【课件】圆锥曲线专题复习的难点突破教学

圆锥曲线专题复习的难点突破教学目录一、专题综述二、难点与剖析三、热点题型四、感悟反思

五、高考复习备考的建议和思考六、数学核心素养、课堂教学、教师专业成长

高考对圆锥曲线的考查，侧重于圆锥曲线的定义与几何性质，特别是圆锥曲线定义的运用、曲线性质的进一步探究（离心率、定点、定值等），都是高考的热点。运算量大，过程复杂是解答圆锥曲线问题的最大困难。解析几何的特点就是用代数方法研究几何问题，代数运算不可避免。复习中要注意回归定义、揭示本质，提炼方法，渗透思想，加强探究，深化认识，注重问题的深刻理解与本质发现，加强对圆锥曲线性质的探究，通过典型问题提炼解题的方法技巧，是突破难点的有效措施。

直线与圆锥曲线的位置关系，集中交汇了高中解析几何中直线、圆锥曲线的部分的知识内容，还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、平面几何等许多知识，形成了弦长、对称、最值、范围、存在性等问题，对于考查学生的数学思维能力、计算能力、推理能力等是一个很好的平台，因而成为解析几何中综合性最强、能力要求最高的内容，是高考考查的热点、重点和难点。一、专题综述

考纲解读：对直线与圆锥曲线的要求，主要有两点：（1）与弦长有关的问题，包括弦长问题、中点弦问题。这类问题的要求是能用代数法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题；（2）直线与圆锥曲线的位置关系问题，这类问题的要求是能够把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的问题，通过方程组的解的情况，判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决相关的问题。尤其以考查直线与椭圆的位置关系最为常见。《考试大纲》要求理解“数形结合”的思想，因而教学中要把数形结合的数学思想方法贯穿在解决问题的过程中。

命题趋势分析：命题规律大致为：以直线与圆锥曲线的位置关系为入口，考查基本性质；以函数与方程的思想为背景，考查圆锥曲线的综合应用；以函数、向量、不等式等为素材形成交汇问题，考查综合运用知识与方法解决问题的能力。对直线与椭圆相交情况下的弦长、中点、距离、轨迹、定值、最值、范围、存在性问题考查频率高。题目的设问稳中求变，让不同层次的学生都能上手，并体现区分度。突出能力立意，强调通性通法，注重渗透数形结合、等价转换、整体代换、分类讨论等数学思想方法，注重多种方法的选择，有效控制运算量。1.难点的梳理从对学生能力考查的角度看，运算能力不足已经成为严重制约学生提高解题正确率的瓶颈。直线和圆锥曲线的考题既考查逻辑思维能力，又考查计算能力，强化对直线和椭圆的位置关系的通性通法的考查。思路具有较强的规律性，但运算过程常常显得比较复杂，因此在教学中如何提高学生的运算能力是本章内容的教学难点，也是学生解题的难点。从知识考查的角度看，圆锥曲线与三角函数、方程、不等式、平面向量等知识的综合运用，形成了弦长、对称、最值、参数范围以及存在性等问题，这些题目综合性强，对思维和运算能力要求较高，难度较大。2.突破难点的方法如何提高学生的运算能力，教学中尽量淡化技巧，不回避运算量较大的解题思路，尽可能地优化过程，降低运算量。在教学中，要高度重视通性通法的讲练，教师要在顺应学生的思路、完善学生的思路、优化学生思路的基础上，发挥好示范作用，带领学生尽可能地将运算进行到底。此外，要通过限时训练的方式，让学生在规定时间内独立完成运算能力要求较高的题目，不断鼓励学生去探索。对于弦长、对称、最值、参数范围以及存在性等难点的突破，概括起来，就是深刻领会和准确把握“用代数方法解决几何问题”的函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想，灵活地将各种形式的未知问题转化为我们熟悉的问题，进入“图形--方程组--函数--不等式”的解题程序，就能有效突破难点。解答策略上，力求多得分。提出”分层解析，逐一转化；多维审视，选择佳法；书写关键，力求完解“；即将题目中的条件分层解析，逐个转化，运算准确。二、难点与剖析

