2023-2024学年北京西城区十三中高一（上）期中数学试题及答案

2023北京十三中高一（上）期中数学2023年月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第5页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间分钟．请在答题纸规定处书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸按页码顺序一并交回．一、选择题=R，A=x|x，B=x|x，则A（）1.设UA.x|0xx|0x1B.D.x|x1x|x0C.2.若ab，则一定有（）1a1bB.|a|>|b|C.C.D.a3b3A.a2b23()=−x2零点所在的一个区间是（3.函数fx）x(−−)()()1,2(2,+)1A.B.D.D.14.已知x0，则x+的最小值为（）2x22A.2B.2C.1()上单调递增的是（）5.下列函数中，既是偶函数又在区间()=+()=−xfxfxx2A.B.D.()=C.fx()=−fxx2+1x1x−11，q:2x−13，则p是q______条件6.命题p:A.充分不必要C.充要B.必要不充分D.既不充分也不必要7.已知命题“xR，使得ax2−2ax+30”是假命题，则实数a的取值范围是（B.0<a<3）A.0a3C.0a3D.0a3，若A⊆B，则对应的实数对C.3对B=−，A=xx−a=1(a,b)有8.设集合A.1对B.2对D.4对9.设常数aR，集合A={x|（x﹣﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A.（﹣∞，）B.（﹣∞2]C.（2+∞）D.[2，+∞）10.如图为某商铺A、B两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A商品卖出一件盈利20A1A2A、的纵坐标分别表示A商品20223个月的销售量，3元，B商品卖出一件盈利元.图中点、B1BB、的纵坐标分别表示B商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确3点、2的是（）①2月A、B两种商品的总销售量最多；②3月A、B两种商品的总销售量最多；③1月A、B两种商品的总利润最多；④2月A、B两种商品的总利润最多.A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题函数f(x)=1−2x的定义域是______．x+y=012.方程组的解集是______．x2+x=2f(x+=x2，则f_______．=13.已知−5x+b0的解集为x−3x214.已知不等式ax___________．2，则不等式bx25x+a0的解集为−()在()上是减函数，若(−)=，则()的解集为fx,0f20fx015.已知奇函数______．x2−+16.设关于的不等式ax2xa0的解集为S.a（1）若S中有且只有一个元素，则的值为___________；0S−1Sa（2）若且，则的取值范围是___________.x2+x,−2xc,()=fx若c，则()的值域是()的值域是fx____{fx17.已知函数1,cx3.x1−,2c，则实数的取值范围是____．418.某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;②欲饮用100罐可乐，至少需要购买罐可乐：n−12f(n)=n+.（其中x③如果购买n(nN*)罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数表示不大于x的最大整数）则所有正确说法的序号是__________.三、解答题19.已知a，bR，试比较a3−b3与ab2−a2b的大小，并证明．x20.已知函数f(x)=−1.x2（Ⅰ）证明：f(x)是奇函数；（Ⅱ）判断函数f(x)在区间(−1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.定义在区间上，其中−00,2fxax2()=+xa21.已知函数=−.（1）若a()的最小值；fx1，求（2）求()的最大值.fxfxax22ax−3．()=−22.已知函数（1）若a=1，求不等式f(x)0的解集；（2）己知a0，且f(x)+)上恒成立，求的取值范围；0在a（3）若关于x的方程f(x)=0x+x，求1有两个不相等的正实数根x，x222的取值范围．1223.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x（单位：吨，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润.（I）将y表示为x的函数：（II）求出下一个销售季度利润y不少于57000元时，市场需求量x的范围.