第2章空间向量与立体几何全章总结提升课件高二下学期数学选择性

全章总结提升第2章空间向量与立体几何湘教版

数学

选择性必修第二册网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引

网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算.空间向量的运算是利用向量研究空间线面位置关系、面面位置关系、空间角与空间距离的基础.空间向量及其运算主要培养直观想象、数学运算以及逻辑推理的核心素养.规律方法

1.在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,要结合图形特征选择适当的向量为基,利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把所求的向量逐步分解,最终归结为基下的表示,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算.2.求解用空间的基表示的向量的模或夹角以及数量积问题,应注意结合向量数量积的运算律及运算法则.变式训练1如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1专题二利用空间向量证明平行、垂直问题利用空间向量研究空间线面、面面位置关系的优点是将几何问题转化为代数问题,利用空间向量证明平行、垂直问题主要培养直观想象、数学运算以及逻辑推理的核心素养.【例2】

如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.证明

(1)易证得PA,AD,AB两两垂直,如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.设PA=AD=a,AB=b,则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分别为AB,PC的中点,令z1=b,则n1=(2a,-b,b)为平面PMC的一个法向量.设平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),令z2=1,则n2=(0,1,1)为平面PDC的一个法向量.∵n1·n2=0-b+b=0,∴n1⊥n2,∴平面PMC⊥平面PDC.规律方法

利用向量证明垂直、平行的方法(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量.(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.变式训练2如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有侧棱长及底面边长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.证明

(方法一)设平面A1BD内的任意一条直线的方向向量为m.(方法二)基向量的取法同方法一.为BA1∩BD=B,BA1,BD⊂平面A1BD,由直线和平面垂直的判定定理知AB1⊥平面A1BD.(方法三)如图,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都为中点,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如图所示,建立空间直角坐标系O-xyz,则B(1,0,0),D(-1,1,0),专题三利用空间向量求角利用向量求空间角是空间向量的重要应用,求空间角主要包括求二面角、两个平面所成的角、直线与平面所成的角以及异面直线的夹角,其本质都是利用空间向量的夹角公式(即cosθ=)求解,但是要注意各种角的区别.利用向量求空间角主要是培养直观想象、数学运算以及逻辑推理的核心素养.【例3】

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.(1)求异面直线A1D与AM的夹角;(2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM与平面ABCD所成的角的余弦值.解

以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).∴异面直线A1D与AM的夹角为90°.(2)∵A1D⊥AM,A1D⊥AN,AM∩AN=A,AM,AN⊂平面ANM,∴A1D⊥平面ANM,规律方法

利用向量法求空间角的注意点(1)异面直线夹角:两异面直线夹角的范围为(0,],需找到两异面直线的方向向量,借助方向向量的夹角求解.(2)直线与平面所成的角:要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦值cos<n,a>,易知θ=<n,a>-或者

-<n,a>.(3)二面角:设平面α,β的法向量分别为n1,n2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面α,β所成的锐二面角θ,所以cos

θ=|cos<n1,n2>|.变式训练3在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中点.(1)求异面直线AE与CP夹角的余弦值;(2)若点F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求点F的坐标;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解

(1)易证得AD,DC,PD两两垂直,如图所示建立空间直角坐标系D-xyz.由题意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E为PB的中点,∴E(1,1,1),专题四利用向量求解空间几何体中的探究问题利用向量求解空间几何体中的探究问题是向量在研究几何问题中的综合应用,主要是培养逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养.【例4】

在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=,AB⊥BC,如图所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD.(1)求证:CD⊥AB.(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离.(3)在线段BC上是否存在点N,不含端点,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.所以BD2+CD2=BC2,所以CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,所以CD⊥AB.(2)解

由(1)知CD⊥BD.以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,过点D作垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,(3)解

假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°.规律方法

利用空间向量解决存在性(探索性)问题的方法解决与平行、垂直有关存在性(探索性)问题时,常借助空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算,假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下通过逻辑推理建立方程,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.变式训练4如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.(1)求证:A1C⊥平面AMN.(2)当AB=2,AD=2,A1A=3时,在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN?若存在,试确定P的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明

因为CB⊥平面AA1B1B,AM⊂平面AA1B1B,所以CB⊥AM,又因为AM⊥A1B,A1B∩CB=B,A1B,CB⊂平面A