圆锥曲线中有关最值问题是高考的热点问题之一，多以直线与圆锥曲线位置关系为背景，求特定式子、特点量的最值等。由于这类问题中的几何元素（点、直线、圆锥曲线）处于运动变化中，而变化中又相互联系、相互制约，因而可以将其转化为相应变量之间的等量或不等量关系，通过构造函数、方程、不等式辅助利用基本不等式、换元等手段加以解决。具体来说，处理圆锥曲线最值的方法通常有三种：一种是几何法，利用圆锥曲线的统一定义和几何图形的性质求解；二是函数法，通常将问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，再求出函数的最值；三是根据曲线性质及条件建立一个变量的不等式，再解不等式求最值。关于面积问题，通常采取先求出弦长和点到直线的距离，这是解决这类问题的通性通法，但运算量大，复习时要注意优化方法。三、热点题型题型一、弦长、面积问题（一）三角形面积问题

本题第（Ⅱ）问主要考查直线方程，直线与椭圆的位置关系,三角形面积最值等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力.本题中的面积最值问题可推广为一般情形，可得到一些一般性结论.反馈练习：（二）四边形面积问题（转化为三角形面积问题解决）题型二：范围问题

圆锥曲线中的范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征，选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、导数法以及求三角函数最值的方法，讨论函数的最大值和最小值，进而确定参数的范围。这类问题，要注意未知数的取值范围的确定及最值是否存在的检查。

从国际视野的角度看，当今的数学教育趋势就是以理解为价值取向！以问题解决为价值取向！以数学探究为价值取向！因此，科学、合理、现代的数学高考就是要考数学理解！考数学问题解决！考数学探究！圆锥曲线解答题是整套高考数学卷的把关题之一，通常涉及求曲线方程、最值及范围、定点定值、定曲线等一系列问题.近年来，高考题在考查圆锥曲线方面常以探索性问题呈现，而不采用直白证明的形式.探索性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确的结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型，它是一个使学生经历发现问题、研究问题、解决问题的过程.圆锥曲线高考解答题的命制,常喜欢设计一些探究型、开放型的题目，让考生独立思考、自主探索、发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现创新意识、发挥创造能力创设广阔的空间.这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，又能很好地考查考生的运算求解、推理论证等数学能力,考查考生对转化与化归、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想和数学本质的理解水平,考查考生进入各级各类高等院校继续学习的潜能!题型三、定点、定值及存在性问题另外：离心率问题可参考2009年江苏13,2014年江西15,2011年浙江17，2016山东13,2013湖南14；2015年重庆21，陕西20，安徽20,2014年天津18题

存在性问题是高考中的热点题型。存在性问题通常分为动曲线特定性质的存在性、探求特殊点的存在性、探求动曲线特定性质的存在性、探求动直线特殊位置的存在性等问题。常见的解决方法有两类：一类是对于定值特征的存在性，通常先把相关变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，或相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与特定状态或与参数无关；另一类是对于其他存在性的探求，通常采用假设存在验证法，先假设存在，然后建立等量关系，若能求出相应的量，就说明存在，否则就不存在。定值问题：一般按一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）的步骤来处理。解析几何就是利用代数的方法解决几何问题，动点问题产生了轨迹，而轨迹反映了动点的变化规律，有些动点在变化但它会产生一些不变的定值。这类问题在高考中屡见不鲜，如2013年辽宁、山东2014年江西2015全国I、全国II理科解析几何题。突破这些难点的方法有：设而不求、几何法、参数方程等。轨迹问题：一般处理轨迹问题的常规方法有：待定系数法、直接法、定义法、相关点法、交轨法、参数法等。求轨迹问题有两个难点，即轨迹的“纯粹性”和“完备性”。为此需要注明轨迹方程中x或y的取值范围，以保证轨迹的“纯粹性”和“完备性”。轨迹问题在2014年广东理科、安徽、湖北；2015年广东理科、2013陕西、四川、上海等解析几何题都有考查。（四）

轨迹问题一般处理轨迹问题的常规方法有：待定系数法、直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。在复习备考中要梳理轨迹问题与定值问题的解决策略，要让学生参与到解决问题的全过程，引导学生对此类问题的解法进行归纳，以达到反思、巩固、提高的目的。让学生站在数学思想方法的高度去分析解决这类问题，以达到高屋建瓴的目的。要加大学生运算能力的培养，要求学生要敢于运算并要经常解后反思，从而对突破难点的策略胸有成竹。可参考以下高考题：2014年广东、安徽、湖北；2015年广东、2013陕西、四川、上海解析几何题。变式拓展

点评:该题可以较好地考查直线、圆、椭圆基础知识和定值、范围等问题,考查了考生运算求解能力和转化与化归、数形结合等数学思想方法,可以较好地检测考生的数学能力和数学素养.

