初中数学等腰三角形考点方法考题解析

初中数学等腰三角形考点方法考题解析考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典·考题·赏析等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【解法指导】若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD＝400，∴∠A＝500∴∠B＝∠ACB＝QUOTE如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【变式题组】01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C.7或11D．7或1002.（黄冈）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．【解法指导】图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．解：设∠A＝x,

∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【变式题组】01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大小．【例３】已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A．4B．5C．6D．8【解法指导】⊿AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐标轴上的点．要考虑x轴与y轴两种情况．解：①如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线与坐标轴的交点；②如图2，当OA为腰时，若O为顶点，则B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；③如图3，当OA为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点.故选D.【变式题组】01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP为等腰三角形的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个02．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，QUOTE），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．ABABCDPE第2题图第4题图第3题图第2题图第4题图第3题图03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4B．3C．2D．1ACBMDE(例4题图)04．（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝QUOTE，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点EACBMDE(例4题图)A．2个B．3个C．4个D．5个【例４】（枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【解法指导】判断⊿MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证∠EMC＝900，而⊿ABD为等腰三角形，M是BD的中点，若连接AM则有∠AMD＝900,因而只需证∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．解：的形状是等腰直角三角形，理由如下：连接，由题意得：．．又，．．．．又，．．所以的形状是等腰直角三角形．【变式题组】01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．⑴求证：AD⊥CF;⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．03．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．【例５】我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解法指导】证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；图1⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．图1证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∵∠DCB＝∠EBC＝QUOTE∠A，BC为公共边，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可证△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四边形DBCE是等边四边形．图2证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．图2∵∠DCB＝∠EBC＝QUOTE∠A，BC为公共边，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等边四边形．【变式题组】01．如图，在QUOTEABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的长．03．如图，在QUOTEABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.【变式题组】01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．200B．1200C．200或1200D．360002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9B．15C．15D．12或1503.（云南）如图，等腰QUOTEABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则QUOTEBEC的周长为（）A．13B．14C．15D．1604．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．108005．如图，RtQUOTEABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF06．如图，QUOTEABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①QUOTEBDF和QUOTECEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③QUOTEADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．150008．（滨州）已知等腰QUOTEABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.09．如图所示，在QUOTEABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是QUOTEABC的角平分线，则AD＝___________.10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.11．(乌鲁木齐)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①，②，③，④．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知：BEDABEDAC证明：12．（泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；⑵证明：．图1图1图2DCEAB13.（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．⑴如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？AAQCDBP14.（临沂）如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．⑴在图1中，交于，交于．①证明；②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；图1图2图3⑶继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图1图2图3培优升级·奥赛检测01．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC,PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP;②QUOTE③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④02．如图，点A是QUOTE网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（）A.10个B.12个C.14个D.16个03．如图，在QUOTEABC中，AB＝BC,MN＝NA,∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.04．