),CT=a,BS=b,

.,.旦=3,BPb—^-a.

b23

「A(a,-2a+10),B<ib,-2b+10)都在反比例函数y=区的图象上,

X

：.a(-2。+10)=b(-20+10),

.,.a(-2a+10)=—«(-2X^?+10).

33

,.”0,

-2a+10=Z(-2xZa+10),

33

解得：a=3.

AA(3,4),B(2,6),C(-3,-4).

设直线BC的解析式为y=px+q,

则有欠+口=6,

I_3p+q=_4

解得：］P=2,

|q=2

直线BC的解析式为y=2x+2.

当x=0时，y=2,则点Z)(0,2),OD=2,

S^COB=S^ODC+S^ODB

='OD・CT+LOD，BS

22

=AX2X3+AX2X2=5.

22

"：OA=OC,

SAAOB=S^COB,

S^ABC=2S/^COB=10.

18.如图，直线y=3x与双曲线y=K（左W0）交于A,8两点，点A的坐标为（加，-3）,点C是双曲线

2x

第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点。，且3c=2CD

（1）求左的值并直接写出点B的坐标；

（2）点G是y轴上的动点，连接GB,GC,求GB+GC的最小值；

（3）尸是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点P,Q,使得四边形A5尸。是矩形？若存在，请

求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）将点A的坐标为（相，-3）代入直线y=3x中,

2

得-3=—m,

2

解得：m--2,

••A(-2,-3),

：.k=-2X(-3)=6,

反比例函数解析式为y=2,

.,.点8的坐标为(2,3)；

(2)如图1,作BE,无轴于点£,CFLx轴于点E

J.BE//CF,

:ADCFsADBE,

•DC=CF

"DBBE'

'：BC=2CD,BE=3,

-CD=2

"DB¥

.CF=1

"T5’

：.CF^1,

：.C(6,1),

作点8关于y轴的对称点"，连接8'C交y轴于点G,

贝IJB'C即为BG+GC的最小值，

•:B'(-2,3),C(6,1),

2

:,B'C=yj(_2-6)+(3-i)2=2^17)

：.BG+GC=B'C=2A/17；

(3)存在.理由如下：

①当点尸在x轴上时，如图2,设点P1的坐标为(a,0),

过点B作轴于点E,

,：ZOEB=ZOBPi=90a,ZBOE=ZP\OB,

.AOBEs^OPiB,

.OB=0E

"OP7OB"

'：B（2,3）,

JOB-J+32=V13，

.\<132

•------=-,

aV13

•••〃Cl=加,

2

.•.点，的坐标为（堂，0）；

2

②当点尸在y轴上时，过点8作轴于点N,如图2,

设点P2的坐标为（0,b）,

VZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

；.ABONS/\P2OB,

；OB=0N；BpV13=3

（

0P2OB,bV13

“区，

3

.,.点P2的坐标为（0,旦）；

3

综上所述，点P的坐标为（区，0）或（0,11）.

19.如图1,平面直角坐标系xOy中，A（4,3）,反比例函数y=K（左＞0）的图象分别交矩形A30C的两

X

边AC,A3于E、F两点（E、/不与A重合），沿着即将矩形ABOC折叠使A、。两点重合.

（1）AE=4-（用含有人的代数式表示）；

3-

（2）如图2,当点。恰好落在矩形A80C的对角线BC上时，求CE的长度；

3

（2）CE=2；

（3）所求。点坐标为（23,3）或（旦，3）.

