2024年高考第二次模拟考试数学试卷（新九省模式专用新题型）

2024年高考第二次模拟考试

局二数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号

填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合4=何〉=111（%_3）},8={中4_1},则411危8）=（）

A.{x|-l<xW3}B.{小〉-1}C.{x|无<-1,或x>3}D.{x|x〉3}

7

2.已知复数z=〃+Z?i（«GR,且。工匕），且z?为纯虚数，则==（）

Z

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知向量方=（一2,4）,3=（11）,若5与B共线，则向量0+石在向量7=（0,1）上的投影向量为（）

A.7B.-JC.2jD.-2j

4.“">1”是“6〉工>0"（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、

乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）

A.60B.114C.278D.336

6.已知□£>：x2+y2-2ax-2a-l=0,点尸（-3,0）,若□D上总存在M,N两点使得DPMN为等

边三角形，则〃的取值范围是（）

-5、（51

A.——,-11J（-l,+co）B.-co,——D[1,+CO）

C.(-co,-2]u[l,+oo)D.[-2,-1)U(-L+00)

7.已知AABC中，ABAC=60°,AB=2,Q是边BC上的动点.若平面ABC,PA=C，且

与面ABC所成角的正弦值的最大值为逅，则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为（）

3

A.4兀B.6兀C.8itD.9兀

8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家.如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互

相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四

A.椭圆M的离心率为立B.椭圆M的蒙日圆方程为尤2+V=io

3

C.若G为正方形，则G的边长为2石D.长方形G的面积的最大值为18

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C:V=6》的焦点为尸，过点尸的直线交C于两个不同点，则下列结论正确的是（）

A.|儿叫的最小值是6B.若点£,2）则|财+阿尸|的最小值是4

C.}+向=3D.若阿/卜|行|=18,则直线的斜率为±1

22

10.已知双曲线g=l（a〉o）的左、右焦点别为耳，F2,过点马的直线/与双曲线E的右支相

交于P,Q两点，则（）

A.若石的两条渐近线相互垂直，则。=拒

B.若E的离心率为G，则E的实轴长为1

C.若/耳尸玛=90。，则|尸7讣|尸闾=4

D.当。变化时，口耳尸。周长的最小值为8夜

11.在棱长为2的正方体ABC。-4BCA中，E,尸分别是棱BC,CD的中点，则（）

A.与所是异面直线

B.存在点P,使得乖=2而，且BC//平面AP与

C.A/与平面四匹所成角的余弦值为迪

3

4

D.点用到平面AE厂的距离为y

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若二项式［x+2］的展开式中二项式系数之和为64,则二项展开式中系数最大的项为

13.若函数/（x）=ax+sinx的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数〃是.

14.若过点（0,1）的直线/自左往右交抛物线y=及圆必+"_厅=；于AB,。,。四点，则

\AB\+3\CD\的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知数列｛%｝的前"项和为S“，且对于任意的“eN*都有3s”=2a=+l.

（1）求数列｛6,｝的通项公式；

m

⑵记数列｛4｝的前〃项中的最大值为此，最小值为/，令bn=M"；”,求数列抄/的前20项

和品.

16.（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的

灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，

该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更

换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条

灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在

安全使用寿命内更换的灯珠数量，”表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

(2)若满足P(X>n)<0.6的n的最小值为n0,求佝;

(3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较〃=%-1与〃=%哪

种方案更优.

17.(15分)如图，在三棱柱ABC—AZG中，直线平面ABC,平面A4GC，平面331GC.

B

(1)求证:ACLBB］；

(2)若AC=BC=BCi=2，在棱A片上是否存在一点P，使二面角P-BC-Q的余弦值为必。？若存

10

BF

在，求的值;若不存在,请说明理由.

18.(17分)已知函数/(x)=lnx-x+a.

⑴若直线y=(e-l)x与函数/(%)的图象相切，求实数a的值；

⑵若函数g(x)=^(x)有两个极值点为和巧，且再<%,证明：%+%>1+111(?).(e为自然对数的底数).

19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书

中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点河与两定点Q,P的距离之比

叱g=%(%>0,4H1),4是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已

|MP\

22

知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为尤2+,2=4，定点分别为椭圆。：=+鼻=1(。〉6〉0)的

ab

右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为e=-.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过右焦点F斜率为k(k>0)的直线/与椭圆C相交于B,D(点、B在％轴上方)，点S,T是椭圆C上

异于B,D的两点，SF平分NBSD,TF平分NBTD.