以上内容是结合切点弦问题一起谈谈轨迹问题，详见我在《中学数学研究》（华南师范大学）2017年8月（上半月）刊出的论文《有关切点弦问题的说题感悟与拓展》。

另外，之前8月15日《例谈函数导数不等式压轴题突破策略教学》的说课内容可详见《中学数学研究》（华南师范大学）2017年6月（上半月）刊出的论文《例谈妙用函数型不等式巧解导数压轴题》和2107年11月（上半月）刊出的论文《题海无涯，感悟是岸！--由一道高考题谈常见函数型不等式证法的优化、推广与再应用》。

从国际视野的角度看，当今的数学教育趋势就是以理解为价值取向！以问题解决为价值取向！以数学探究为价值取向！因此，科学、合理、现代的数学高考就是要考数学理解！考数学问题解决！考数学探究！教师要抓好课堂教学，在重视基础知识和基本技能教学的同时，注重提升学生对数学思想方法和数学本质的理解水平.教师要精选习题,多设计能考查数学主体内容、体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现创新意识、发挥创造能力创设广阔的空间！选题要注重基础性、典型性、综合性、启发性、开放性和探究性，且要注重一般性的解题规律和方法(即通性通法)；要精选一些一题多变、一题多解、多题归一、有层次、有拓展的题目开阔学生思路，使学生能有新的体会和收获；要重视课本中的典型例题、习题和最近几年的高考题、高考模拟题，多些对课本例题、习题和高考题的进行改编与拓展.课堂教学中教师要引导学生重视对函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想方法的感悟及解题规律的总结与提升，提高学生的数学解题能力与数学素养.题海无涯，感悟是岸！数学好学、好用、好玩，要引导学生学好、用好、玩好数学！四、感悟反思

五．有关高考复习备考和课堂教学的几点建议和思考(在佛山市2017年高考数学总结会上做了经验交流)1.高考复习备考基本做法：（1）复习备考总原则:狠抓基础,狠抓重点,狠抓落实,狠抓复习备考的有效性;（2）复习备考策略:精选材料,拓实基础,有效训练,提升能力，智慧备考;（3）认真制订好教学计划,精心设计教学方案，统一教学内容、要求及大致复习进度,做好落实工作,认真做好第一轮、第二轮、第三轮复习备考工作!

第一轮复习，以覆盖知识内容、题型方法为主，注重抓好基础知识和基本技能，适当提升解题能力；

第二轮专题复习，以提高学生解题能力(空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识)和数学思想方法的渗透为主，强调综合性、方法性和解题能力的大幅提升！第二轮复习是在第一轮复习的基础上，对数学知识进行巩固和强化，是解题能力大幅提高的阶段.其指导思想是巩固、完善、综合、提高.巩固，是巩固第一轮复习成果，强化知识系统的记忆；完善，是指专题复习、查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，是减少单一知识点的训练，增强题目的综合性和灵活性；提高，是提高分析问题和解决问题的能力.对高考中的常考点、得分点、能力点、应用点、变化点、障碍点等知识，教师应精选训练题材，形成专题训练内容，组织好专题教学.教师要吃透教材，挖掘好课本例、习题和最近几年的高考题、高考模拟题.教师要狠抓课堂教学，提高复习效率。教师要精选试题,选题要有基础性、典型性、综合性、启发性、开放性和探究性，要注重一般性的解题规律和方法(即通性通法).在平时的复习教学中，我们要对函数与方程、数形结合思想、分类讨论、转化与化归等数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中.