()且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没nnN24.已知集合P的元素个数为有公共元素的三个集合A、B、C，即P=ABC，AB=，AC=B，，其中A=a,a,B=b,b,C=c,c,,ccca+b=c，，kkk，，，且满足12121212k=1、2、（1）若集合由；n，则称集合P为“完美集合”.、P=2,3，Q=2,3,4,5,6，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理P=x,3,4,5,6为“完美集合”，求正整数的值；x（2）已知集合=x1xn,nNP，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是=n4k或（3）设集合()=+Nn4k1k.参考答案一、选择题1.【答案】D【分析】根据题意结合集合间的运算求解.B=x|x1，则x，【详解】因为A|x1所以．故选：D.2.【答案】D【分析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.11a=b=−1，则，|a|b|，a=b2，故A、B、C均错误，【详解】取2ab由不等式的性质可得a3b3，故D正确.故选：D.3.【答案】C【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】由解析式知：()在(−,0)上恒负，故不存在零点，在(0,+)上递减，fx335()=−=220f2，()=−=−22f10而，122()内趋向于时，()趋向正无穷，而趋向于正无穷时，()趋向负无穷xfxxfx0.综上，零点所在的一个区间是().1,2故选：C4.【答案】B【分析】利用基本不等式即可求解.112x0x+2x=2【详解】因为x0，，由基本不等式，，2x2x12x==当且仅当，即x时，等号成立．2x2故选:B.5.【答案】A【分析】由偶函数、增函数的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，f(x)=x+2的定义域为R，关于原点对称，(−)=−+=+=()，所以()为偶函数，fxx2x2fxfxfxx2fx当x0时，()=+，所以()在区间()上单调递增，故正确；A对于B，()=−x的定义域为R，关于原点对称，fx(−x)=()，所以()不是偶函数，故错误；3xffxfxB()=fxxx0，不关于原点对称，对于C，x的定义域为所以()不是偶函数，故C错误；fxfx=−x+1的定义域为R，关于原点对称，对于D，()2(−x)=−x2+=()，所以()为偶函数，f1fxfx又()在区间()上单调递减，故错误.fxD故选：A.6.【答案】A【分析】解分式不等式和绝对值不等式，进而求出p是q的充分不必要条件.1x−11x−12−xx−11−100，解得1x2，【详解】2x−13−32x−13，解得1x2，，即因为1x2−1x2，但−1x21x2，故p是q的充分不必要条件.故选：A7.【答案】D【分析】由题设xR，使得ax2−2ax+30为真，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围，注意讨论a=0的情况.【详解】由题设，xR，使得axa02−2ax+30为真，0a3.所以Δ=4a2−12a0又a=0时ax2−2ax+3=30恒成立，综上，0a3.故选：D8.【答案】D【分析】先解出AA={x||x−a=【详解】解：因为集合，A=a−1a+，，所以因为B=3}AB，，，，所以a11，或−=a−1=−3，或a−1=b，①当a−1=1时，即a=2A=，，，此时可知B=3，，a=2，b=3，成立，即；②当a−1=−3时，即a=−2A=3，，，此时可知B=3，，，成立，即a=−2，b1；1b时，则−=a+1=1或−3:③当a当a+1=1时，即a=0，A=−1，，此时可知B=3，，，成立，即a=0，b；当a+1=−3时，即a=4A=5−，此时可知B=3，，，，，成立，即a=4，b=−5；综上所述：a故选：D．=2，b=3，或a=−2，b，或a=0，b，或a=4，b=−5，共4对．【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．9.【答案】B【详解】试题分析：当时，时，，此时，当，故选B.成立，当时，时，，当时，，即，当a恒成立，所以的取值范围为考点：集合的关系10.【答案】C【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；对③④，根据A利润是B的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可B3A的纵坐标之和显然最大，故3月A、B两种商品的总销售量3【详解】对①②，根据统计图可得，最多；故②正确；，对③④，因为A商品卖出一件盈利20元，B商品卖出一件盈利元，根据统计图，若用对应的点表示对20A+10B20A+10BA+1020应点的纵坐标，则易得，故③正确211332综上②③正确故选：C.