导数应用专题8之07 利用导数处理双变量问题(解析版)

第六篇导数专题07利用导数处理双变量问题常见考点考点一双变量问题典例1．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知为函数的两个极值点，求的最大值．【答案】（1）在和单调递增，单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）当时，求出导函数，利用导数求单调区间；（2）先由为函数的两个极值点，得到，令，则由，求出；对于换元后得到利用导数判断单调性，求出最大值即可.【详解】定义域为.（1）当时，令，当时，；当时，，∴在和单调递增，单调递减．（2）由题得，因为为函数的两个极值点，则为方程的两个实根，∴，所以∴，∴，所以令，则有，∴，∴对于，令则当时，有；当，有，所以在为增函数，时为减函数，所以所以y有最大值为．【点睛】（1）函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，①如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；②函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；（2）对二元变量类问题常见的处理方法：①变量分离，构造同构的形式，构造新函数；②整体换元，建立新函数.变式1-1．已知函数（为常数）.（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出，解不等式即得解；（2）求导得到韦达定理，再化简，设，求出的最值即得解.【详解】（1）∵，∴只要，即时恒成立，在定义域上单调递增.（2）由（1）知有两个极值点则，的二根为，则，，，设，又，∴.则，，∴在递增，.即的范围是.【点睛】方法点睛：关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的化成关于的函数再来解答.变式1-2．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；（2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解.【详解】（1）由题意知，因为，所以，，所以所求切线方程为，即；（2）由（1）知，因为是的两个不同的极值点，所以，是方程的两个根，可得，，，易得，所以，，，，因为可得，所以，在单调递减，，所以在上单调递减，，从而的取值范围为.【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.变式1-3．已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）写出函数定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使有两个零点，只需最大值即可.（2）函数有两个零点，，可得，两式相减得，欲证，即证，设，构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.【详解】（1）函数定义域为，.令得，可得在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，故欲使有两个零点，只需，即.（2）证明：不妨设，则由（1）可知，且，两式相减可得.欲证，即证，设，则即证，构造函数，则，所以在上单调递增，故，所以，原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，单调性以及最值问题，考查利用变量集中的思想解决不等式的证明，考查构造函数的思想，属于中档题.典例2．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值；（3）若存在，使得，证明：.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）见解析【解析】（1）利用导数证明单调区间即可；（2）讨论区间端点的大小关系，确定在的单调性，即可得出其最大值；（3）由有两个零点，得出，进而得出的取值范围，根据，由不等式的性质得出，由得出，，进而得出，结合，即可证明.【详解】（1），的增区间为，减区间为.（2）当即时，函数在上单调递增当即时，函数在上单调递增，在上单调递减当即时，函数在上单调递减综上：.（3）当有两个零点必有∴，∴∴，∴，即又，∴，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及最值，利用导数研究双变量问题，属于中档题.变式2-1．已知函数在时取得极值且有两个零点.（1）求的值与实数的取值范围；（2）记函数两个相异零点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据极值点求出，得到函数解析式，再由有两个零点，得到方程有2个不同实根，令，根据导数的方法研究单调性与最值，即可求出的取值范围；（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式.【详解】（1）因为，所以，又在时取得极值，所以，即；所以，因为有两个零点，所以方程有2个不同实根，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增；在上单调递减，所以，又时，；时，；因此，要使方程有2个不同实根，只需与有两不同交点，所以；（2）因为函数两个相异零点，所以，①；即，即②；又等价于，即③；由①②③可得；不妨令，则，上式可化为；设，则在上恒成立；故函数在上单调递增；所以，即不等式成立；因此，所证不等式成立.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.变式2-2．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：，，.【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，令和可得答案.（2）即证明：,设，可得为上的减函数，可得，从而得证.【详解】解：（1）由，则，，，令，解得；令，解得.所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（2）证明：，要证明.即证明：.即证明：.令，，且.，所以函数在上单调递减，则，由，则，所以，即：，，成立.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间和利用导数证明不等式，解答本题的关键是设，求出其导数得为上的减函数，从而，，属于中档题.16．已知函数，且是函数的导函数，(1)求函数的极值；(2)当时，若方程有两个不等实根．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：．【答案】(1)极小值为，没有极大值．(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和，利用导数研究函数的单调性，然后确定极值；（2）（ⅰ）将不等式等价变形，进行比值换元，构造函数，利用导数证明；（ⅱ）由，是方程的两个不等实根，得到同构方程，两方程相减转化，利用（ⅰ）的结论和重要不等式进行推理证明．(1)由题意可知函数的定义域为．由，所以．令，解得．