重庆市2018年中考数学中考真题（A卷）（解析版）

2018年重庆市中考数学试卷（A卷）答案及解析

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分。）

1.—2的相反数是（）

]_

A.-2B.2C.—D.

22

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义可得结果.

【详解】因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选:B.

【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键.

2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得.

【详解】A、40。的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意;

B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意;

C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意;

D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，

故选D.

【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟知轴对称图形是指一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分完

全重合的图形是解题的关键.

3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（）

A.企业男员工B.企业年满50岁及以上的员工

C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工D.企业新进员工

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体

现.根据样本的确定方法与原则，结合实际情况，依次分析选项可得答案.

【详解】A、调查对象只涉及到男性员工，选取的样本不具有代表性质；

B、调查对象只涉及到即将退休员工，选取的样本不具有代表性质；

C、用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工，选取的样本具有代表性；

D调查对象只涉及到新进员工，选取的样本不具有代表性，

故选C.

【点睛】本题考查了样本的确定方法，明确样本要具有代表性和广泛性是解题的关键.

4,把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第

③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为()

(D0Q

A.12B.14C.16D.18

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2

(n+1),由此即可得.

【详解】：第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2x(1+1)；

第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2x(2+1)；

第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2x(3+1)；

...第n个图案中有三角形个数为：2(n+l)

，第7个图案中的三角形个数为：2x(7+1)=16,

故选C.

【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结

果是解题的关键.

5.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5c6cm和9c〃"另一个三角

形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得.

【详解】设另一个三角形的最长边为xcm,由题意得

5：2.5=9：x,

解得：x=4.5,

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.

6.下列命题正确的是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线互相垂直平分

C.菱形的对角线互相平分且相等D.正方形的对角线互相垂直平分

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项进行判断即可得.

【详解】A、平行四边形的对角线互相平分，故A选项错误；

B、矩形的对角线相等且互相平分，故B选项错误；

C、菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故C选项错误；

D、正方形的对角线互相垂直平分，故D选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质，熟练掌握是解题的

关键.

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.

【详解】（2回一岳）-Jj

=26-2，

而2逐="^=而，

4<V20<5,

所以2<2不一2<3,

所以估计（2.30-V24）-J-的值应在2和3之间，

故选B.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼

法''是解题的关键.

8.按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（）

A.x=3,y=3

B.x=-A,y=-2

C.x=2,y=4

D.x=4,y=2

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题可知，代入x、》值前需先判断y的正负，再进行运算方式选择，据此逐项进行计算即可得.

【详解】A选项故将X、y代入V+2y,输出结果为15,不符合题意；

3选项y<0,故将x、y代入/—2y,输出结果为20,不符合题意；

C选项y》o,故将X、y代入尤2+2y,输出结果为12,符合题意；

。选项yeo,故将X、y代入d+2y,输出结果为20,不符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查程序型代数式求值，解题的关键是根据运算程序，先进行y的正负判断，选择对应

运算方式，然后再进行计算.

9.如图，已知AB是的直径，点P在54的延长线上，与。。相切于点£）,过点B作PO的垂线交

的延长线于点C,若。。的半径为4,BC=6,则%的长为（）

A.4B.273C.3D.2.5

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【详解】【分析】连接OD,由已知易得△PODS/\PBC,根据相似三角形对应边成比例可求得PO的长，由

PA=PO-AO即可得.

【详解】连接OD,

：PD与。O相切于点D,.".0D1PD,

ZPDO=90°,

VZBCP=90°,

.,.ZPDO=ZPCB,

VZP=ZP,

/.△POD^APBC,

APO：PB=OD：BC.

即PO：(PO+4)=4：6,

.*.PO=8,

.•.PA=PO-OA=8-4=4,

故选A.

【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接OD构造相似三角形是解题的

关键.

10.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测

得旗杆顶端的仰角NAE£>=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离£火=7米，升旗台坡面CO的坡度

7=1:0.75,坡长8=2米，若旗杆底部到坡面C。的水平距离8c=1米，则旗杆AB的高度约为（）

（参考数据：sin58°«0.85,cos58°«0.53,tan58°«1.6）

教

学

楼

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

【10题答案】

【答案】B

【解析】

AfJ

【分析】延长AB交地面于点H,作CMIDE,易得CM=L6,DM=1.2,再由tan58°=——，求得AH长

EH

即可得.

【详解】延长AB交地面于点H,作CM,DE,则四边形BHMC是矩形,

；.HM=BC=1,BH=CM,

：i=1:0.75，i=CM：DM,

.•.DM=0.75CM,

VDM2+CM2=CD2,CD=2,

；.CM=1.6,DM=1.2,

・•・HE=HM+DM+DE=1+1.2+7=92,

AH

在Rk^AHE中，ZAEB=58°,；.tan58°=——

EH

AH

即-----1.6,

9.2

；.AH=14.72,

,AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12~13.1（米）,

故选B.

教

学

楼

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是

解题的关键.

