必修二课件第一章立体几何初步1.2.3第5课时

第5课时线面垂直的综合应用第1章

直线与平面的位置关系学习目标1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考

知识点一直线与平面所成的角直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？答案平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°].答案梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面

，但不和这个平面

，图中________斜足斜线与平面的

，图中____射影

过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过

和

的直线就是斜线在平面内的正投

影(简称射影)，线段

就是斜线段PA在平面α内的射影相交垂直直线PA交点点A斜足A垂足OOA直线与平面所成的角

定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成

的锐角，图中为

，

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是

；

一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是

的角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则____________∠PAO直角0°0°≤θ≤90°知识点二两种距离1.点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和

间的距离，叫做这个点到这个平面的距离.2.直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上

到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.垂足任意一点题型探究例1

已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.类型一与线面角有关的问题证明证明如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.⇒AB⊥平面PEO⇒AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上.(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.反思与感悟跟踪训练1

如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影.证明证明连结AC1.∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵C1H⊂平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，∴C1H⊥平面ABC，∴点H是C1在平面ABC上的射影.例2

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.求证：类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用证明(1)CD⊥AE；证明在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.证明证明由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.反思与感悟跟踪训练2

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点.(1)证明：A1C1∥平面ACD；证明证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD.(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∴异面直线AC与A1D所成的角为90°.解答(3)证明：直线A1D⊥平面ADC.证明证明∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC.当堂训练1.下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等.其中正确的是_______.(填序号)答案2341①④解析解析②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.52.AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________.答案234153.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______.答案解析2341垂直解析AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.54.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为_____.2341答案解析解析依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离.55.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点.2341(1)求证：BC⊥平面A1AC；证明∵AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的任意一点，∴BC⊥AC.又在圆柱OO1中，AA1⊥底面⊙O，∴AA1⊥BC，又AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面A1AC.证明5(2)若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC.2341证明52341证明取BC的中点E，连结DE，O1E，∵D为AC的中点，∴DE∥A1O1，DE＝A1O1，∴四边形A1DEO1为平行四边形，∴A1D∥EO1.而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC，∴A1D∥平面O1BC.5规律与方法立体几何中经常遇到由一个点向一个