2023-2024学年北京海淀区理工大附中高二（上）期中数学试题及答案

2023北京理工大附中高二（上）期中数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A.16B.C.4+82，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（D.4+42mn为两条不同的直线，2.已知，）mn，m//n//，则//A.若B.若n//m，n⊥，m⊥n，则n/，，⊥，则m⊥C.若mD.若//mn，则m//n，，123.如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1，则该组合体的体积为（）π13ππA.B.2πC.D.3624.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A.a，−，a+babB.b，−，+b2ab2aC.a，b，−bcD.c，+，−acacR=(x)=y,1)6,3=(−)a+b=xya，bc⊥5.设、，向量，且ac，b//c，则（）A.226.正方体A.30B.23C.4D.3ABCD−ABCD1A与平面所成的角为（1中，直线）111114590D.B.C.ABCD−ABCDAD上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为，7.已知点P是正方体的棱111111则的最小值是（）33232555A.B.C.D.58.如图，在三棱柱ABC­ABC中，侧棱AAABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中1111111111点，则下列叙述正确的是（）A.CC与BE是异面直线11B.AC⊥平面ABB11C.AE，BC为异面直线，且AE⊥BC1111D.AC//平面ABE111P−ABC中，O是的中心，==2，则9.在正三棱锥=()564238A.B.C.D.933ABCD−ABCD中，E为110.在棱长为2的正方体BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足111BP⊥DEBP的长度的最大值为(1，则线段)11655A.2B.3C.22D.二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.)CD=(m)，⊥CD，则实数m=________.设向量AB1,2,4，=(ABCD−ABCDA12.已知正方体的棱长为，则1到平面1的距离为______.1111a=−2,2()，=(,,)13.已知直线m，n的方向向量分别为b130，则直线m，夹角的余弦值为n______.14.在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式1V=a2+ab+b2)h，为方亭的下底面边长，为上底面边长，为高某地计划在一片平原地带挖一ah.b3条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米，长为837.5米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为米，高为6米，则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为________.15.已知圆锥的底面半径为23，高为2S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是______.①圆锥的体积为8π；②圆锥侧面展开图的圆心角大小为3；③圆锥截面SAB面积的最大值为43；2563④若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为π.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.x,yRa=(x)，b=y)4,2=(−)16.设，向量；，c，且a⊥b，b∥c.a+b（1）求（2）求向量a+b与2a+b−c夹角的大小．ABCD−ABCDAB117.如图，在正方体中，棱长为2，、N分别为、AC的中点．1111（1）证明：//平面1B；1AB1ABCD（2）求与平面所成角的大小．11===CCAB，M为AB的中点，D在上1118.如图，在直三棱柱1D=3DB中，ACB90，1且.1（1）求证：平面CMD⊥平面1A；1（2）求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；B−CD−M（3）求二面角的余弦值.19.如图，在四棱锥P−中，底面ABCD为菱形，且AB2=，=2，PDC=，点M为棱DP的中点.2（1）在棱BC上是否存在一点N，使得CM平面PAN，并说明理由；6（2）若⊥，二面角B−CM−D的余弦值为时，求点A到平面的距离.6参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据斜二测画法分析运算.==2+22=22，【详解】在直观图中，OAOB2可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为222=42，22+6=16．()则另一边长为22+(42)2=6，所以原图形的周长为故选：A.2.【答案】B【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.mn，m//n//mn=P，则//【详解】解：对于A，若，，，，故错误；对于B，n//m，n⊥，则m⊥，正确；n，故错误；或对于C，m⊥，m⊥n，则n/对于D，若//mn，，，则m//n或异面，故错误.故选：B3.【答案】C【分析】利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解.1r=h=21h=2【详解】依题意可知，底面圆的半径为圆柱部分的高为，圆锥部分的高为，2V=r121=π122=2π所以圆柱部分的体积为，1111V=r2h=π12=π圆锥部分的体积为，223326113V=V+V=2π+π=π.