13.5 逆命题与逆定理-2023-2024学年华东师大版数学八年级上册课件

13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理1.理解互逆命题、互逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并能判定其真假；(重点)2.能用学过的知识证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题.(难点)学习目标1.什么叫命题？2.命题由几部分组成，一般可以写成什么样的形式？3.命题有真命题和假命题之分.复习引入表示判断的语句叫做命题.由条件和结论两部分组成.可以写成“如果……，那么……”的形式.互逆命题与互逆定理说出下列命题的条件和结论：1.两直线平行，内错角相等；2.内错角相等，两直线平行；指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.

例1(2)等边三角形的每个角都等于60°.（3）全等三角形的对应角相等.（4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.知识归纳

每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．

例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．例2举例说明下列命题的逆命题是假命题.（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．归纳一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理.2.线段垂直平分线1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.(重点)2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.3.了解数学和生活的紧密联系.学习目标

高速公路AB在某高速公路

l的同侧，有两个工厂

A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?l生活中的数学线段垂直平分线的性质定理如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.MNPACB对折后

PA、PB能够完全重合，PA=PB.下面我们来证明刚才得到的结论：证明：∵MN⊥AB（已知），∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).在△ACP和△BCP中，∵AC=BC，∠ACP=∠BCP，PC=PC，∴△ACP≌△BCP(S.A.S.).∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).MNPACB你能用一句话来描述刚得到的结论吗？线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：MNPACB几何语言叙述：∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），∴PA=PB.线段垂直平分线的判定定理这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段两端的距离相等一个点到线段两端的距离相等这个点在线段的垂直平分线上想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？逆命题如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.已知：如图，QA＝QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．

分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，故∠QCA=∠QCB=90°.在Rt△QCA和Rt△QCB中，∵QA=QB，QC=QC，∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.∴AC=BC.∴点Q在线段AB的垂直平分线上．定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.PAB线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.PAB线段垂直平分线的判定发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．l是

AB的垂直平分线m是

BC的垂直平分线OA=OBOB

=OCOA

=OC点

O在

AC的垂直平分线

n上BCAOlnmBCAPlnm3.角平分线1.会叙述角平分线的性质及判定；（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力．学习目标ABC问题情境在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？DPACBEO角平分线的性质定理如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.DPACBEO证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE中，∵∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP，∴△OPD≌△OPE(A.A.S.).∴PD＝PE.角平分线性质定理的逆定理这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？一个点在角的平分线上这个点到这个角两边的距离相等一个点到角两边的距离相等这个点在这个角的平分线上逆命题如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.分析：为了证明点

P在∠AOB的平分线上，可以先作射线

OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.BADOPE证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO(H.L.).BADOPE∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.∴点P在∠AOB的平分线上.BADOPEDPACBEO应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.DPACBEO利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线交于一点．怎样证明这个结论呢?A

B

C

P

N

M

点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：A

B

C

O

F

H

DEIG试试看，你会写出证明过程吗？AO是∠BAC的平分线BO是∠ABC的平分线OI=OHOG=OIOH=OG点

O在∠BCA的平分线上例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P也在∠A的平分线上.ABCPNM证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠A的平分线上，即点P到AB、BC、CA三边的距离相等.ABCPEDFMN1.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.同旁内角互补，两直线平行.(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真命题逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真命题当堂练习2.说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.1.如图所示，AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBAＡＢＣＤ2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点在组合共有_________种.无数当堂练习3.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有__________（填序号）.①②③4.在锐角三角形ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D5.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是__________cm.16ABCDE1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠FDB=60°，则∠EBF=______°，BE=____________.60BFEBDFACG2.如图，△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠CBE=∠ABE，且AC=6cm，那么线段BE是∠ABC的______________，AE+DE=______cm.ABEDC角平分线6当堂练习3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.CFAEDB证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.∵在Rt△CDF和Rt△EDB中，

CD=ED，DF=DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(