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极小值为，函数没有极大值．(2)（ⅰ）由题意，，因为．设，则,，构造函数，则．当时，，所以函数在上单调递减，故，所以．（ⅱ）因为当时，方程有两个不等实根，所以即两式相减得，所以．由（ⅰ）得．由重要不等式得，所以，即，所以，所以，所以，即．因为，所以，所以．故由（Ⅰ）得【点睛】方法点睛：1、对于不等式的证明，需要构造函数，然后转化为的求函数的最值问题；2、对于双变量问题，需要通过换元法，转化为单变量问题.巩固练习练习一双变量问题1．已知函数(1)当，研究的单调性；(2)令，若存在使得，求证.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由的正负确定单调区间；（2）求出，，由导数确定的单调性，函数的变化趋势，从而得出的范围，由的关系，设，把都用表示，则可表示的函数，同样利用导数得出新函数是增函数，得出，再由对数函数的性质得证不等式成立．(1)，，在上单调递增，且，所以时，，时，，在上单调递减，在上单调递增；(2)，（），时，递增，时，，递减，时，，存在使得，则，令，，，令，则，在上单调递增，，，，，.2．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：.【答案】(1)当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减.(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出不同情况下的的单调性；（2）利用方程组得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.(1)f（x）的定义域为（0，+∞）,.（i）当时，，f（x）在（0，+∞）上单调递增，.（ii）当时，令，得，则f（x）在（0，）上单调递增；令，得，则f（x）在（）上单调递减.综上：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减.(2)证明：因为，是f（x）的两个零点，所以，两式相减得：，即，.因为f（x）有两个零点，所以f（x）不单调，则，要证，只需证，即证.令，则，所以只需证，即证.令，则，设，则，所以在上单调递减，，则在（1，+∞）上单调递减，从而，则，故.【点睛】对于多元问题，要能转化为单元问题，通常情况下会由对数的运算性质进行转化，另外会构造新函数进行求解.3．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，且，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求导并通过导数的正负讨论f(x)的单调性；(2)换元，将问题转化为即可.(1)函数定义域为，，①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为②当时，，解得，当时，，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递减区间为，综上可知：①当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)依题意，是函数的两个零点，设，因为，，，不等式，，所证不等式即设，令，则，在上是增函数，且，所以在上是增函数，且，即，从而所证不等式成立.【点睛】本题关键是换元，结合已知条件可将双变量转换为单变量问题求解.4．已知函数.(1)若在定义域上单调递增，求ab的最小值；(2)当，，有两个不同的实数根，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得二次不等式，根据二次不等式的恒成立列式计算；（2）将有两个不同的实数根，转化为，是方程的两个根，利用韦达定理得，进而通过换元，将转化为关于的函数，利用导数研究其最值即可.(1)恒成立，即恒成立，，所以，，即ab的最小值为.(2)有两个不同的根，，则，是方程的两个根，所以，，所以，，.，令，，在单调递增，所以，令，在上单调递增，所以，所以，即.【点睛】方法点睛：1.对于证明题，我们可以构造函数，转化为函数的最值来研究；2.含双变量的问题，要通过计算转化为一个变量的问题来解答.5．已知函数．(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数存在两个不同的零点，证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论，便可得到函数零点的个数;（2）利用（1）的结论，便可知函数在时有两个零点，再构造一个新函数，可将双变量变为单变量，对该新函数进行研究即可.(1)因为①当，，函数在区间单调递增，（i）时，函数在上无零点；（ii），由时，，，∴在只有一个零点；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（注意时，，时，）所以，（i）即时，无零点；（ii），即时，只有一个零点；（iii）即时，有两个零点；综上所述，当或时，在只有一个零点；当时，无零点；当时，有两个零点；方法二：时，函数在上无零点；时，由，令，则，由，则时，单调递增，时，单调递减，则，做出简图，由图可知：（注意：时，，时）当或，即或时，只有一个根，即在只有一个零点；当时，即时，有两个根，即在有两个零点；当时，即时，无实根，即在无零点；综上所述，当或时，在只有一个零点；当时，无零点；当时，有两个零点；(2)由（1）可知时，有两个零点，设两个零点分别为，且，由，即，所以，即要证明，即证，需证，再证，然后证，设，则，即证，即，令，则，故函数在上单调递增，所以，即有，所以．6．设，是函数的两个极值点，其中，．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）对求导，令并结合函数定义域、根与系数关系、判别式列不等式求参数范围.（2）由（1）可得，根据已知求的范围，应用换元法令，构造并利用导数求最大值即可.(1)∵且，∴，令，则，∴，可得．(2)，由（1）可得：，所以，∵，即，∴，由对勾函数性质有，令，则令，则，∴在上单调递减，则，∴.7．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先把函数进行求导并进行化简，由题意知，，在对进行讨论即可得到答案.（2）由（1）知在时，存在两个极值点，利用韦达定理求出的关系式，并用分别表示出和，把代入中进行化简，，所以可以求出最小值，即可证出.(1)由题意可知，，当时，，则在是单调递增；当时，若，即时，若，即时，和时，时，，综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减(2)由题意可设，是的两个根，则（用分别表示出和），整理，得，此时设，求导得恒成立，在上单调递减，8．已知函数（），.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，若函数有两个极值点，（），求证：.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，并对参数的取值范围分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可；（Ⅱ）先确定存在极值点的条件，再利用韦达定理对进行化简，然后构