\BF\

⑴求宿的取值范围;

（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为券，求直线/的方程.

8

2024年高考第二次模拟考试

高三数学

全解全析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.设集合4=伸〉=ln(x-3)},8={x|xW-l},则()

A.{x|-l<x«3}B.{x|x〉一1}C.{x|尤V-1,或x>3}D.{x|x〉3}

【答案】B

【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，

【详解】由题意得4={小>3},B={x|x<-1},又%8={小>一1}

贝I」Au(%8)={x[x>-1},故选：B.

7

2.已知复数z=〃+6i(tzeR,OER且。*匕)，且z?为纯虚数，贝!]==()

z

A.1B.-1C.iD.—i

【答案】D

【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.

【详解】因为z=a+历，所以z?=(〃+历尸=(£一/>2)+2<2所，

[a2—b2=0

又因为Z2为纯虚数，所以//八，即〃二匕(舍)或。=-底0,

[2abw0

所以z=a-ai,所以彳=a+ai,

匚LI、Izci—ax1—i(1-i)2.

JTT以==-------------------=-1•

za+ai1+i(l+i)(l-i)

故选：D

3.已知向量方=(一2,4),B=(u),若5与B共线，则向量0+石在向量7=(0,1)上的投影向量为()

A.jB.-jC.2jD.-2j

【答案】C

【解析】

【分析】根据彳与B共线，可得—2/—4=0,求得♦=—2,再利用向量0+B在向量7=(0,1)上的投影向

(a+b)-jj

量为计算即可得解.

【详解】由向量1=(一2,4),B=

若彳与B共线，则—2t—4=0,所以/=—2,

a+b=（-l,2）,

所以向量M+B在向量了=（0,1）上的投影向量为：

"）•]；（-1,2）.（0,1）二二

-

故选：c

4.“。。>1”是“6〉工〉0"（）

a

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当。>0时，由。。>1,可得6〉工〉0,

a

当时，由。。>1,得。（工<0；

a

所以“仍>1"不是">->0”的充分条件.

a

1a>Q

因为/?>—>0=<R?—1,所以次?>1,

a-------->0

、a

所以“ab>1”是“6>->0”的必要不充分条件.

a

故选：B.

【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.

5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两

人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）

A.60B.114C.278D.336

【答案】D

【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.

录用3人，有团=60种情况；录用4人，有C^Al-C^=162种情况；录用5人，有

（、A；—C；A；）+（C；A；—C；A；）=114种情况.所以共有336种.

6.已知□。：x2+y2-2ax-2a-l=Q,点尸(-3,0),若口。上总存在M,N两点使得DPMN为等边三

角形，则。的取值范围是()

C.(-oo,-2]u[1,+oo)D.[-2,-1)U(-1,+°°)

【答案】B

【解析】

【分析】口。的圆心坐标为。(a,0),半径为厂=|。+1|,要使口。上总存在M,N两点使得口PMN为等边

三角形，则口。上存在一点使得NMP£>=30°,当与口。相切时，NMPD最大,故

sinZMPD=向>sin30°,由此可求解.

【详解】口。的标准方程为(x—ap+V=(。+1)2,

圆心坐标为。(a,0),半径为r=|a+l|.

因为IPM|=IPN],|阿>|=IND|,所以APMD=△PND.

所以ZMPD=ZNPD=30°.

要使口。上总存在M,N两点使得口PMN为等边三角形,

则口。上存在一点M,使得ZMPD=30°,

当PM与口。相切时，NMPD最大,此时NMP£>»30°,

r1

故sinNMPD=；>sin30°=5,即2](〃+3),

囱r

整理得34+20—520，解得ae]-oo,一；u[l,+oo).

故选:B.

7.已知DABC中，ZBAC=60°,AB=2,Q是边上的动点.若PAL平面ABC,PA=五，且PQ

与面ABC所成角的正弦值的最大值为逅，则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为（）

3

A.4兀B.6兀C.8itD.9兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得PQ的最小值为G,AQ的最小值是1,即A到BC的距离为1,则NACB=90。，结

合图形找出aABC的外接圆圆心与三棱锥尸-ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积.