第三轮复习以套卷实战演练，查漏补缺为主，培养考生考试技巧、规范答题和稳定的考试策略和良好的考试心理，以保证高考中能正常发挥出自己的水平！2.研讨考纲，精选教材，拓实基础，有效训练,提升能力,智慧备考考纲是备考的纲领性文件，我们组织备课组老师认真研讨、学习考纲，全面摸透各考点和难度要求，从而,复习时教学目标更明确、更有针对性.另外，认真选好一本主干复习资料和一份套题，既要用好、用活教辅资料，也要重视整合课本和挖掘教材资源！教师要充分体现教师“教”的能力，要把富有新意、能启迪思维，体现重要数学思想方法的创新习题及时补充上去，教师也要学会改编一些高考题、课本例习题或原创一些题目，实践证明，改编题、原创题对培养学生的发散思维和提高学生的解题能力是有相当显著的效果.教师要吃透教材，挖掘好课本例习题，狠抓基础知识和基本技能的复习，并结合知识本身的重点、难点，设置好复习题的梯度和难度，做到有的放矢，减少无效劳动.3.复习要狠抓课堂教学，提高复习的效率.教师要抓好课堂教学，在重视基础知识和基本技能教学的同时，注重提升学生对数学思想方法和数学本质的理解水平.教师要精选习题,多设计能考查数学主体内容、体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目，让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现创新意识、发挥创造能力创设广阔的空间！选题要注重基础性、典型性、综合性、启发性、开放性和探究性，且要注重一般性的解题规律和方法(即通性通法)；要精选一些一题多变、一题多解、多题归一、有层次、有拓展的题目开阔学生思路，使学生能有新的体会和收获；要重视课本中的典型例题、习题和最近几年的高考题、高考模拟题，多些对课本例题、习题和高考题的进行改编与拓展.课堂教学中教师要不断渗透和总结函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想方法.

4.有效训练,及时反馈.不仅要重视题量训练，还要重视学生对知识、题型方法的理解、体验和落实；不仅要重视题型套路，还要重视基础知识和基本技能的复习和掌握的效果.阶段性考试、学校最后模拟卷、临门一脚卷，全部自己命题，不搞“拿来主义”.虽然老师的工作量大了，但测试更有针对性、更有实效性，更能查漏补缺，更能及时反馈问题；

5.要重视数学问题解决，引导学生熟悉问题解决的常用策略，注重培养学生的几种重要的数学问题解决能力.从国际视野的角度看，当今的数学教育趋势就是以理解为价值取向！以问题解决为价值取向！以数学探究为价值取向！因此，科学、合理、现代的数学高考就是要考数学理解！考数学问题解决！考数学探究！要让学生清晰了解什么是问题以及数学问题解决?熟悉并掌握好数学问题解决的过程、解决数学问题的化归策略、数学应用题及其解答策略等.除此以外，还要注意培养几种重要的数学问题解决能力：问题的阅读理解能力、问题的等价转换能力、构建目标函数的能力、用尽隐含条件的能力、代数压缩（以数之眼光看复杂式子）的能力.6.通过强化训练，切实提高学生的运算能力近几年全国卷的试题已经充分表明，全国卷的知识点多、运算步骤多而且繁琐，导致总体运算量超出了大多数考生的承受能力.很多考生表示：给我一点时间，我可以做出来！和分省独立命题卷相比，全国卷无论是选择题、填空题，还是解答题，由于题目的知识点多，解题步骤多，要求考生具有很快的解题速度.要想在全国卷中考出好成绩，快速、准确的数值计算能力和代数运算能力十分基础、十分重要，甚至是决定性的.平时如果不像训练小学生10分钟要算准算对多少道题那样训练我们的高中生，那么在全国卷的考试中就不可能脱颖而出！7.要重视数学小专题能力的深化从全国卷的选择题、填空题、解答题中比较难的试题发现，全国卷涉及到了一些课本和考纲中没有明确写出来的比较深的考点要求，比如对称性、周期性、图形的平移、翻折、弦振动函数的深层理解、函数增减快慢、拐点、极值点、离散型的最值点与导函数性质关系、曲线方程的纯粹性和完备性，充分运用平面几何知识化解解析几何的难度（全国卷的明显特点），等等.为此，需要平时深化这些考点.8.要引导学生认真做好每一次模拟考试的考后试卷分析和平时解题后的反思提升

