期中压轴题专练：解答题压轴题训练（一）（解析版）-人教八下期中考试

八下期中考试解答题压轴题训练（一）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题1．阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如其思考过程如下：设（其中均为正整数）则有，∴，请你解决问题：（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得：=_____，=____．（2）利用所探索的结论，找一组正整填空：____+____=；（3）若，且均为正整数，求的值．【答案】（1），；（2）13，4，1，2（答案不唯一）；（3）或．【分析】（1）利用完全平方公式得到，则，；（2）可设，，根据（1）中的公式代入即可；（3）由于，则，即，所以，或，，然后分别计算对应的的值．【详解】解：（1），，；故答案为，；（2）令，，则，，故答案为13，4，1，2（答案不唯一）；（3），，即，而、为正整数，，或，，当，时，，当，时，．故或．【点睛】本题考查了二次根式的计算．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式．2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．过A作AC⊥OA且AC＝10，连接BC，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→C→B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）如图1，把长方形沿OP折叠，点B的对应点B1恰好落在AC边上，求点P的坐标；（2）若点D（0，2）为y轴上的一点，点P在运动的过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点P的坐标是（，10）；（2）存在，P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）【分析】（1）当点B的对应点B1恰好落在AC边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标；（2）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）如图1中，设P（m，10），则PB＝PB1＝m，∵OB1＝OB＝10，OA＝6，∴AB1＝＝8，∴B1C＝10﹣8＝2，∵PC＝6﹣m，∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝，则此时点P的坐标是（，10）．（2）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，根据勾股定理得：CP1＝＝2，∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；③当DB＝DP3＝8时，在Rt△DEP3中，DE＝6，根据勾股定理得：P3E＝＝2，∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．【点睛】本题主要考查几何图形中的动点问题，掌握等腰三角形的定义，勾股定理并分情况讨论是关键．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．【答案】【分析】取AC的中点D，连接BD、OD，可知第三边OB的最大值就是另两边的和．【详解】解：如图7-2，取AC的中点D，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，∴OD＝AC＝1，BD＝．在△OBD中，总是有OB＜OD＋BD．如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为．

【点睛】本题考查了最短路径问题和斜边中线的性质，解题关键是恰当的作辅助线，构造三角形，利用三边关系解决问题．4．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：，，所以，问题：（1）填空：__________，____________﹔（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化简：（请写出化简过程）【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．【详解】解：（1）；；（2）；（3）==．【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．5．已知，H为射线上一定点，，P为射线上一点，M为线段上一动点，连接，满足为钝角，以点P为中心，将线段顺时针旋转135°，得到线段，连接．（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接．写出一个的值，使得对于任意的点M总有，并证明．【答案】（1）画图见解析，（2）证明见解析，（3）OP=，证明见解析．【分析】（1）按照题意画图即可；（2）证明和与∠OPM的和都是135°即可；（3）过点N、P分别作OB、OA的垂线，垂足分别为D、C，证△PDN≌△MCP，Rt△ODN≌Rt△QCP，列方程即可求出OP．