【详解】三棱锥尸-ABC中，PAL平面ABC,设直线PQ与平面ABC所成角为

•••sin。的最大值是丰，...sind=£=^w，，解得PQNg,

即PQ的最小值为百，AQ的最小值是1,即A到BC的距离为1,

直角三角形AABQ中，AB=2,所以/A4Q=60。,又NBAC=60。，

所以AQ重合，则NACB=90。，

则aABC的外接圆圆心M为AB的中点，

又PA_L平面ABC,从而外接球的球心。为PB的中点,

故选：B.

8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家.如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相

垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均

与椭圆M:^+片=1相切，则下列说法错误的是（）

64

椭圆的离心率为旨

A.MB.椭圆M的蒙日圆方程为Y+y2=10

3

C.若G为正方形，则G的边长为2遍D.长方形G的面积的最大值为18

【答案】D

【分析】由椭圆标准方程求得。力后再求得。，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平

行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方

形时的边长.

当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2e和4,其对角线长为扃-=2*5,因此蒙

日圆半径为圆方程为无=10,B正确；

设矩形的边长分别为九九，因此病+“2=4022加“，即m〃W20,当且仅当机=〃时取等号，所以长方形G的

面积的最大值是20,此时该长方形G为正方形，边长为2石，C正确，D错误.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C：V=6x的焦点为尸，过点歹的直线交C于两个不同点，则下列结论正确的

是（）

A.|MN|的最小值是6B.若点噌，2}则跖|+|即的最小值是4

C.向+庙=3D.若阿丹河|=18,则直线的斜率为±1

【答案】ABD

【分析】A,根据山0|=玉+%+。结合基本不等式即可判断；B,由抛物线定义知当尸,加,A三点共线时

\MF\+\MP\.C,D,设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.

【详解】对A,设M（%，M）,N（尤2，%），（无1，尤2>°），

因为这些倾斜角不为0,

则设直线MN的方程为了=。+],联立抛物线得/一6外-9=0,

则%+%=6匕+%=-9,

3k99

所以；.占+无2=左(丫1+%)+3=6左-+3,xrx2=k~yxy2+—+%)+1=1，

2

^\MN\=xt+x2+3=6k+6>6(当且仅当左=0时等号成立)，A正确；

对B,如图M4L抛物线准线，|加盟+|〃4=|跖4|+|友0要使其最小，

即尸,加,A三点共线时取得最小值，

即M尸|+|MP|=|MA|+|MP|=|PA|=5+5=4,B正确；

]1|NF|+|MW%+%+3_2

对C，由+和一|“||阪|一%.+3(占+%)+9C错误;

333Q

对D,\MF\•|?ZF|=(X)+-)•(x2+-)=xtx2+-(%1+x2)+-

93993

=-+-(6Z:2+3)+-=-+-(6F+3)=18,解得左=±1,D正确

42422

故选：ABD.

22

10.已知双曲线E：--]=l（a〉0）的左、右焦点别为耳，F2,过点心的直线/与双曲线石的

右支相交于P，。两点，则（）

A.若E的两条渐近线相互垂直，则。=行

B.若E的离心率为外，则E的实轴长为1

C.若/耳产工=90。，则|尸7讣|尸局=4

D.当。变化时，口耳「。周长的最小值为8五

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，b=4i，

A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以2=l,a=b=也,故A正确；

a

B选项，若E的离心率为

0>

解得a=l,所以实轴长2a=2,故B错误;

『相|叫=2。

C选项，若/耳尸工=90。,

2

\\PF^+\PF2f=4c

整理得2|「团.|尸阊=4°2-4/=4/=8,|尸用.|尸用=4,故C正确;

PR—PF?=2a

D选项，根据双曲线的定义可知，＜

Q耳-QF2=2a

两式相加得|「团+|。耳|一|尸。|=40|尸盟+|。4|=44+|尸。］,

所以口耳PQ周长为4a+2|尸。］,

当PQJ_K用时，归。|取得最小值竺1=±,

aa

所以4。+2间|24。+§22^4a--=872,

Q

当且仅当4。=—,即。=、历时，等号成立，

a

所以口耳2。周长的最小值为8夜，故D正确.