所谓考后试卷分析，是指考试后订正试卷中出现的错误，分析考试的收获以及考试暴露出来的问题，然后归类，逐一进行对照并制订出自我提高的措施和方法.试卷自我分析写完后，和试卷粘贴在一起，要注意保存，要常翻出来看看.解题后的反思提升主要有以下几个方面：（1）反思内容有:解题涉及的知识方法有哪些?有何联系?解题过程、方法能否优化?（2）解题中用了哪些思想方法？解法是如何分析出来的？解法是否具有普遍意义？有何规律？（3）解决问题的关键何在？如何突破？是否还有其他解法？哪种方法最优、最合理？其中道理是什么？9．做好考前20天学生备考策略指导.数学复习备考一定要认真研读好2017年考试大纲的说明、认真读读2016年高考试题分析。注意回归课本，看看课本例题，记记公式定理，查漏补缺，做做课后习题及《十年高考》中的主干基础知识部分的真题，做做近几年真题套卷，保持相对稳定的考试策略和考试节奏及准确度.具体备考策略如下：策略一：认真研读好2017年考试大纲的说明，深入地了解好高考数学的考试形式、考核目标与要求、考试范围与要求题型示例等.策略二：继续学习选择、填空题解题技法---考场解题快人一步。认真完成选择填空题专项训练题，每两天做1套《高考调研天天练》或油印资料中的小题快练.提升解选择、填空题的速度和准确性.策略三：继续总结数学思想在解题中的应用----考场解题高人一招。认真完成《高考调研题组层级快练》中的数学思想方法的专项训练题和认真看看、做做《十年高考》中命题专家得分六招.数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化与化归思想.策略四：考前回归主干基础知识---考场解题气定神闲考前十几天，在适当保温限时训练的同时，应回归基础，看看课本例题，挑些课后习题做做，回归基础，尤其是解三角形、数列、统计概率、立体几何、解析几何、函数导数几个大的板块.归纳方法，查漏补缺.策略五：每两天认真做一份近五年全国I卷的高考真题套卷，熟悉全国I的题型、方法、难易分布情况。多做做《十年高考》中的高考真题，可以覆盖知识考点、解题方法、题型，比做任何模拟题都更有针对性、更有成效.每周还要认真做几套的保温训练卷.

策略六：每一次做真题或模拟题套卷都要有意识地强化做好以下几点，以便保证高考能顺利、甚至超水平地发挥出自己的水平:1.审题要慢，做题要快;2.小题不秒杀，大题不闪解;3.灵活解答，快速准确;4.规范决定分数，细节决定成败;策略七、保证充足的睡眠，每天进行适当运动锻炼.劳逸结合，学习效率自然高，考试状态倍儿好！六、数学核心素养、课堂教学、专业成长（一）数学核心素养整体性核心素养与目标、内容

学科核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验值外的“神秘”概念，它们综合体现了对学科知识理解、对学科技能方法的掌握、对学科思想的感悟、对学科活动经验的积累。核心素养形成与提升

学科核心素养不能离开学科的学习、应用、创新，它们综合体现在“用不同学科眼光观察世界，用不同学科思维分析世界，用不同学科语言表达世界”的过程中，综合体现在“发现与提出问题、分析与解决问题”的过程中。核心素养发展

在未来工作中，学科核心素养会随着不断地运用不同学科发现与提出问题、分析与解决问题，不断地提升学科核心素养，当然，也会随着远离学科思考，学科核心素养也必然会不断萎缩。（二）数学核心素养

学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力。数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析在教学中，教师要全面落实“立德树人”要求，深入挖掘数学学科的育人价值，树立以发展学生学科核心素养为导向的教学意识。教师在教学实践中要结合情境不断探索和创新教学方式，以有效提升学生的学科核心素养，实现普通高中学科课程目标。（三）“教学建议”

帮助学生理解和掌握学科的基础知识和基本技能，抓住学科本质，体会学科内容中所蕴含的基本思想和文化价值，积累学习学科和综合运用学科知识解决实际问题的基本经验，提升学科核心素养。要注重整体把握学科课程，深入理解内容结构，突出内容主线，处理好课程内容与学科核心素养之间的关系，促进核心素养的达成。坚持并加强问题导向，重视创设合适的教学情境，特别是实际情境，发展学生的创新意识和应用能力。把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，要加强“学法”指导，帮助学生养成良好的学习习惯；充分运用信息技术手段，积极探索有利于学生学习的多样化教学方式。

在实践新课程的过程中，我们的课堂教学该如何教？(课堂教学是教育教学主战场，对高考影响较大)“倡导积极主动、用于探索的学习方式.”是高中数学新课程的基本理念之一.章建跃博士认为：“从数学知识发生发展过程的合理性，学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析等）的关键点.”在实