10.2 事件的相互独立性（原卷版）（人教A版2019必修第二册）-人教版高中数学精讲精练必修二VIP

10.2事件的相互独立性考法一独立事件的判断【例1-1】（2023陕西）篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件A为“三次投球全不是三分球”，事件B为“三次全是三分球”，事件C为“三次投球不全是三分球”，则下列结论正确的是（）A．A与C对立 B．B与C对立 C．任两个均对立 D．任两个均不对立【例1-2】（2023北京）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．以上命题中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【一隅三反】1．（2023·山东）（多选）下列事件A，B不是独立事件的是（）A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面向上”，B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”2．（2023江西吉安）（多选）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与不相互独立 D．与不相互独立3．（2024辽宁大连）（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立考法二独立事件的乘法公式【例2-1】（2023江西·开学考试）2023年10月26日神舟十七号载人飞船成功发射，某校举办航天知识竞赛，竞赛设置了，，三道必答题目.已知某同学能正确回答，，题目的概率分别为0.8，0.7，0.5，且回答各题是否正确相互独立，则该同学最多有两道题目回答正确的概率为（

）A．0.56 B．0.72 C．0.89 D．0.92【例2-2】（2023河南）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为．【一隅三反】1．（2023河南驻马店）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为．2．（2023全国·课时练习）如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为．

3．（2023安徽亳州·期末）“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为．4．（2024黑龙江）2023年10月26日神舟十七号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.太空站内甲，乙､丙三名航天员分别出仓进行同一试验，已知甲､乙､丙试验成功的概率分别为，若三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有2人试验成功的概率为，则三人中只有甲､乙两人试验成功的概率的最大值为.考法三独立事件与互斥事件【例3-1】（2023江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（

）A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件【例3-2】（2023陕西咸阳）（多选）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩．通过判断或计算可知，下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥且对立 B．事件与事件互斥且对立C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立【一隅三反】1．（2023河南焦作）（多选）一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（

）A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件C．“摸出的球颜色相同”的概率为D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立2（2023北京）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（

）A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立3．（2024湖南岳阳）（多选）将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（

）A．事件甲与事件丙是互斥事件B．事件甲与事件丁是相互独立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙与事件丁是对立事件4．（2023高一·全国·随堂练习）已知事件A，B发生的概率分别为，，分别在A，B互斥和独立的条件下，求出下列事件的概率并填入表中：A，B互斥A，B独立A，B都发生A，B都不发生A，B恰有一个发生A，B至少有一个发生A，B至多有一个发生考法四独立事件的实际应用【例4】（2023高一上·安徽）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响.(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.【一隅三反】1．（2023湖南长沙·期末）某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.(1)求丙每局都获胜的概率(2)求甲获得比赛胜利的概率.2．（2024湖南）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；(2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．单选题1．（2023广东顺德）某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为.乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为（）A． B． C． D．2．（2024江西萍乡）甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（

）A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.6483．（2024山东日照）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（

）A． B． C． D．4．（2024上海杨浦）已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立5．（2024四川凉山）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（

）A．与互斥 B．与独立 C．与对立 D．6．（2024江西抚州）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（

）A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为7．（2024江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（

）A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立8．（2023·广西）已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（

）A．与相互独立 B．与是对立事件C．与是对立事件 D．与相互独立多选题9．（2023·河南安阳·期末）在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（

）A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲乙乙丙）10．（2023高一下·湖南常德·期末）下列四个命题中错误的是（

）A．若事件A，B相互独立，则满足B．若事件A，B，C两两独立，则C．若事件A，B，C彼此互斥，则D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件11．（2023浙江·期中）先后两次郑一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次郑出的点数之和是6”，表示事件“第二次郑出的点数是偶数”，表示事件“两次郑出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（

）A．事件，为互斥事件 B．事件，为对立事件C． D．事件，为相互独立事件12．（2024河南商丘·期中）设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则A，B相互独立C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则填空题13．（2023山东淄博·期中）我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响．已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是14．（2024山东济宁·期中）如图所示，由到的电路中有4个元件，分别为，，，．若，，，能正常工作的概率都是，记事件“到的电路是通路”，则．

15．（2024·安徽芜湖）设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则.16．（2023·云南保山·期末）弘扬中学有一支篮球队，甲、乙为该球队队员，已知甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为和.现两人各进行一次投篮比赛，假定两人是否投中互不影响，则甲、乙两人至少有一人投中的概率为.解答题17．（2023高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.18．（2024河南）某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他在科目考试第一次合格的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他可获得证书的概率．19．（2024湖北）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率：(1)第一轮射击中恰好有一人中靶；(2)经过两轮射击，两人共中靶3次20（2023浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立.(1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.21．（23-24高一上·江西抚州·期末）2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两