故选：ACD

11.在棱长为2的正方体A3C。-ABC。中，E,尸分别是棱BC,C。的中点，贝IJ()

A.BQ与E尸是异面直线

B.存在点P,使得第=2而，且8C//平面A咫

C.4尸与平面司匹所成角的余弦值为迪

3

D.点片到平面4所的距离为g

【答案】BC

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，根据丽'=2而得到耳。与EF平行；B选项，先求出

得到平面AP用的法向量菊=(1,0,-1),根据数量积为0得到南，石，得到BC//平面AP与；C选项，先求

出其尸与平面片匹所成角的正弦值，进而求出余弦值；D选项，求出平面4跖的法向量，根据点到平面距

离公式求出答案.

【详解】A选项，以A作坐标原点，AB,ADAA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

耳(2,0,2),0(0,2,2),E(2,1,0),1(1,2,0),4(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),

则丽■=(-2,2,0)历=(-1,1,0),由于瓦瓦=2而，故片2与石尸平行，A错误；

B选项，设P(尤,y,z),因为乖=2万，所以(即〉,2-2)=2(1-%,2-%-2),

x=2-2x

即y=4-2y,解得*=：2,〉=卞4=：2,故尸

z—2=-2ztil)

设平面APBX的法向量为根=(〃,0,c),

'―►/,\(242、242

m-AP=(a,b,cY\—,—\=—a+—b+—c=O

则('，1333)333,

m-AB1=(〃,/?,c).(2,0,2)=2〃+2c=0

令〃=1,则b=0,c=-1,则机

因为前晶=(020)(1,0,—1)=0,故前,薪，5。//平面”片,

故存在点P,使得亚=2万，且5C//平面A尸与，B正确；

C选项，平面用防的法向量为)=(1,0,0),

n\|(1,2,-2)-(1,0,0)|

故4户与平面BEB所成角的正弦值为

{\n\~Jl+4+43

则AP与平面瓦防所成角的余弦值为=孚，C正确;

D选项，设平面4跖的法向量为4=(无"i，zj,

«i•AE=(占,y1,z1)-(2,l,-2)=2%+%-2zj=0

zij-£'F=(x1,y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+y1=0

令玉=1,则y]=l,Z]=T，故

普,D错误.

则点耳到平面4斯的距离为

故选：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

n

12.若二项式[x+不—]I的展开式中二项式系数之和为64,则二项展开式中系数最大的项为

【答案】240

【解析】

n

【详解】因为二项式X+的展开式中二项式系数之和为64,

所以2"=64,得”=6,所以二项式为

6m

则二项式展开式的通项7；+i=C"6Tr

=C'6o2x2

q2'2c1114

令第r+1项的系数最大，则《66,解得一<r<一,

[Q2r>C^2r+13~~3

因为reN,所以r=4,则二项展开式中系数最大的项为岂=《2’/%=240，所以填240

13.若函数/(x)=ax+sinx的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数。是.

【答案】0

【解析】

【详解】注意到，f'(x)=a+cosx.

若函数了(%)上存在两条切线垂直，则存在石、X2^R,使得

xx=

f'(i)f'(<2)一1=(tz+COSX,)(t?+COSX2)=-1

=a?+a(cosxj+cosx2)+cos%-cosx2+1=0

22

今［qICOSX1+COSX2J门［cosxi—cos々j=Q

=cos%=-cosx2=±l,a=0.

故答案为0

14.若过点（0,1）的直线/自左往右交抛物线y=及圆必+6一1）2=；于AB,。,。四点，则

|AB|+3|CD|的最小值为.

【答案】2百+2

【解析】

【分析】根据抛物线的定义求得求出|AM=%+g,|CD|=%+g，当Uy轴时，则为=%=1，可求

|AB|+3|CD|的值；当直线方程为x=时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此

时|AB|+31c必的最小值，即可得结论.

【详解】解：如图，其中抛物线y=的焦点坐标为/（0,1）,

911

抛物线的准线方程为：k-1,圆小（一）二的半径一5

又抛物线的定义可得：|AE|=%+L|DF|=%+I，又

\AB\=\AF\-\BF\=yA+^,\CD\=\DF\-\CF\=如+：,

当Hy轴时，则力=力=1,所以|A回+3|CD|=l+；+31+£|=6；

当/不垂直于，轴时，设/的方程为：x="（y-l）,代入抛物线方程得：H2y2-（2H2+4）y+«2=0,

二匚［、12"+4

所以小为=丁，%.％=1。

所以|A回+3］。。|=2+%+3切22+27^7^=2+26,

当且仅当%=3%，即%=等，%=6时，等号成立.