11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点A,B在反比例函数丫=工(%>(),x>0)的图象

x

上，横坐标分别为1，4,对角线轴.若菱形ABC。的面积为一，则火的值为()

2

515

A.—B.—C.4D.5

44

[11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】设A(l,m),B(4,n),连接AC交BD于点M,BM=4-1=3,AM=m-n,由菱形的面积可推得m-n=

—,再根据反比例函数系数的特性可知m=4n,从而可求出n的值，即可得到k的值.

4

【详解】设A(l,m),B(4,n),连接AC交BD于点M,

则有BM=4-1=3,AM=m-n,

Ss柩ABCD=4X—BM*AM,

2

..45

•S英彩ABCD=----，

2

1、45

4x—x3(m-n)=——

22

.15

..m-n=一,

4

k

又・・,点A,B在反比例函数y=一,

x

.\k=m=4n,

5

n=—,

4

k=4n=5,

故选D.

【点睛】本题考查了反比例函数k几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直

平分是解题的关键.

x-11+x

----<-----

12.若数。使关于x的不等式组J23有且只有四个整数解，且使关于y的方程

5x-2>x+a

y+。2a-

;­=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为()

>1-11-y

A.—3B.-2C.1D.2

【12题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为

非负数，可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整

数相加即可得.

x-l1+Xx<5

【详解】解不等式（亏〈丁

得‘a+2'

x>--

5x-2>x+a4

即?“”5只有4个整数解'

由于不等式组只有四个整数解,

A0<—£1,

4

A-2<a<2；

y+a2a八

解分式方程1丁+==2,得y=2一。，

:分式方程的解为非负数,

.2-a>0

2-a—l^O

a<2且arl,

-2<aW2且存1,

符合条件的所有整数。为：-1，0,2,

和为：-1+0+2=1,

故选C.

【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、

分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中

对应的横线上.

13.计算：|一2|+（万-3）°=.

【13题答案】

【答案】3

【解析】

【详解】【分析】先分别进行绝对值化简、0次塞的计算，然后再进行加法计算即可得.

【详解】|-2|+（71-3）°

=2+1

=3,

故答案为3.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟知任何非。数的0次幕为I是解题的关键.

14.如图，在矩形ABCQ中，AB=3,AD=2,以点4为圆心，4。长为半径画弧，交AB于点E,图中

阴影部分的面积是（结果保留左）.

【14题答案】

【答案】6-7V

【解析】

【分析】由S阴影=S矩形ABCD-S扇形ADE，根据矩形面积公式、扇形面积公式进行计算即可得.

【详解】S阴影=SifijgABCD-SADE

=6-兀，

故答案为6-兀

【点睛】本题考查扇形、四边形面积的计算，结合图形确定出阴影部分面积的求法是解题的关键.

15.春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天

游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为一.

【答案】23.4

【解析】

【详解】【分析】将折线统计图中的数据按从小到大进行排序，然后根据中位数的定义即可确定.

【详解】从图中看出，五天的游客数量从小到大依次为21.9,22.4,23.4,24.9,25.4,

则中位数应为23.4,

故答案为23.4.

【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知”中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排

列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）”是解题的关键.

16.如图，把三角形纸片折叠，使点3、点C都与点A重合，折痕分别为。£，FG,得到

ZAGE=30°,若AE=EG=2石厘米，则AABC的边8C的长为____________厘米.

【16题答案】

【答案】6+4百

【解析】

【详解】【分析】过点E作EHXAG于H,由AE=EG=26,NAGE=30。可求得AG的长，由翻折可知

AE=BE、AG=CG,根据BC=BE+EG+CG,将数据代入相加即可得.

【详解】过点E作EH1AG于H,

：AE=EG=2G，NAGE=30。，

AG=2AH=2AE«cos30°=2x2牛*1=6,

2

由翻折得BE=AE=2瓜GC=GA=6，

BC=BE+EG+GC=6+4值，

故答案为6+46.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直

角三角形.

17.A3两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到6地，分别以一定的速度匀速

行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生

故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地.甲、乙两车相距的路程（千

米）与甲车行驶时间X（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距3地还有千米.

【17题答案】

【答案】90

【解析】

【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的

距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，

设乙车出故障前走了口小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了（g+4+J+；）小时行驶了全程，

乙车行驶的路程为60tl+50t2=240,列方程组求出t2,再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路

程.

402

【详解】解：甲车先行40分钟（一=一〃），所行路程为30千米,

603

30y

­二45

因此甲车的速度为2（千米/时），

3

设乙车的初始速度为V乙，则有

4

45x2=10+—彩，

3乙

解得:彩=60（千米/时），

因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），

设乙车出故障前走了L小时，修好后走了t2小时，则有

’60乙+50/2=240[

<21,解得：3,

45x-+（f1+/2+-）x45=240]=2

、33.2

45x2=90（千米），

故答案为90.

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组

进行求解是关键.

18.为实现营养合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装

有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克5粗粮，2千克

C粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A8,。三种粗粮的成本价之和.已知A粗粮每千克成

本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%,乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮

的销售利润率达到24%,则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是.