二、填空题(−,0【答案】【分析】根据二次根式的意义和指数函数的性质即可求解.【详解】由题意知，1−2021=22x在R上单调递增，所以x0，xx0，又函数y=即函数f(x)的定义域为(,0−.故答案为：(,0−.12.【答案】{(2),【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集.x2+x−2=(x+2)(x−=0，可得x=2或x=1，【详解】由=2时，x+y=−2+y=0y=2，即当x；当x=1时，x+y=1+y=0，即y=−1；{(2),.所以原方程的解集为故答案为：{(2),13.【答案】4f【分析】应用换元法求f(x)的解析式，再求【详解】令t=x+1，则x=t−1，ft)=t−2，即f(x)=(x−2.即可.∴∴f=−=4.2故答案为：41132−,−14.【答案】【分析】由题意可知，3和2是方程ax2−5x+b=0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．【详解】解：由题意可知，3和2ax2−5x+b=0的两根，且0，5ba−3+2=(2=，=−5，b=30，，aa不等式bx−5x+a0为30x25x50，−−25(3x+x−0即，13113212解得x或x−−,−．即不等式的解集为−,−1132故答案为：．15.【答案】{x−2x0或x【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合图形，即可求解.【详解】由题意知，奇函数f(x)在(−,0)单调递减，f(−2)=0，所以函数f(x)在(0,+)单调递减，且f(2)=0，如图，由图可知，故答案为：{x−2x0或x.−f(x)0的解集为{x−2x0或x.16.【答案】①.1②.1a0）由题意，不等式ax2−2x+a0的解集只有一个元素，利用开口方向和判别式控制，列出不等关系，即得解；0S−1Saa(−−2(−+a0，求解即可2（2）由且，列出不等关系）由题意，不等式ax2−2x+a0的解集只有一个元素a=(2)2−4a2=0，解得a=1−1S且故0S（2）由题意，aa(−−2(−+a0，解得1a02故故答案为：，1a0141,1.−,+17.【答案】①.【详解】若c21114x3x2+x−,2,,+f，由二次函数的性质，可得，的值域为1−,+1−,2121f(x)=−+=−+x=2且x值域为，时，x2时，x2x，要使，若44c0+c2?41{c21211()的值域为−fx，则，得，故答案为,2c2c，实数的取值范围是,1,1.41222c18.【答案】②③.【分析】①10罐可乐有10个可乐空罐，第一次可换3罐可乐还剩1个空罐，第二次可换1罐可乐还剩2个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；②：先分析购买罐可乐的情况，再分析购买罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；③：先分析购买1到9罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出()的结果.fn【详解】①：购买10罐可乐时，第一次可换3罐还剩1个空罐，第二次可换1罐还剩2个空罐，所以最多可饮用10+3+1=14罐可乐，故错误；②：购买罐时，第一次可换罐可乐，第二次可换7罐可乐还剩1个空罐，第三次可换2罐可乐还剩2个空罐，第四次可换1罐可乐还剩2个空罐，所以一共可饮用66+22+7+2+1=98罐；购买罐时，第一次可换罐可乐还剩1个空罐，第二次可换7瓶可乐还剩2个空罐，第三次可换3罐可乐，第四次可换1罐可乐还剩1个空罐，所以一共可饮用67+22+7+3+1=100罐；所以至少需要购买罐可乐，故正确；③：购买1到9罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：购买数饮用数剩余空罐数123124571212121214567810111389由表可知如下规律：（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为1，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为2；（2）实际饮用数不是3的倍数；（3）每多买2罐可乐，可多饮用3罐可乐，（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的倍少0.5或1；()，fnn设购买了罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为n−1=−*()n2mmN)m−2n=2m−mN*2fn=所以()fn()=，即，即()n−2m−1n=2,mN*n=2m,mN)*2n−12n−2)n+n+n=2m−mN*()=fn，n=2m,mN)*2n−1n−2n−12n−1n−12f(n)=n+,又因为可看作，即不大于的最大整数，所以成立，故正确；222故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题.