所以该组合体的体积为1266故选：C.4.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量a,b,c是不共面的三个向量，对于A，a2(ab)(ab)，则向量=−++a,a−b,a+b,b−2a,b+2a共面，A不能构成空间基底；对于B，bb2a)b2a)，则向量=−++共面，B不能构成空间基底；对于D，2c(ac)(ac)，则向量c,ac,ac共面，D不能构成空间基底；=+−−+−,，使得a=2b+b−c)，2对于C，假定向量a,2b,b−c共面，则存在不全为01211=0整理得a−(2+b+c=0，而向量a,b,c不共面，则有2+=0=02，显然不成立，12212所以向量a,2b,b−c不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C5.【答案】Dxy+【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量ab的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a⊥c，则ac=3x−6+3=0，解得x=1，则a=1)，13y6=y=−2，即b=)，因为b//c，则，解得a+b=(2)a+b=4+1+4=3.，因此，所以，故选：D.6.【答案】A【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成的角，再在三角形中求解作答.ABCD−ABCDBD11OAO，连接，如图，【详解】正方体中，连接1111BO⊥ACAA1⊥ABCDBOBO⊥，11ABCD则有，而平面，平面，即有111111111111AAAC=A,AA,AC1ABO⊥1A平面，1又则平面，因此11111111111A是直线中，与平面所成的角，1111AOB1=90BO=BD=AB1AO=30，则有，在，1111221A所成的角为301所以直线与平面.1故选：A7.【答案】A【分析】由正方体的性质可知所求为的最小值，又因为CD⊥DP，可知当点P在处时，A1有最小值，计算可得结果.【详解】解：由正方体的性质可知：AB//CD，则异面直线AB与CP所成的角为直线CD与直线CP所成的角，即或其补角.又因为CD⊥平面1A，所以CD⊥DP，即求的最小值.1CDCPCDa3cos==A1(cos==，当点P在处时，.CD2+21+1P23a故选：A.8.【答案】C【分析】逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析；B.用反证法证明；C.利用线面垂直的性质定理证明；D.利用AC∥AC，判断线面是否平行.11【详解】对于A,CC与BE都在平面CCBBCC与BE是相交直线，故A错误；111111对于BAC⊥平面ABBA，则AC垂直于平面内的任一条直线，即AC⊥AB，这与题设“底面三角形11ABC是正三角形”矛盾，所以假设不成立，故B错误；111对于C，点B∉AEBCAEB于点B，AE，BC为异面直线；1111111由题知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，AE⊥底面AE⊥BC，又AE⊥C1CBCC1C=CBBCC，AE⊥BC，故C正确；1111对于D，直线ACABEA，又AC∥AC，直线ACABE相交，故D错误．111111故选：C【点睛】本题考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.9.【答案】D【分析】将PA转化为+，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥OA，即可将POPA转化为|PO|，结合勾股定理即可求解．【详解】C为正三棱锥，O为的中心，∴⊥平面，△ABC是等边三角形，∴PO⊥AO，2233∴POOA0AO=，=ABsin60=，348=4−=()POPA=POPO+=PO|=AP|2−|AO|2故．33故选：D.10.【答案】B【分析】以D为原点，DA、、所在直线分别为x、、z轴建立空间直角坐标系，设(Pa,b,0)，1根据BPDE=0求出a、b之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求BP1长度的最大值．11【详解】以D为原点，DA、、所在直线分别为x、、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，1()E2,0)B(2)P(a,b,0)D0,0,2，0，0则则，，，设，11=(−BPab21−−)1E=1,2,2)，，=−+(−)+=，1E，BPDEa22b24011a+2b−2=00，则易求，1P=(a−2)2+b−2)2+4=(b)2+(b−2)2+4=b−b+8，2由二次函数的性质可知，当b=1时，b线段1P2−b+8可取到最大值，的长度的最大值为．故选：B．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.【答案】6−【分析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解.【详解】因为⊥CD，所以ABCD=m+2+4=0，解得m=6.故答案为：6.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12.【答案】231⊥A.构造辅助线得1【分析】根据正方体的性质以及线面垂直的判定定理、性质定理，可得出平面A的交点E，然后根据相似三角形，即可得出答案.1出与平面1【详解】AD如图，连接，，11CD⊥1AAD⊥AD由正方体的性质可知，平面，.11111AD11ACD⊥AD因为平面，所以.1111CD1DAD11DADD，1因为平面，平面，11111AD⊥11所以平面平面111DAD⊥AC因为，所以.111⊥AB同理可得.11ADAABAADAB=A平面，，1111因为所以平面，1111⊥A平面.1AO于点E，1连接AC交于O，连接交1则1到平面A1的距离即等于CE的长.1AA1//1=1A，所以四边形为平行四边形.1因为，且111AEAO12AO=AC△∽△CAE，则11==又，所以，21E121E=1=23A1所以，即1到平面的距离为23.3故答案为：23.13.