8255

【解答】解：（1）四边形A20C是矩形，且A（4,3）,

：.AC=4,OC=3,

•点E在反比例函数y=上上,

X

：.E（上，3）,

3

；.CE=区，

3

：.AE=4-K；

3

故答案为：4-K；

3

(2)如图2,VA(4,3),

/.AC=4,A8=3,

•・•—AC=—4,

AB3

.,.点/在y=K上，

x

：.F(4,K),

4

.AE4~3-4

:.NAEM=/DEM,AE=DE,

：.NFED=ZCDE=NAEF=ZACB,

/.CE^DE=AE=1AC=2；

2

（3）过。点作OV_LAB,

①当BD=A£）时，如图3,有N4VD=90。，AN=BN=LB=3,

22

:./DAN+/ADN=90°,

VZDAN+ZAFM=90°,

ZADN=ZAFM,

：.tanNA£W=tanZAFM^9=A,

AF3

•AN4

•二一■，

DN3

,:AN=3,

2

:.DN=2

8

：.D（4-2,2）,即。（23,A）；

8282

②当A3=A£>=3时，如图4,

在Rt^ADN中，tan/ADN=tan/AEW=3^=A,

AF3

•AN4

AD5

：.AN=^AD=^-x3=—.

555

:.BN=3-AN=3-

55

,:DN=3AN=3~x—=—>

4455

：.D(4-9,3),BPD(11,3)；

5555

③当AB=2r>时，

：.DF=AF,

：.DF+BF=AF+BF,即DF+BF=AB,

；.DF+BF=BD,

此时O、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，

：.AB^BD,

综上所述，所求。点坐标为(23,3)或(旦，1).

8255

20.在如图平面直角坐标系中，矩形0ABe的顶点8的坐标为(4,2),04、0c分别落在无轴和y轴上,

。3是矩形的对角线.将△048绕点。逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△。。£,。。与CB相交于

点F反比例函数y=K(x>0)的图象经过点F,交A8于点G.

x

(1)求上的值和点G的坐标；

(2)连接尸G,则图中是否存在与48尸G相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种

进行证明；若不存在，请说明理由；

(3)在线段上存在这样的点P,使得△PPG是等腰三角形.请直接写出点P的坐标.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1).••四边形0ABe为矩形，点2的坐标为(4,2),

ZOCB=ZOAB=ZABC=90°,OC=AB=2,0A=BC=4,

：△OOE是△043旋转得到的，即：AODE^AOAB,

ZCOF=ZAOB,：.△COps△AOB,

•,•CF一=OC,•,•—CF=2―,•,•r[J.,

ABOA24

点尸的坐标为（1,2）,

•.,y=K（尤＞0）的图象经过点凡

X

；.2=区，得k=2,

1

二•点G在A3上，

・•・点G的横坐标为4,

对于y=2，当x=4,得y=-L,

x2

.♦.点G的坐标为（4,1）；

2

（2）ACOFs△BFG；/\AOB^/\BFG；△ODEs^BFG；丛CBOS丛BFG.

下面对△OABS/^BFG进行证明：

,点G的坐标为（4,1）,：.AG=1,

22

'：BC=OA=4,CF=1,AB=2,

:.BF=BC-CF=3,

BG=AB-AG=W.

2

•••A-O~--4,_胆__―--4•

BF3BG3_3

2

•AOAB

，，BF"BG，

VZOAB=ZFBG=90°,

：./\OAB^/\FBG.

（3）设点尸（m,0）,而点尸（1,2）、点G（4,1）,

2

贝ljFG2=9+9=至，PF2=Cm-1）?+4,PG2=（m-4）2+A,

444

当G/=P/时，即至=（m-1）2+4,解得：2±V29（舍去负值）；

42

当尸尸=PG时，同理可得：加=生;

当G尸=PG时，同理可得：m=4-VT1；

综上，点尸的坐标为（4-JTL0）或（生，0）或（空叵，0）.

八.菱形的性质（共3小题）

21.如图，在菱形ABC。和菱形BE/G中，点A、B、E在同一直线上，P是线段。尸的中点，连接PG,

PC.若，则里=（）

返近

A.V2B.V3C.D.

