数学名校-江苏省盐城市射阳中学 高三上学期阶段检测1（9月）数学试题（解析版）

第1页/共1页数学学科阶段检测1时间：120分钟分值：150分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数性质及交集的概念直接运算即可.【详解】因为，所以.故选：C2.已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得.【详解】依题意，，（为坐标原点），则，所以.故选：A3.已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论.【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意；显然此时，则函数为单调递增，又恒过点，因此函数的图象不过第四象限.故选：D4.下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断.【详解】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期，若，则，且在内单调递减，则在上单调递减，所以上单调递增，故A正确；对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误；对于选项C：若，则，且在内单调递减，所以在上单调递减，故C错误；对于选项D：因为，若，则，且在内单调递减，所以在上单调递减，故D错误；故选：A.5.已知函数在上单调递增，求的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意在上恒成立，求的取值范围即可.【详解】函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，的取值范围为.故选：B.6.“”是“函数的值域为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】假设函数的值域为，借助对数的性质及二次函数的性质可得的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解.【详解】若的值域为，则对有，解得或，“”是“或”的既不充分也不必要条件.故选：D.7.设是奇函数，则使的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义求出常数，再利用对数函数单调性解不等式.【详解】由函数是奇函数，得该函数定义域内实数，恒有，即恒成立，因此，则，解得，，不等式，即，整理得，解得，所以的取值范围是.故选：A8.已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数平移可得，进而根据即可代入化简得求解.【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，所以，故，又，故，故选：B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．9.设正实数m，n满足，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最大值为1 D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.【详解】对于A，因正实数m，n满足m＋n＝1，所以，当且仅当且，即时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，所以≤，即最大值为，B错误；对于C，，当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确；对于D，由，因此，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确．故选：AD10.若函数，则（）A.可能只有1个极值点B.当有极值点时，C.存在，使得点为曲线的对称中心D.当不等式的解集为时，的极小值为【答案】BCD【解析】【分析】A项，根据判别式分类讨论可得；B项，有极值点转化为，结合A项可得；C项，取，验证可得；D项，由不等式解集结合图象可知，1和2是方程的两根且，解出系数，代入函数求解极值即可判断.【详解】，则，令，.A项，当时，，则在R上单调递增，不存在极值点；当时，方程有两个不等的实数根，设为，，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点；综上所述，不可能只1个极值点，故A错误；B项，当有极值点时,有解，则，即.由A项知，当时，在R上单调递增，不存在极值点；故，故B正确；C项，当时，，，所以，则曲线关于对称，即存在，使得点为曲线y=fx的对称中心，故C正确；D项，不等式的解集为，由A项可知仅当时，满足题意.则且，且在处取极大值.即，则有，故，，又，解得，故，则，当时，，则在单调递增；当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增；故在处有极大值，且极大值为；在处有极小值，且极小值为；故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题解决关键在于D项中条件“不等式的解集为”的转化，一是解集区间的端点是方程的根，二是在处取极值，从而.11.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（）A.B.在上单调递减C.点是函数的一个对称中心D.方程有5个实数解【答案】AD【解析】【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解.【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称，为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称.则且，，即，所以，是函数的一个周期.当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下.由图可知A，D正确，B，C不正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.化简：______.【答案】【解析】【分析】运用诱导公式直接化简即可.【详解】.故答案为：.13.若函数，则不等式的解集为____________．【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数为减函数，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用单调性和奇偶性将不等式化为，即可求得不等式的解集.【详解】设，,则，所以函数在上为减函数，又，所以函数为奇函数，由，可得，即，即，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.14.已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论：①关于点对称；②关于直线对称；③在区间上单调递减；④在区间上的值域为.正确结论的序号为_______.【答案】②③【解析】【分析】先由图象求出，接着将点代入函数结合正弦函数性质和求得，再由和求出，进而求得函数解析式，对于①，计算即可判断；对于②，计算即可判断；对于③，先求出的单调递减区间即可判断；对于④，由得即可得，从而即可求出在区间上的值域.【详解】由图得，，故有，将点代入函数得，即，所以或，又，所以，故，又，所以，所以，又由图像可知，又，所以，所以，所以，对于①，因为，所以不关于点对称，故①错；对于②，因为，故②正确；对于③，令，解得，所以函数在区间上单调递减，故当时，函数在区间上单调递减，因为，所以函数在区间上单调递减，故③正确；对于④，时，，所以，所以，所以在区间上值域为，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由图象求出函数的解析式，而求是本题难点，故求函数的解析式的关键在于求出，通过图像特征得出和即可求解.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.（1）设，为锐角，且，，求的值；（2）化简求值：．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后算出的值，结合范围即可得到答案；（2）利用同角三角函数的基本关系、辅助角公式和二倍角公式，求得所给式子的值.【详解】解：（1）∵为锐角，，且，∴；∵为锐角，，且，∴，∴，∵，∴；（2）16.杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元【解析】【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得；（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【小问1详解】依题意可得，又，当时；当时，所以；【小问2详解】当时，，由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增，所以当时，，当时，，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元.17.已知函数，，下列命题中：（1）求的最小正周期；（2）函数最大值；（3）求的单调增区间.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式化简即可由周期公式得解.（2）由函数解析式以及正弦函数性质即可得最大值.（3）由正弦函数增区间令，解该不等式即可得解.【小问1详解】由题，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】因为，，所以函数最大值为.【小问3详解】令得，所以函数的单调增区间为.18.已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.（1）比较和的大小；（2）讨论的单调性；（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.【答案】（1）；（2）答案见详解；（3）.【解析】【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解；（2）求导，分和讨论导数符号即可得解；（3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.【小问1详解】，由题知，整理得.【小问2详解】由（1）知，，当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，无最小值，当时，在处取得最小值，所以，记，则，当时，，当x>1时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即的最大值为.19.泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．（1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；（2）当时，比较与的大小，并证明；（3）设，证明：．【答案】（1），；（2），证明见详解；（3）证明见解析