9.2 用样本估计总体（原卷版）（人教版2019必修第二册）-人教版高中数学精讲精练必修二

.2用样本估计总体考法一频率分布直方图【例1-1】（2023天津）考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示：171170165169167167170161164167171163163169166168168165160168158160163167173168169170160164171169167159151168170174160168176157162166158164180179169169(1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______；(2)填写下面的频率分布表：身高频数频率(3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图．【例1-2】（2023陕西）中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组0.100第2组①______第3组20②______第4组200.200第5组100.100合计1001.00

(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）.(2)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？【一隅三反】1．（2024广西）已知下列是不同厂家生产的手提式电脑的重量（单位：千克）：1.9，2.0，2.1，2.4，2.4，2.8，3.0，2.3，1.5，2.6，2.6，1.9，2.4，2.2，1.6，1.7，1.7，1.8，1.8，3.0．(1)这组数据的极差为______，数据1.9的频数为______，数据2.4的频率为______．(2)如果决定把这些数据分成5组，则合适的分组区间为：____________．(3)填写频率分布表：分组频数频率累积频数(4)在直角坐标系中，画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．2．（2024甘肃庆阳）某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为.(1)求出的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于的人数.3（2024北京）一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度．他随机抽取了60株此类植物，测得它们生长1年之后的高度如下（单位：cm）：73

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69

56

74(1)完成下表：高度分组/cm频数频率(2)根据上表画出相应的频率分布直方图和频率折线图，并描述此类植物生长1年之后的高度分布情况．考法二统计图的分析【例2-1】（2024甘肃）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（

）

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人【例2-2】（2024湖南）近五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长，占世界经济比重从提高到左右，对世界经济增长贡献率超过，居民消费价格年均上涨，保持较低水平．在2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》中“2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如：2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数-同期数）÷同期数．环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较：环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数×．根据上述信息，下列结论中错误的是（

）A．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大【一隅三反】1．（2024云南）如图为小王同学周末复习各学科投入时间扇形统计图，其中在语文学科投入时间为1小时，则她在数学学科投入时间为（

）

A．0.5小时 B．1小时 C．1.25小时 D．1.5小时2．（2023河南）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（

）

①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油A．②④ B．①③ C．①② D．③④3．（2023·四川达州）将某年级600名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加社会实践活动，每个人只能到一个社区.经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则分到戊社区参加活动的学生人数为（

）A．30 B．45 C．60 D．754．（2023广西）国家统计局发布的2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金的收入和支出数据如图所示，则下列说法错误的是（

）A．2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入逐年增加B．2018年至2022年我国城乡居民社会产老保险基金支出逐年增加C．2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入数据的50%分位数为4852.9亿元D．2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入数据的40%分位数为4107.0亿元5．（2023高三上·全国·专题练习）（多选）人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策.截至2022年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人口数和城镇人口比重情况，下列说法正确的是（）A．乡村人口数逐次增加B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口数逐次增加D．城镇人口比重逐次增加考法三百分位数【例3-1】（2024广西）某人用手机记录了他连续10周每周的走路里程（单位：公里），其数据分别为,，则这组数据的分位数是（

）A．7 B．12 C．13 D．14【例3-2】（2023贵州）某校排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为根据排球社位同学的垫球个数画的频率分布直方图，所有同学垫球数都在之间．估计垫球数的样本数据的第百分位数是（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023河南洛阳）某班最近一次化学考试成绩（百分制）按、、、、、分成六组后，得到频率分布直方图如图所示.若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前的同学，试估计化学老师奖励的学生的分数应不低于（

）A．分 B．分 C．分 D．分【例3-4】（2023高一上·全国·课时练习）（多选）已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是（）A．这100个数据中一定是75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数【一隅三反】1．（2024高一课时练习）（多选）下列关于分位数的说法不正确的是（

）A．分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是C．它是四分位数D．它适用于总体是离散型的数据2（2023天津和平）日前，十九大代表、奥运冠军——魏秋月老师在升旗仪式上为耀华师生上了一堂生动的体育思政课，并为耀华排球社的同学们带来了魏秋月名师工作室团队的专业技术指导.其间对同学们垫排球的手势技术动作进行了特别指导.之后排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的频率分布直方图，所有同学垫球数都在5-40之间.估计垫球数的样本数据的75%分位数是（

）A．25 B．26 C．27 D．283．（2024山东）某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（

）

A．64 B．65 C．66 D．674．（2023辽宁阜新）甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员12345甲8788909193乙8990919192则甲的分位数为，乙的分位数为．考法四众数、平均数、中位数【例4-1】（2023高一下·全国·开学考试）（多选）某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计进人八月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高气温和最低气温，得到如下的折线图：

根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（

）A．最高气温的众数为38 B．最低气温的平均值为29C．8月4日的温差最大 D．最高气温的极差大于最低气温的极差【例4-2】（2023重庆渝中·期中）（多选）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（

）

A．样本的众数为70B．样本的分位数为78.5C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6D．该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人【一隅三反】1．（2023海南海口·阶段练习）（多选）某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（

）年龄454036322928人数121321A．中位数是34 B．众数是32C．第25百分位数是29 D．平均数为34.32．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）（多选）党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论正确的是（

）A．B．满意度计分的众数为80分C．满意度计分的分位数是85分D．满意度计分的平均分是76.53．（2023云南昆明·阶段练习）（多选）某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（

）

A．频率分布直方图中a的值为0.005 B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225考法五方差、标准差【例5-1】（2024安徽蚌埠）（多选）在某次调查中，利用分层抽样随机选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为，则下列选项正确的是（

