苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题11易错易混集训：勾股定理(原卷版+解析)

专题11易错易混集训：勾股定理易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．【变式训练】1．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或162．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则=__________．3．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．【变式训练】1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．【变式训练】1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．2．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．3．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为_____．易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．【变式训练】1．（2021·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行______________秒？2．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．3．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．4．（2022·全国·八年级）如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是__．5．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．专题11易错易混集训：勾股定理易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解例题：（2022·湖北·恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习）若一个直角三角形的两边长为3和4，则它第三边的长为______．【答案】或5【分析】分边长为4的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当边长为5的边是斜边时，则第三边长为；（2）当边长为5的边是直角边时，则第三边长为；综上，第三边长为或5，故答案为：或5．【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．【变式训练】1．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或16【答案】D【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可．【详解】解：当∠C=90°时，；当∠A=90°时，；故选：D．【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键．2．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则=__________．【答案】85或13##13或85【分析】分6和7都为两直角边和6为直角边，7为斜边，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当6和7都为直角边时，由勾股定理得；当6为直角边，7为斜边时，，综上，=85或13，故答案为：85或13．【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，利用分类讨论思想求解是解答的关键．3．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15，那么这个三角形的第三边长为______．【答案】17或【分析】分两种情况：当8和15都是直角边时；当15是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【详解】解：当8和15都是直角边时，第三边长为：，当15是斜边长时，第三边长为：．故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．4．（2022·安徽·合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为______．【答案】5或##或5【解析】【分析】由非负性的性质可求得x与y的值，再分两种情况，利用勾股定理即可求得第三边的长．【详解】∵，，且，∴，，解得：x=3，y=4．当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：．故答案为：5或．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，涉及两个非负数的和为零则它们均为零的性质，注意求得的两边无法确定都是直角边还是一条直角边和一条斜边，故要分类讨论．5．（2020·四川成都·八年级阶段练习）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【答案】5或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，故答案为：或【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解例题：（2021·北京市鲁迅中学八年级期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC=___________．【答案】7或25【解析】【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．【详解】解：分两种情况：①如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD=在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得：DC=∴BC的长为BD+DC=9+16=25．②如图2，同理得：BD=9，DC=16，∴BC=CD-BD=7．综上所述，BC的长为25或7．故答案为：25或7．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．【变式训练】1．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________________．【答案】32或42##42或32【解析】【分析】作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可．【详解】解：，，边上的高，，，如图1，在内部时，，此时，的周长，如图2，在外部时，，此时，的周长，综上所述，的周长为32或42．故答案为：32或42．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解例题：（2022·浙江绍兴·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB为边在△ABC外作等腰直角△ABD，连接CD，则CD=_____．【答案】2或或【解析】【分析】分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．【详解】解：如图1，∠ABD=90°，∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，延长CB，过点D作DE⊥CB于点E，∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD，在△ACB与△BED中，，∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6，根据勾股定理得：；如图2，∠BAD=90°，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE，在△ACB与△DEA中，，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根据勾股定理得：；如图3，∠ADB=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，在△AFD和△DEB中，，∴△AFD≌△DEB（AAS），∴AF=DE，DF=BE，∴2+DF+BE=4，∴DF=BE=1，∴CE=DE=3，∴．综合以上可得CD的长为2或或．故答案为2或或．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．【答案】5或8或【解析】【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．2．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是边AB上的点，将△CBD沿CD折叠得到△CPD，CP与直线AB交于点E，当出现以DP为边的直角三角形时，BD的长可能是______．【答案】3或或【分析】分，，三种情况，分别作出图形，解直角三角形即可．【详解】解：由折叠性质可得：，，，在中，，，，①如图，当时，为直角三角形，，，，，为等边三角形，，；②如图，当时，为直角三角形，；③当时，为直角三角形，，为等边三角形，，在中，，，，，，，，综上，或或，故答案为：3或或．【点睛】本题考查直角三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是分类讨论，将图形作出．3．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为_____．【答案】50或34+3或34+5或【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB＝BD＝17时；②如图2，当AB＝AD＝17时；③如图3，当AB为底时，AD＝BD．【详解】解：在Rt△ABC中，BC，①如图，图1当AB＝BD＝17时，CD＝CA＝8时，AD＝16，∴△ABD的周长为17×2+16＝50；②如图，图2当AB＝AD＝17时，得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，在Rt△BCD中，或，∴△ABD的周长为或．③如图，图3当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣8，在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，∴△ABD的周长为．综上，△ABD的周长为50或34+3或34+5或．故答案为：50或34+3或34+5或．【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，分类讨论思想是本题的关键．易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式例题：（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．【答案】【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可．【详解】解：如图如图如图它所行的最短路线的长为：故答案为：．【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．【变式训练】1．（2021·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A，B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点C在棱上，且BC＝1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到C点，至少爬行______________秒？【答案】2.5【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和C点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离，根据蚂蚁爬行的距离，即可求出爬行时间．【详解】解：将正方体的前侧面和右侧面展开，如图所示：根据题意可得：，∴蚂蚁爬行的最短距离为：，∵蚂蚁每秒爬行2cm，∴蚂蚁爬行的最短时间为：（秒）．故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．2．（2022·广东梅州·八年级期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．【答案】26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，原图长度增加4米，则AB=20+4=24(m)，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC==26(m)，∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．故答案为：26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．3．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．【答案】15【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；∵底面周长为24cm，∴∵，∴cm，∴cm，故答案为：15．【点睛】本