三、解答题19.【答案】答案及证明见解析【分析】利用作差法比较代数式的大小，注意分类讨论.【详解】当ab时a3−32−2ab时−bab−a，证明如下：babab；当a3322ba3−b−(ab−ab)=a3223−b3−ab2+a2b=a2(a+b)−b2(a+b)=(a2−b)(a+b)=(a−b)(a+b)2，2当ab时，a−b0，当ab时，a−b0，(a+b)(a+b)220，故a0，故a33−b−b33ab22−a−a22b；abb；x20.f(x)=(−)上是减函数，证明见解析.−1在区间x2f(−x)=−f(x)，证明f(x)为奇函数；（Ⅱ）按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明.，D=xx1f(x)的定义域为−x(−x)f(−x)==−f(x)，所以f(x)是奇函数.对于任意xD，因为2−1xf(x)=(−)上是减函数.（Ⅱ）函数−1在区间x2证明：在(−1)上任取x，x，且xx，2121(1+xx)(212−)121()−()=−=fxfx则.122−2−(−−)x1x112x121221由1121，得1+xx0x−x0，，x2−10，210，2−12211fx−fx0所以()()f1()()f2，即.12xf(x)=(−)上是减函数.所以函数−1在区间x221.1）22）详见解析−fx=−x+x，首先判断函数在定义域上的单调性，再判断函数的最小值；）()2（2）当a=0时，f(x)=x，单调递增求函数的最大值，当2a0时，分情况讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最大值.12214f(x)=−x2+x=−x−+）当a=−1时，.1212所以()在区间()单调递减fxfx,2上单调递增，在上.f0=0f2因为()，()=−，2所以()的最小值为2.fx−（2）①当a=0时，f(x)=x.所以()在区间0,2上单调递增，fx所以()的最大值为()=f22.fx1当2a0时，函数f(x)=ax2+xx=−图象的对称轴方程是.2a1112a10−22a−f(x)的最大值为时，f−=−②当③当，即，2a44a1−a0f(x)2在区间上单调递增，时，4所以()的最大值为()=+f24a2.fx112a12a−f(x)f−=−综上，当时，的最大值为；44a1−a0f(x)的最大值为4a+2.当时，4【点睛】本题考查二次函数求最值，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于基础题型.22.1）{xx1或x+)（2）（3）(4)）由题意得x2−2x−30，求解即可得出答案；−=−−（2）函数f(x)ax22ax3a(x2=−−a3(a0)，可得二次函数f(x)图象的开口向上，且对称轴为x=1，题意转化为f(x)min≥0，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可得出答案．【小问1当a=1时，f(x)=x−2x−3，2f(x)0，即x2x3，1或−2x−30，解得x−∴不等式的解集为{xx1或x；【小问2f(x)=ax2−2ax−3=a(x−2−a−3(a0)，x+)则二次函数f(x)图象的开口向上，且对称轴为x=1，∴f(x)在+)上单调递增，f(x)=f=a−3，；f(x)0在+)f(x)min≥0，上恒成立，转化为+)∴a30，解得−a1a，故实数的取值范围为【小问3f(x)=0关于x的方程有两个不相等的正实数根x,x，12∵f(x)=ax−2ax−3，120，+xx0，212Δ=4a+12a02∴a0且x+x=20a−3，解得，123=−xx012a612+22=(x+x)2−2xx=4+，1212a6g(a)=4+a−3令（a(−,−在上单调递减，6(−0)g(a)(2,4)，，ax21+x22(2,4)的取值范围为．故800x−39000,100x130y=II）.23.I）65000,130x150【分析】（I）分情况考虑：100x130,130x150yy，分别求解出每一种情况下的表示，由此可得到关于x的分段函数；x（II）根据条件分段列出不等式，求解出每一个不等式的解集，由此求解出市场需求量的范围.I）当100(−)吨，x130时，此时130x吨的该农产品售出吨，未售出130xy=500x−300130−x()，即y=800x−39000；所以=y=，即，当130x150时，此时130吨的该农产品全部售出，所以y500130800x−39000,100x130y=