全国卷12025届高三数学月考试题五理含解析

PAGE21-（全国卷1）2025届高三数学月考试题五理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据对数真数为正实数化简集合的表示，依据补集的定义、交集的定义进行求解即可.【详解】，得，则，所以，即．故选：C【点睛】本题考查了集合补集和交集的运算，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算实力.2.高一2班有45名学生，学号为01-45，为弘扬中国古诗词文化，现采纳随机数表法从该班抽取7名同学参与校内诗词朗诵大赛，从随机数表第5行第15个数起先向右数，随机数表的第5行和第6行，则抽取的第7个同学的学号是()1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676A.26 B.35 C.20 D.43【答案】A【解析】【分析】依据随机数的读取规则，结合表中数据，即可求得结果.【详解】选取的7名同学的学号依次为43，17，37，23，35，20，26.所以抽取的第7个同学的学号是26.故选：A.【点睛】本题考查随机数表法的操作，属简洁题.3.已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满意，则不等式的解集为（）．A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据奇函数的性质先推断奇函数的单调性，再依据单调性和奇函数的性质进行求解即可.【详解】由奇函数图象性质知的图象在上单调递增，，则，即，所以，解得．故选：D【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算实力.4.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线渐近线上一点，若是等边三角形（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（）．A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】依据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、之间的关系进行求解即可.【详解】由在渐近线上且是等边三角形，其中一条渐近线的斜率，所以离心率．故选：B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算实力.5.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个．其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若和均是素数，素数对称为孪生素数．从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出15以内的素数，然后再确定素数对，最终依据古典概型计算公式进行求解即可.【详解】依题意，15以内的素数有2，3，5，7，11，13，共有6个，由列举可知．从中选取两个共包含15个基本领件，而孪生素数有，，三对，包含3个基本领件，所以概率为．故选：C【点睛】本题考查了数学阅读实力，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算实力.6.图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成果，学生成果的编号依次为，，，…，，则运行图2的程序框图，输出结果为（）．A.121 B.119 C.10 D.5【答案】C【解析】【分析】通过执行程序框图识别框图的功能，再依据茎叶图统计出相应分数的人的个数即可.【详解】由程序框图可知该框图的功能是统计分数不小于120分的人数．通过茎叶图可知分数不小于120分的人数为10.故选：C【点睛】本题考查了程序框图的功能，考查了茎叶图的应用，属于中档题.7.函数的部分图象，如图，则()A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由函数最值和周期性求得，由五点作图法求得，即可求得函数解析式和函数值.【详解】因为的最大值为，最小值为，故可得；因为的周期，故可得；由五点作图法即可得：，解得.故可得，则.故选：D.【点睛】本题考查由三角函数的图像求函数解析式，属基础题.8.已知向量和向量满意，且，则向量与的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据平面对量模的运算性质，结合平面对量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，所以有，所以化简得：，，，所以．故选：D【点睛】本题考查了平面对量夹角公式的应用，考查了平面对量模的运算性质，考查了数量积的运算性质，考查了数学运算实力.9.已知函数，则下列能正确表示函数（粗线）及导函数（细线）图象的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据的奇偶性，以及的大小，即可推断.【详解】，故可得，又，所以是偶函数，故解除；因为，故解除；，故解除；只有满意全部条件.故选：A.【点睛】本题考查原函数与导函数的图像，涉及导函数的求解，属综合基础题.10.在的绽开式中的系数为()A.20 B.19 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】依据绽开式的通项公式，结合的产生，即可求得结果.【详解】二项式绽开式的通项公式，，，则的绽开式中的系数为.故选：B.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，属基础题.11.已知函数，则函数图象与直线的交点个数为（）．A.5 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，问题转化为方程的根的个数，运用换元法，结合函数图象，分类探讨进行求解即可.【详解】如图为函数的图象，函数图象与直线的交点个数即为方程的根的个数，令，则．即找寻直线与图象的交点个数．当时，，得，与的图象1个交点；当时，，解得或（舍），当时，，与图象的2个交点．综上所述，直线与图象一共4个交点．即满意题意的交点个数为3个．故选：D【点睛】本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算实力.12.已知点，分别是抛物线和圆上的动点，点，则的最小值为()A.10 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，用表示出；依据圆上一点到定点距离的范围，求得的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值.【详解】设点，因为点在抛物线上，所以，因为点，则.又知点在圆上，圆心为抛物线的焦点，要使的值最小，则的值应最大，即.所以当且仅当时等号成立.所以的最小值为4.故选：B.【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________【答案】【解析】【分析】利用与之间的关系，利用诱导公式和正弦的倍角公式，即可求得结果.【详解】由题，即可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式，正弦的倍角公式化简求值，属基础题.14.在复平面内，复数满意：，则复数对应的点的轨迹方程是__________．【答案】【解析】【分析】设对应点，依据复数模的计算公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】设对应点，则，设点，，则，所以点在以，为焦点的椭圆上，轨迹方程为．