专题09 几何最值问题（原卷版）

2/2专题09几何最值问题目录热点题型归纳题型01将军饮马模型 1题型02费马点模型 6题型03阿氏圆模型 15题型04隐圆模型 20题型05瓜豆圆模型 28中考练场 33题型01将军饮马模型【解题策略】两定一动模型一定两动模型（同侧）（异侧）两线段相减的最大值模型（三点共线）【典例分析】例．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是．【变式演练】1．（2022·山东枣庄·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．2．（2023广东广州·模拟预测）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为．题型02费马点模型【解题策略】将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。【典例分析】例．（2023全国·中考模拟预测）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【变式演练】1．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=．2．（2023广东·一模）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值。3．（2024湖北中考·二模）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．题型03阿氏圆模型【解题策略】问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，④则，当A、P、C三点共线时可得最小值。【典例分析】例．（2023·广西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【变式演练】1．（2023·甘肃天水·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为．2．（2023江苏·二模）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是．题型04隐圆模型【解题策略】定点定长定弦定角四点共圆最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径；最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径。【典例分析】例．（2023·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是．

【变式演练】1．（2024浙江金华·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．3．（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为．题型05瓜豆圆模型【解题策略】条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．【典例分析】例．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是．

【变式演练】1．（2023江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为．2．（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（

）A．8 B． C．10 D．3．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（）A． B．4 C． D．61．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为．3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．4．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．5．（2022·广西·中考真题）如图，在边长为的