）A．女生得分的平均数小于75 B．女生得分的方差大于6C．女生得分的分位数是71.5 D．25名学生得分的方差为11.2【例5-2】（2024黑龙江牡丹江·阶段练习）（多选）若的平均数为3，方差为4，则的（

）A．平均数为1 B．方差为1C．平均数为 D．方差为2【例5-3】（2024河南南阳）（多选）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（

）A．甲地区：平均数为90，方差为10 B．乙地区：平均数为60，众数为50C．丙地区：中位数为50，极差为70 D．丁地区：极差为20，80%分位数为80【例5-4】（2023河南南阳·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.【一隅三反】1．（2023辽宁锦州·期末）（多选）某士官参加军区射击比赛，打了10发子弹，报靶数据如下：6，5，9，10，7，8，9，10，9，7，（单位：环），下列说法正确的有（

）A．这组数据的平均数是8 B．这组数据的80%分位数是9C．这组数据的中位数是8.5 D．这组数据的方差是2.62．（2023·山西吕梁·阶段练习）（多选）已知样本：的均值为4，标准差为2，样本：的方差为4，则样本和样本的（

）A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等3．（2023安徽滁州·阶段练习）（多选）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（

）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地4（2024高一课时）（多选）如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量（单位:kg），其频率分布直方图如图所示.

根据频率分布直方图，下列说法正确的是（）A．新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值B．新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值C．新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值D．新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍5．（22-23高一上·江西宜春·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数.考法六综合运用【例6-1】（2023河南南阳）年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人．口罩使用数量频率

(1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）(2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到）(3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）【一隅三反】1．（2023·广西玉林）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.

(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)学校要求按照分数从高到低选拔前30名的学生进行培训，试估计这30名学生的最低分数；(3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：）2．（2024浙江湖州·期中）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差.单选题1．（2023春·广东江门·）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如图所示.则下列结论中正确的是（

）A．12个月的PMI值不低于的频率为B．12个月的PMI值的平均值低于C．12个月的PMI值的众数为D．12个月的PMI值的中位数为2．（2023春·黑龙江哈尔滨）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（

）①a的值为0.005；②估计成绩低于60分的有25人；③估计这组数据的众数为75；④估计这组数据的第85百分位数为86A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③3．（2023天津和平）日前，十九大代表､奥运冠军一一魏秋月老师在升旗仪式上为耀华师生上了一堂生动的体育思政课，并为耀华排球社的同学们带来了魏秋月名师工作室团队的专业技术指导.其间对同学们垫排球的手势技术动作进行了特别指导.之后排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的频率分布直方图，所有同学垫球数都在5-40之间.估计垫球数的样本数据的75%分位数是（

）A． B． C．27 D．284．（2023新疆伊犁·期末）某校高三年级一共有1500名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第70百分位数是92分，则数学成绩不小于92分的人数至少为（

）A．420 B．350 C．450 D．4005.（2024河南·阶段练习）已知一组数据，，，，，的平均数为16，则另一组数据，，，，，的平均数为（

）A．7 B．6 C．5 D．46．（2024湖南长沙·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为.则下列说法正确的是（）A．若数据的方差.则所有的数据都为0B．若数据的平均数为.则数据的平均数为6C．若数据的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90D．若数据的方差为.则数据的方差为67．（2023·全国·高一专题练习）现有随机选出20个数据，统计如下，则（

）A．该组数据的众数为1.02 B．该组数据的极差为1.12C．该组数据的中位数为0.87 D．该组数据的80%分位数为1.028．（2023辽宁营口）某地区经过2022年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（

）A．新农村建设后，种植收入增加B．新农村建设后，其他收入是原来的1.25倍C．新农村建设后，养殖收入增加了2倍D．新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的8．（2023·全国·高一专题练习）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有名学生参加活动.已知这名学生得分的平均数为，方差为.若将当成一个学生的分数与原来的名学生的分数一起，算出这个分数的平均数为，方差为，则（

）A．， B．，C．， D．，多选题9．（2023云南）为了解2022年安徽省普通高中学业水平考试的数学成绩，在全省6万考生中随机选取2000人的成绩作为样本（满分100分，60分及以上为及格，90分及以上为优秀），可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，则下列说法正确的是（

）

A．B．6万考生中约有3000人不及格C．选取的2000人的成绩中，成绩落在的人数是成绩落在的人数的D．以频率估计概率，从6万考生中随机抽取1人，则该学生成绩优秀的概率为0.2510（2024·广东·阶段练习）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．

根据所给统计图，下列结论中正确的是（）A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%11．（2023·全国·模拟预测）某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（

）A．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是12．（2023·北京）2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（

）A．该校竞赛成绩的极差为70分B．的值为0.005C．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D．这组数据的第30百分位数为81填空题13．（2023甘肃武威·开学考试）一组数据23，76，45，37，58，16，28，15，20的第75百分位数是．14．（2023春·河南安阳）《中国居民膳食指南（）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是___________．15．（2024江西·开学考试）已知样本的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为.16（2023·全国·高一专题练习）小李晨练所花时间（单位：分钟）分别为x，y，30，29，31，已知这组数据的平均数为30，方差为2，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4解答题17（22-23高一·全国·课堂例题）某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了50名学生，测得他们的身高数据（单位：cm）如下：151

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183(1)列出频率分布表并画出频率分布直方图；(2)估算该年级身高在内的男生人数；(3)估算该年级身高在170cm以下的男生人数．18．（2023高三上·全国·专题练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；(2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.19．（2023浙江·期中）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内