苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题01全等三角形性质与判定(原卷版+解析)

专题01全等三角形性质与判定考点一全等图形识别考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的概念考点四全等三角形的性质考点五用SSS证明三角形全等考点六用SAS证明三角形全等考点七用ASA证明三角形全等考点八用AAS证明三角形全等考点九用HL证明三角形全等考点一全等图形识别例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形【变式训练】1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（

）A． B． C． D．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．考点四全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（

）A．80° B．70° C．65° D．60°2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．考点五用SSS证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；(1)与相等吗？请说明理由．(2)若，，AF平分时，求的度数．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点六用SAS证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．求证：△ABE≌△DCF．考点七用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．考点八用AAS证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．考点九用HL证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．一、选择题1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（）A．AB＝3 B．BO＝3 C．DB＝3 D．DO＝33．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（

）A．24 B．26 C．27 D．285．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点在上，点E在上，，添加一个条件______，使（填一个即可）．7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为_____．8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为_____．10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为________．三、解答题11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2(1)求角F的度数与DH的长；(2)求证：．12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A=90°，∠ADE=120°，BD平分∠ADE，AD=DE．(1)BAD与BED全等吗？请说明理由；(2)若DE=2，试求AC的长．14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．15．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠DFC，(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)设AC与DE交于点G，当∠B=50°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．16．（2021·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．(1)求证：∠AEB＝∠DEB；(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．17．（2022·贵州铜仁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)试说明：DC与BE的位置关系．18．（2022·湖南湘西·八年级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．专题01全等三角形性质与判定考点一全等图形识别考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的概念考点四全等三角形的性质考点五用SSS证明三角形全等考点六用SAS证明三角形全等考点七用ASA证明三角形全等考点八用AAS证明三角形全等考点九用HL证明三角形全等考点一全等图形识别例题：（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形【答案】B【解析】【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．【变式训练】1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】解：A、不是全等图形，故本选项不符合题意；B、不是全等图形，故本选项不符合题意；C、不是全等图形，故本选项不符合题意；D、全等图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，熟练掌握大小形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．2．（2022·河北沧州·八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有B中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它三个形状与题干中已给的图形不一致．【详解】解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、D中图形形状与题干中已给的图形不一致，故不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转得到．故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度．【答案】45【解析】【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格∴，，∴∴，∵∴，即∴∵∴∵∴故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；【详解】如图所示，在△ACB和△DCE中，，∴，∴，∴；故答案是：．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．考点三全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．考点四全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．无法确定【答案】A【解析】【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵和全等，，对应∴∴AB=DF=4故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，，若，则的度数是（

）A．80° B．70° C．65° D．60°【答案】B【解析】【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求(1)DE的长；(2)∠BAC的度数．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm．(2)∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点五用SSS证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．(1)求证：；(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS证明即可；（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在和中，，∴(SSS)；(2)AC和BD的位置关系是，理由如下：∵∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；(1)与相等吗？请说明理由．(2)若，，AF平分时，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【解析】【分析】（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：，理由如下：∵∴在和中∴∴(2)解：∵∴∴∵平分∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点六用SAS证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O是线段AB的中点，∴，∵，∴，在△AOD与△OBC中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】利用，得到，再用，，得到≌（SAS），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：，，在和中，≌（SAS），．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B、C、E、F共线，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE．求证：△ABE≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．考点七用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）∴∠DCE＝∠A（同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．(1)证明：在△ABO与△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；(2)证明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知，，．(1)求证：．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明；（2）由邻补角的定义求出，进而得到，再利用两直线平行同旁内角互补求出．由两直线平行得(1)证明：，，在和中，，．(2)解：，，，，，，．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．考点八用AAS证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．【详解】解：△BDO与△CEO全等；∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，又∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，∵在△BDO与△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB=CD．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF．(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．(2)∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．考点九用HL证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且BF=CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明．(1)解：∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=DF；(2)解：，理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△DCF，∴∠B=∠C，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．【答案】(1)见解析(2)18°【解析】【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）先求出∠ABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD的度数，由此即可得到答案．(1)证明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；(2)解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，∴∠ABC=36°，∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=36°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．(1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；(2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．一、选择题1．（2022·河北石家庄·八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组 B．4组 C．5组 D．6组【答案】B【解析】【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．【详解】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，故选：B．【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（）A．AB＝3 B．BO＝3 C．DB＝3 D．DO＝3【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可求解．【详解】解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，∴DO=AO=3．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．3．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF【答案】D【解析】【分析】根据判定定理即可得．【详解】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意；B、添加，需用定理判定，则此项不符题意；C、添加，需用定理判定，则此项不符题意；D、添加，能用定理判定，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．4．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为（