综上，|AB|+31cM的最小值为2+2省.

故答案为：2+2瓜

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且对于任意的〃eN*都有3s“=24+1.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

m

(2)记数列｛%,｝的前〃项中的最大值为Mn,最小值为mn,令%=M"；",求数列抄"｝的前20项和T20.

【答案】⑴4=(-2广

【解析】

【分析】⑴根据3s〃=24+1可得｛&｝是以公比为—2的等比数列，进而可求解，

(2)根据数列｛4｝的通项性质可对〃分奇偶，进而可得m”,分组求和即可求解.

【小问1详解】

对于任意的〃eN*都有3s“=24+1,

当〃22时,3s“_i=2%+1,两式相减得3(S“—S,i)=(2%+l)—(2a,i+l),即

3an=2an-2an_](n>2),

进而得见=—2a,i("22),..........................4分

当〃=1时，3s1=2q+1,故4=1,

所以数列｛4｝是以首项为1,公比为-2的等比数列，

所以为=(-2)”1.......................6分

【小问2详解】

nl

当〃为奇数时，an=2-,且a〃〉0,当〃为偶数时，a“=—2〃T,且。“<0,

因此当〃为大于1的奇数时，｛4｝的前n项中的最大值为最小值为%_j=(-2)”「2,此时

“一2—2

因此当〃为偶数时，｛4｝的前n项中的最大值为4T=(-2广之，

最小值为%=(—2)"T,此时包=加"+.“=%-+%,.....................10分

〃'Jn22

当〃=1时，2=4,

因此也｝的前20项和

(0=4+伍3+”5+…+九)+伍2+04+06+…+020)=。1+_|_+...+£12_£18

/\19

+%+%+%+%+...+49+。20_O,19+S20_1Sig+S"+。20_c,1,(-2)

22222221922

1-(<,1,(-if5-219

.......................13分

1+2226

16.（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯

珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯

带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯

珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换

的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命

内更换的灯珠数量，”表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

（1）求X的分布列;

（2）若满足「（X2"）＜0.6的〃的最小值为乙,求%;

（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较〃=%-1与〃=%哪种

方案更优.

【答案】（1）分布列见解析；

（2）13；（3）〃=更优

【解析】

【分析】（1）由条件确定随机变量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；

（2）根据分布列结合条件求n的最小值；

（3）分别计算〃=%-1与〃=n0时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.

【小问1详解】

设自表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，

则p（1=5）=P（5=7）=P（7=8）=0.2,P（t=6）=0.4,

X的取值范围是{10,1U2,13,14,15,16},

P(X=10)=0.2x0.2=0.04,

=11)=2x0.2x0.4=0.16,

=12)=0.42+2x0.2x0.2=0.24,

产(X=13)=2x(0.2x0.2+0.2x0.4)=0.24,

=14)=0.22+2X0.4X0.2=0.2,

=15)=2x0.2x0.2=0.08,

p(X=16)=0.2x0.2=0.04,

X的分布列为

X10111213141516

P0.040.160.240.240.20.080.04

......................................6分

【小问2详解】由⑴可知P（X212）=0.8,

>13）=0.56,

故n（）=13.......................................9分

【小问3详解】

由（2）可知“=%-1=12.

在灯带安全使用寿命期内，当〃=12时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当〃=13时，设购买替换灯

珠所需总费用为v元，则E（M）=24+0.24x4+0.2x8+0.08x12+0.04x16=28.16,

E（v）=26+0.2义4+0.08x8+0.04xl2=27.92.

E（v）<,

故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，〃=%比"=/-1的方案更优。.................13分

17.（15分）如图，在三棱柱ABC—A笈G中，直线平面ABC,平面441G平面3片£。・

⑴求证:AC_LBB］；

⑵若AC=BC=BQ=2，在棱4片上是否存在一点P,使二面角

P-BC-C］的余弦值为会生？若存在，求-TV的值;若不存在,请说明理由.