故答案为：【点睛】本题考查了复数模的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算实力.15.如图在等腰直角三角形中，斜边，为中点，将沿中线折叠得到三棱锥，若，则该三棱锥外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】将三棱锥补为三棱柱，求得三棱柱的外接球半径，即可求得结果.【详解】将该三棱锥补成三棱柱，如下图所示：又因为是边长为2的等边三角形，故其外接圆半径；又棱柱的高；则该三棱柱的外接球半径.所以外接球表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，属中档题.16.在边长为等边中，是中心，直线经过点且与，两边分别交于，两点，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】设，在中由正弦定理，用表示出，再利用正余弦的和角公式，将表示为的函数，求该函数的最值即可.【详解】设中点为，，，如下图所示：因为是重心，所以.在中，由正弦定理得，，所以，同理在中，由正弦定理得.所以，，当时，.故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，属综合中档题；本题中，选择角度为变量，是解决问题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列的首项为1，当时，其前项和满意.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求满意的最小的值.【答案】（1）；（2）20【解析】【分析】（1）利用之间的关系，将递推公式转化为之间的关系，构造数列，求得，进而求得；（2）由（1）中所求，解得，利用裂项求和法求得，解不等式即可求得结果.【详解】（1）在数列中，，当时，，即，所以，化简得.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，解得.当时，.当时不满意，所以.（2）由（1）知，所以..若，即，解得.所以满意的最小的值为20.【点睛】本题考查利用求数列的通项公式，裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.18.在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是菱形且与底面垂直，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交交于，连接，通过证明//，即可得证线面平行；（2）以中点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，通过向量法即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）连接，交于点，连接.因为，所以,又因为，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）过作于，因为，所以是线段的中点.因为平面平面，平面平面，所以平面，连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以.所以平面.如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，不妨设，则，，，，，由，得，则的中点，从而，.设平面的法向量为，则，即，不妨取，得，即.易知平面一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解二面角的大小，属综合中档题；本题的难点在于合理的建系.19.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，直线方程为或．【解析】【分析】（1）依据椭圆焦点三角形的性质，结合，进行求解即可；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，依据弦长公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）由题可知当点在短轴端点时，面积最大，值为①，此时，，所以②，又知③，由上述3个式子解得，，．所以椭圆的标准方程为．（2）存在，由（1），由题意可知直线与轴不重合，所以设，与椭圆方程联立得，则，，，则，，解得，即直线方程为或．【点睛】本题考查了椭圆焦点三角形的性质，考查了已知椭圆弦长求直线方程问题，考查了数学运算实力.20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若当时，总有，求的最大值.【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）5.【解析】【分析】（1）求导，依据导数的正负即可推断函数的单调性，从而求得函数的单调区间；（2）分别参数，构造函数，利用导数求得该函数最小值的范围，即可求得参数的范围.【详解】（1）当时，，定义域为，，由得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由题当时，恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，令，则，令，则在时恒成立.所以在上单调递增，又知，，所以在上存在唯一实数，满意，即，当时，，即；当时，，即.所以函数在上单调递减；在上单调递增.即.由在时恒成立，所以，又知，所以整数的最大值为5.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数求函数的最值，涉及分别参数法，属综合中档题.21.某工厂生产某款机器零件，因为要求精度比较高，所以须要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由专家依据各种系数制定了质量指标值，从生产的大批零件中选取100件作为样本进行评估，依据评估结果作出如图所示的频率分布直方图.（1）（ⅰ）依据直方图求及这100个零件的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（ⅱ）以样本估计总体，经过专家探讨，零件的质量指标值，试估计10000件零件质量指标值在内的件数；（2）设每个零件利润为元，质量指标值为，利润与质量指标值之间满意函数关系.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估算该批零件的平均利润.（结果四舍五入，保留整数）参考数据：，则，，【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）8186；（2）182元.【解析】【分析】（1）（ⅰ）利用频率分布直方图的面积为，求得；再依据频率分布直方图求平均数即可；（ⅱ）依据正态分布的概率计算，结合（1）中所求，即可求得质量指标值在内的概率，进而结合总体数量求得结果；（2）依据题意，结合利润计算的函数关系，即可简洁求得.【详解】（1）（ⅰ）由，解得.（ⅱ）由题，所以..所以10000件零件质量指标值在内的件数约为8186.（2）由题意得该零件的平均利润为182元.【点睛】本题考查频率分布直方图中参数和平均数的求解，正态分布的概率计算，属综合中档题.（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（是参数），曲线的极坐标方程为．（1）求直线的一般方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，点为曲线上一点，求使面积取得最大值时的点坐标．【答案】（1）；．（2）【解析】【分析】（1）利用加减相元法把直线