）A．24 B．26 C．27 D．28【答案】A【解析】【分析】先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB＝DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．【详解】∵点M是AD的中点，∴MA＝MD，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠MBC，∠DMC＝∠MCB，又∵MC＝MB，∴∠MBC＝∠MCB，∴∠AMB＝∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵∴△AMB≌△DMC（SAS），∴AB＝DC，四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝6+6+8+4=24．故答案为：A．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB＝DC．5．（2022·湖北随州·八年级期末）如图，△ABC中，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且，过点P作于点M，过点Q作交AC的延长线于点N，且，连接PQ交AC边于点D，则以下结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】【分析】由AAS可证△PDM≌△QDN，可得PD＝DQ，进而判断①正确；由“HL”可证Rt△APM≌Rt△CQN，求出∠A＝∠ACB，得到AB＝BC，进而判断②正确；根据全等三角形的性质求出MD＝DN＝CD＋CN＝CD＋AM，可判断④正确；根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误．【详解】解：∵PM⊥AC，QN⊥AC，∴∠PMD＝∠QND＝90°，又∵∠PDM＝∠QDN，PM＝QN，∴△PDM≌△QDN（AAS），∴PD＝DQ，故①正确；∵PA＝CQ，PM＝QN，且PM⊥AC，QN⊥AC，∴∠AMP＝∠CNQ＝90°，∴Rt△APM≌Rt△CQN（HL）∴∠A＝∠QCN，∵∠ACB＝∠QCN，∴∠A＝∠ACB，∴AB＝BC，即②正确；∵△PDM≌△QDN，Rt△APM≌Rt△CQN，∴MD＝DN，AM＝CN，∴MD＝CD＋CN＝CD＋AM，∴DM＝AC，故④正确；根据题中条件无法得出为等边三角形，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题6．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，点在上，点E在上，，添加一个条件______，使（填一个即可）．【答案】AE=AD（或CE=BD或∠AEB=∠ADC）．【解析】【分析】由于AB=AC，加上∠A为公共角，然后利用全等三角形的判定方法可添加条件使△ABE≌△ACD．【详解】解：∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，∴当添加AE=AD（或CE=BD）时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B=∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB=∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故答案为：AE=AD（或CE=BD或∠AEB=∠ADC）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．7．（2022·福建泉州·八年级期末）已知△ABC≌ΔA′B′C′，AB+AC＝12，若ΔA′B′C′的周长为22，则B′C′的长为_____．【答案】10【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等详解即可．【详解】解：∵△ABC≌ΔA′B′C′，ΔA′B′C′的周长为22，∴△ABC的周长为22，∵AB+AC＝12，∴BC＝22﹣12＝10，∴B'C'＝BC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．8．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．【答案】2【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出AB=DE=7，AC＝DB=5，结合图形利用线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC≌△DEB，∴AB=DE=7，AC＝DB=5，∴AD=AB-DB=2，故答案为：2．【点睛】题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．9．（2022·福建福州·八年级期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为_____．【答案】3【解析】【分析】证明△ACD≌△BDE得到AD=BE，即可求出BD．【详解】解：∵∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，∴∠C+∠ADC=∠EDB+∠ADC，∴∠C=∠EDB，∵BE⊥AD，∴∠EBD=∠A=90°，又∵DC=DE，∴△ACD≌△BDE，∴AD=BE=7，∵AB=4，∴BD=AD-AB=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理并应用是解题的关键．10．（2022·江西萍乡·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（秒），当和全等时，t的值为________．【答案】1或7【解析】【分析】分两种情况讨论：当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上；当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD=BC=6，CD=AB=4，当全等时，BP=CE=2，此时点P在BC边上，则，∴，解得：；当全等时，AP=CE=2，此时点P在AD边上，则，解得：；综上所述，当和全等时，t的值为1或7．故答案为：1或7【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·八年级）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2(1)求角F的度数与DH的长；(2)求证：．【答案】(1)35°；6(2)见解析【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，再根据平行线的判定即可证得结论．(1)解：∵∠A=85°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-85°-60°=35°，∵△ABC≌△DEF，AB=8，∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，∵EH=2，∴DH=DE-EH=8-2=6；(2)证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．12．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案．(1)证明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；(2)解：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，在△EDB和△EDC中，，∴△EDB≌△EDC（SAS），∴∠BED＝∠CED，∵∠BED＝50°，∴∠CED＝∠BED＝50°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．13．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知∠A=90°，∠ADE=120°，BD平分∠ADE，AD=DE．(1)BAD与BED全等吗？请说明理由；(2)若DE=2，试求AC的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△EDB；（2）由全等三角形的性质可得∠A=∠DEB=90°，AD=DE=2，由含30度角的直角三角形的性质可求解．(1)解：△BAD与△BED全等，理由如下：∵BD平分∠ADE，∠ADE=120°，∴∠ADB=∠BDE=60°，在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS）；(2)∵△ADB≌△EDB，DE=2，∠A=90°，∴∠A=∠DEB=90°，AD=DE=2，∵∠ADE=120°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=180°-120°=60°，∴∠C=30°，∴CD=2DE=4，∴AC=AD+CD=6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14．（2022·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，且，．(1)请你添加一个条件：_________，使；（只添一个即可）(2)根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由．【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解．（2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证．(1)解：添加使，故答案为：．(2)∵，∴，即