【答案】6【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设直线m，n夹角为，a−16106cos==则.ab1+4+419+6故答案为：.614.【答案】25【分析】计算出挖出的土的体积，利用台体体积公式求出b的值，然后作出图形，找出其侧面与下底面所成的二面角的平面角，即可计算出侧面与下底面所成的二面角的正切值.1【详解】由题意知挖出的土的体积V837.5=(+)=106213400，21()6=13400，整理得b702+b+b2+b−1800=0，2则由3解得b=20或b=−90（舍去）.ABCD−ABCDAB=70，AB=在正四棱台中，，111111BABCDABCD内的射影为点N，设点在底面内的射影为点E，点1在底面1设直线分别交AB、CD于点F、M，连接BFCM、，11BE⊥1ABCD，1N⊥BE//CNABCD因为平面平面，所以，，11BE=CN，11又因为平面ABCD//平面ABCD，所以，1111BCNE//C，1故四边形为矩形，所以，11AB⊥BCBC//⊥，所以，，因为因为因为因为，，则11BE⊥1AB⊥1E，则，ABCD，AB平面ABCD平面平面FMFMBEBC⊥BC，11，、平面，所以，AB平面111BF1BCBF⊥，所以，，111AABBABCD1FE所以，侧面易知四边形与底面所成二面角的平面角为，11AABBCCDD1=ABB1=DCC，，11、是全等的等腰梯形，且1111BF=BBsinABB=CCsinDCC=CM所以，，111111因为，BF//CM且⊥，则四边形BCMF为矩形，故，则=FMC，1BC故四边形为等腰梯形，11BF=CMBE=CNB=CNM=90△BEF≌△CNM因为，，，故，11111111所以，=，FM−EN70−20EN=BC=20==70EF===25，又因为，，故11221E6Rttan1==在中，.256故答案为：.2515.【答案】①②④【分析】根据题意求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧长，轴截面的面积，外接球体积，即可得出结论.【详解】圆锥的底面半径r=23，高为h=2，2==+=()+22=4，圆锥的母线长SASBr2h223112()圆锥的体积V=r2h=π232=8π，①正确；33设圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则2π23=4,=3π，②正确；当圆锥截面为圆锥的轴截面时，此时SASBAB43，===SA2+SB2−AB212ASB(π)则ASB==−，又，2SASB2πASB=，3π=SAB面积的最大，则当时，圆锥截面211此时S=SASAsinASB=441=8，故③错误；22圆锥的顶点和底面上的所有点都在同一个球面上，即为圆锥的外接球，设圆锥的外接球半径为R，2由球的性质可知R=(h−R)+r2，即R2=(2R223+()−，22解得R4，=443256πV=R3=π43=所以外接球体积故答案为：①②④.，④正确33三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.π16.1）3）2【分析】根据空间向量垂直和平行的性质，求出x、y，进而求出向量a和b，再进行相应运算即可.【小问1由题意，a⊥b，b∥c，x+y+1=0x=1可得1y1，解得y=−2，==242则a=1)，b=)，所以ab1,2+=(−)，故a+b=2+(−)2+223.=【小问22a因为所以，a，π故向量a+b与2a+b−c的夹角为.217.1）证明见解析（2）30°）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和11B平面的法向量，利用空间向量证明即可，1ABCD（2）求出平面【小问1的法向量，利用空间向量求解即可.11如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．1则()，(C2,0)，()，，()，()，()．A0,0A2,0,2B(2,0)B2,2MN0111=(−−)所以，因为DC⊥平面1B,11B=(0,0)，所以平面的一个法向量为1因为MNDC=0，所以⊥，1B因为平面，1所以//平面【小问211)1=(2,0,2)AB=(0,2,2)，，．1设平面=(2,0n=(x,y,z)ABCD的一个法向量为11z=0z=1，则x=−1，y=0，则，令n)n=(0,1所以AB1ABCD所成角为，11设与平面212则sin=1B,n==．1Bn22ABCD所成角为30°．112因为0180，AB1所以与平面18.1）证明见解析23417（2）（3）71751）证明CM⊥AB,CM⊥AA，推出CM⊥1A平面，进而可得结论；11（2）以C为原点，为轴，xCB为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线1与平面CBD所成角的正弦值；B−CD−M（3）利用向量法求二面角【小问1的余弦值.==CC，M为AB的中点，1直三棱柱中,CM⊥AB，AA1⊥平面，平面CM⊥AAAA1,AB1A，1，又，平面，11CM⊥11，又平面CMD平面平面CMD⊥【小问2平面1A；1以C为原点，为轴，xCB为y轴，CCz为轴，建立空间直角坐标系，1AC=BC=1=4a设，则C(0,0),B(0,4a,0),D(a,3a,4aM(2a,2a,0)，BD(a,a,4aBC(0,4a,0),CM=(2a,2a,0)=−=−n=x,y,z()，设面BDC的法向量n−+4za=0z=1，得n则，取()，1n=−4=0设直线CM与平面CBD所成角为，8a23417sin|CM,n==；8a17【小问3设