【答案】B

【解答】解：如图，

延长GP交DC于点H,

•..尸是线段。尸的中点，

：.FP=DP,

由题意可知DC//GF,

：.ZGFP=ZHDP,

'：ZGPF=ZHPD,

：./\GFP^/\HDP,

：.GP=HP,GF=HD,

•••四边形A8CO是菱形，

:.CD=CB,

：.CG=CH,

.•.△CHG是等腰三角形，

：.PGLPC,（三线合一）

又：/ABC=NBEF=60°,

...NGCP=60°,

22.如图，已知边长为4的菱形ABC。中，AC=BC,E,b分别为AB,A0边上的动点，满足连

接跖交AC于点G,CE、C尸分别交友）与点M,N,给出下列结论：®ZAFC=ZAGE；②AECF面

积的最小值为3«；③若A尸=2,则5M=MN=£W；④若A尸=1,则E尸=3尸G；其中所有正确结论的

【解答】解：①:四边形A3C0为菱形.

：.AB^BC=CD=AD.

9：AC=BC.

：.AC=BC=AC.

•••△ABC为等边三角形.

/.ZABC=ZBAC=ZACB=60°.

ZCAD=ZACD=ZADC=60°.

:・/ABD=NCBD=/ADB=/CDB=30°.

9

：AC=BCf/CAD=/CBA,AF=BE.

：.AACF^ABCE(SAS)

：.FC=EC,ZFCA=ZECB.

：.NFCE+/ACE=ZECB+ZACE.

：.ZFCE=ZACB=60°.

•••△EC/为等边三角形.

：.ZCEF=60°.

：.ZBEC+ZAEG=120°.

JZAGE=NBEC.

9：AACF^ABCE.

ZAFC=ZBEC.

：.ZAFC=AAGE.

故①正确.

②由①知，尸是等边三角形.

・••当CE最小时，△ECF的面积最小.

当CELLA3时，CE=4X近二2«.

2

...△C所面积的最小值为3«,

故②正确.

@'：AB=AD=4,当AF=BE=2时，

CF1AD,CELAB,DF=2.

VZABD^ZADB^30°,DF=BE=2.

3

VAB=AD=4,ZBAD=120°.

：.BD=4y[3.

:.MN=BD-DN-BM=^3-.

3

:.BM=MN=DN=.

3

故③正确.

@VZBAC=ZEFC=60°.

ZEGA=ZCGF.

：.4AEGs^FCG.

.GE=GC

"AE而，

同理：AACF〜FCG.

•FC_AF

"CG"GF'

.GF_AF

'GF'AE'

：AF^1.

,.BE=1.

\AE=3.

AF1

AE3"

GF1

GE3"

\GE=3GF.

EF=GE+GF=4GF.

故④错误.

故答案为①②③.

23.二次函数＞=«7的图象如图，点。为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点8、C在二次函数y=

盗f的图象上，四边形OR4c为菱形，且NO8A=120°,则菱形08AC的面积为，近

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接8c交。4于。，如图,

•..四边形OBAC为菱形，

J.BCVOA,

"：ZOBA=120°,

：.ZOBD=60°,

:.OD=MBD,

设则

:,B（/,

把5（£,V3r）代入丁=百一得«金=«人解得九=0（舍去），也=1,

：.BD=lfOD=M，

：.BC=2BD=2,OA=2OD=243>

，菱形OBAC的面积=」义2义2如=2«.

2

故答案为2«.

九.矩形的性质（共3小题）

24.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,点尸在AO上，PELACE,PF_LBD于尸,则PE+尸产等

A.1B.12c.IlD.U

5555

【答案】B

【解答】解：连接OP,过。作DMLAC于M,

•••四边形ABC。是矩形，

:.AO=OC^1AC,OD=OB=LBD,AC=BD,ZADC=90°

22

：.OA=OD,

22=5)

由勾股定理得：AC=^3+4

V5AADC=AX3X4=AX5X£)M,

22

R

S^AOD=S^APO+S/^DPO，

（AOXDM）=』（.AOXPE）+A（DO义PF）,

222

即PE+PF=DM=H,

5

故选：B.

25.如图，一张矩形纸片沿A8对折，以A8中点。为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿C。

剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则NOC。等于（）

+……MT小―仁

A.108°B.114°C.126°D.129°

【答案】