10

B

17.【解析：^1)在平面3用。1。中作3"，。01于“，

因为平面441GCJ-平面BB©C,

且平面A41G。c平面BB£C=CQ,

所以平面4&GC,从而

AC1BH........................4分

在三棱柱ABC-43cl中,Cd，平面ABC,ACu平面ABC,

所以AC，G3.

又因为BGc3"=3,所以AC，平面,因此

AC1BB「.......................7分

(2)由(1)可知,C4,C3,3G两两垂直，如图，以C为原点建立空间直角坐标系.

则4(2,0,0),8(0,2,0),a(0,2,2),4(0,4,2),第=丽=(2,-2,0).

设肝==(22,-22,0),2e[0,1],

则尸(244—242)........................9分

设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z),

因为丽=(2尢2-22,2),CB=(0,2,0),

ni-BP=0,24x+(2—2A)y+2z—0,

所以《即＜

ln.-CB=Q,2y=0,

z=-Ax,

则有＜

y=0.

令％=1,得叫=(1,0,—4).10分

而平面BCG的一个法向量可以是叫二(1,0,0),

i/\|_|叫.叫|_(l,0,-2).(l,0,0)_3Vld

rlll，解得彳=《,

贝ijcos(H],%)—1厂ir—/―—rr-

1

、"|nj-|n2|103

B、P1

即P为棱gA的三等分点，苦二T........................15分

18.(17分)已知函数/(x)=lnx-x+a.

(1)若直线y=(e-l)x与函数/(%)的图象相切，求实数a的值;

⑵若函数gQ)=货(无)有两个极值点花和巧，且&<尤2,证明：％+X[>l+ln(14.(e为自然对数的底数).

【答案】(1)2；(2)证明见解析.

【分析】(1)求出函数AM的导数，利用导数的几何意义结合已知求出a的值.

(2)求出函数g(x)及其导数，确定g(x)有两个极值点的条件，再由g'(xJ=0,g'(X2)=0变形并构造函数，

利用导数推理论证即得.

【详解】(1)依题意，设切点(%,In%-%+a),求导得:(x)=^_l,

X

则(每)=^"-l=e-l,解得/=L又/(/0)=(6-1)%，(e-l)x0=Inx0-x0+a,贝lja=2,

%e

所以实数a的值为2.........................6分

(2)依题意，8(%)=%(1口%-冗+〃)的定义域为(0,+00),

求导得g'(x)=lnx-x+tz+(--l)x=\nx-2x+a+l,

x

则gQ)=0有两个不等的正根不々，且是g'(x)的变号零点，

4*h(x)=]nx-2x+a+l,x>0,求导得//(冗)=」一2,

x

当0<x<g时，”(尤)>0,当时，/(x)<0,

于是函数在(0,1)上单调递增，在(g,+⑹上单调递减，

由函数〃(x)有两个零点，得/?(x)ma*=/7(g)=a-ln2>。，解得a>ln2,........................9分

止匕时/z(e3)=_2q_2e3+]<]_21n2<0,令夕(a)=Ina—a+1,求导得状(a)=L-l,

a

当In2<a<1时，夕'(a)>0,

当〃>1时，(p\d)<0,函数夕3)在(In2,1)上递增,在(1,+8)上递减，

则0(a)K夕(1)=0,即Ina-a+lKO,/z(2a)=ln2a-3a+l=(lna-a+l)+(ln2-a)-a<0,

因此当。>ln2时，函数〃(%)必有两个零点芯,々，且是变号零点，由再<々，得。<乙<；<x2，

由『%一:再+弋二：,得In%=2(占--),令:乙则

于是2(比2-3)=1型，解得尤2=」：]、，&=:上,..........13分

—L)—L)

因此要证>l+ln(—),只需证〉1+山/,

x22(t-1)

31nt-tint1=2(7-1)

BP->1,只证Ini-------<0,

—Dj—t

令方=,0<z<1)........................15分

3-t

14(3-^-4r(z-l)(r-9)

求导得尸‘⑺丁『=>0

z(3-ot(3-ty

因此函数F(t)在(0,1)上单调递增，F(f)<F(l)=0,

所以无2+%>1+1no........................17分

x2

【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式,

都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.

阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比

=4(4〉0,4。1),2是一个常数，那么动点M