【详解】（1）如图所示：（2）由旋转得，∠OPN+∠OPM=135°，∵∠POM+∠PMO+∠OPM=180°，∠POM=45°，∴∠OMP+∠OPM=135°，∴；（3）OP=；过点N、P分别作OB、OA的垂线，垂足分别为D、C，由（2）得，，∴，∠PDN=∠MCP=90°，PN=PM，∴△PDN≌△MCP，∴PD=MC，ND=PC，∵，∴Rt△ODN≌Rt△QCP∴OD=CQ，设PC=OC=a，则PO=a，CH=OH-OC，MH=HQ=MC+CH，CQ=MQ-MC=2(MC+CH)-MC=2CH+MC，OD=2CH+MC，PO=2CH+MC-PD=2CH，a=2（-a），解得，a=1，即OP=；【点睛】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题关键是恰当作出辅助线，构建全等三角形，然后列方程解决问题．6．在菱形中，，为菱形内对角线右侧一点．（1）如图1，连接，若，求证：；（2）如图2，过点作于点，于点，于点．连接，若，求面积的最大值．【答案】（1）证明解详解；（2）【分析】（1）延长DP至E，使PE＝PB，连接BE，根据菱形的性质和等边三角形的判定易证：△ABD和△PBE是等边三角形，继而根据“SAS”证得：△ABP≌△DBE，根据全等三角形对应边相等和等量代换即可求证结论；（2）连接DP、BP、CP，设AC、BD相交于点O，根据图形可知：S△BCD＝S△BDP＋S△BCP＋S△CDP，进而可得：，根据图形可得：S△EFG＝S△PEF＋S△EPG＋S△FPG，设，，，继而可得，继而即可求解．【详解】（1）延长DP至E，使PE＝PB，连接BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝AD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠BPD＝2∠BAD，∴∠BPD＝120°，∴∠BPD＋∠BPE＝180°，∴∠BPE＝60°，∵BP＝PE，∴△PBE是等边三角形，∴BP＝BE，∠PBE＝60°，∴∠ABD＝∠PBE，∴∠ABD＋∠DBP＝∠PBE＋∠DBP，即∠ABP＝∠DBE，在△ABP和△DBE中，，∴△ABP≌△DBE（SAS），∴AP＝DE，∵DE＝DP＋PE＝BP＋DP，∴AP＝BP＋DP；（2）连接DP、BP、CP，设AC、BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6∴AC⊥BD，OB＝OD，BC＝CD＝BD＝6，OB＝3∴∴S△BCD＝∵S△BCD＝S△BDP＋S△BCP＋S△CDP∴∵∠BCD＝∠CBD＝∠BDC＝60°，PF⊥BD，PE⊥CD，PG⊥BC，∴∠FPG＋∠DBC＝180°，∠FPE＋∠BDC＝180°，∠FPG＋∠BCD＝180°，∴∠FPG＝∠FPE＝∠EPG＝120°∵S△EFG＝S△PEF＋S△EPG＋S△FPG设，，∴∴∵∴∴S△EFG＝,S△EFG最大值为．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质、三角形面积公式，勾股定理，综合性较强，解题的关键是综合运用所学知识．7．观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．【分析】（1）应用二次根式对根式进行变形，总结规律，三个连续自然数的倒数，第一个乘以后两个的差，结果等于中间数作结果的系数，中间数的分母作结果中被开方数的分子，另两个数的分母的乘积作被开方数的分母，即可得到结果；（2）根据（1）即可得到等式．【详解】解：（1）猜着：验证：；（2）（为正整数，）．【点睛】本题考查二次根式的化简，同时考查学生归纳总结的能力，特别注意写用含n的式子表示时一定要写上相应的n的取值范围．8．如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接，．（1）如图1，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．（2）如图2，若点哈好在上，且为的中点，，求的面积．（3）如图3，设与的交点为，若，，，求的长．【答案】（1），，见解析；（2）；（3）．【分析】(1)结论:AC=BD，AC⊥BD.如图1中，设AC交BD于K，OA交BD于E.证明△AOC≌△BOD(SAS)即可解决问题.(2)如图2中，作OH⊥CD于H.首先证明OH=DH=CH，设OH=DH=CH=m，构建方程求出m即可解决问题.(3)如图3中，连接BC，作BH⊥CO交CO的延长线于H.依次求出OB，OH，BH，CH，再求出OC即可解决问题.【详解】（1）如图，设交于点，交于点，图1所以，∴，∴，，∴≌（SAS），∴，，∴，，∴，∴，∴．（2）如图，作于点，图2∵，，，∴，设，则，∵，，，∴，在中，∵，∴，解得或（舍），∴，，∵≌，．（3）如图，连接，图3作交的延长线于点，∵，，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，，在中，，∴，∵，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.9．在和中，，且，．（1）如图1，如果点D在BC上，且，，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且，求证：；（3）如图3，若，绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出的值．【答案】（1）5；（2）见解析；（3）．【分析】（1）连接，根据同角的余角相等得到，继而证明，由全等三角形的性质，得到，，接着证明是直角三角形，最后根据勾股定理解题即可；（2）先证明，再由全等三角形的性质得到，由等角的余角相等得到，继而可证，根据内错角相等，