商品的售价-商品的成本价

（商品的利润率=xlOO%)

商品的成本价

【18题答案】

o

【答案】-

9

【解析】

【详解】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售。袋，乙销售匕袋使总利润率

为24%,根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）x24%=a袋甲种粗粮的利润+b袋乙种粗粮的利润，列出方程

进行整理即可得.

【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮成分：

品种

甲乙

类别

A31

B12

c12

CQ5

由题意可得甲的成本价为：.=45（元），

1+30%

甲中A的成本为：3x6=18（元），

则甲中B、C的成本之和为：45-18=27（元），

根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27x2=60（元），

设甲销售。袋，乙销售〃袋使总利润率为24%,则有

（45a+60b）x24%=（58.5-45）a+（72-60）b,

整理得:2.7a=2.4b,

所以，a：b=8：9,

Q

故答案为一.

9

【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关

键.

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位

置上。

19.如图，直线AB//C。，BC平分NAB。，Zl=54°,求N2的度数.

【19题答案】

【答案】72。

【解析】

【分析】由平行线的性质可求得/A8C=54。，再根据角平分线的定义可求得NA8£）=108。，再由平行线的性

质可求得ZCDB=12°,根据对顶角相等即可求得N2=72。.

【详解】解：AB//CD,Nl=54。，

ZABC=Z1=54°,

・・・BC平分NA8。,

ZABD=2ZABC=2x54°=108°,

■:AB//CD,

：.ZABD+ZCDB=\S00,

：.ZCDB=180°-ZABD=72°,

•・・/2=/CDB,

：.Z2=72°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.

20.某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统

计图，请结合图中相关数据解答下列问题:

（1）请将条形统计图补全;

⑵获得一等奖的同学中有"自七年级,有;来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一

等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有

九年级同学的概率.

【20题答案】

【答案】（1）答案见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据参与奖有10人，占比25%可求得获奖的总人数，用总人数减去二等奖、三等奖、鼓励奖、

参与奖的人数可求得一等奖的人数，据此补全条形图即可；

（2）根据题意分别求出七年级、八年级、九年级获得一等奖的人数，然后通过列表或画树状图法进行求

解即可得出.

【详解】（1）调查的总人数为10+25%=40（人）,

.•.获一等奖人数:40-8-6-12-10=4（人）,

补全条形图如图所示：

（2）七年级获一等奖人数：4x1=1（人）,

4

八年级获一等奖人数：4x1=1（人）,

4

九年级获一等奖人数：4-1-1=2（人），

七年级获一等奖的同学用M表示，八年级获一等奖的同学用N表示,

九年级获一等奖的同学用Pi、P2表示，树状图如下：

共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种,

41

所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率P=—

123

【点睛】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符

合事件A或事件B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形，（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位

置上。

21.计算：

（1）+—（〃+/?）（〃—Z?）

x+2%2-4x+4

(2)+x+2

x—3x—3

【21题答案】

【答案】(1)lab+b1;(2)-~-

x—2.

【解析】

【分析】(1)根据单项式乘多项式法则、平方差公式进行展开，然后再合并同类项即可得;

(2)括号内先通分进行分式的加减运算，再进行分式的除法运算即可得.

【详解】解(1)原式=a?+2ab-⑷-2=2"+/；

(2)原式j+2+(x+2)(x-3)/-3

x—3x—4x+4

(x+2)(x-2)x-3

x-3(x-2)2

x+2

x-2,

【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

22.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点把点A向左平移2个

单位，再向上平移4个单位，得到点C.过点。且与y=2x平行的直线交y轴于点

(1)求直线8的解析式；

(2)直线A8与CO交于点E，将直线CO沿EB方向平移，平移到经过点8的位置结束，求直线CO

在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.

[22题答案】

3

【答案】（1）y=2x-4（2）一一<x<2

2

【解析】

【分析】（1）由题意先求出点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线CQ与y=2x平行，可设直线

CD的解析式为y=2x+8,代入点C坐标利用待定系数法即可得；

（2）先求得点B坐标，根据直线平移后经过点B,可得平移后的解析式为y=2x+3,分别求得直线C。、直

线8尸与无轴的交点坐标即可得到平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围.

【详解】（1）•.•点A（5,租）在直线y=-x+3上，

m=-5+3=—2，A（5,-2）,

又•••点A向左平移2个单位，又向上平移4个单位得到点C,

C（3,2）,

•••直线CQ与y=2x平行，

设直线CD的解析式为y=2x+b,

又•.•直线CD过点。（3,2）,

2=6+/?,解得"4,

・•・直线8的解析式为y=2x-4；

（2）将x=o代入y=-x+3中，得y=3,即B（0,3）,

故平移之后的直线的解析式为y=2x+3,

令y=o,得x=_T，即/7（一|'，o）,

将y=0代入y=2x—4中，得尤=2,即G（2,0）,

3

CD平移过程中与工轴交点的取值范围是：一二

2

【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k值不变是解题的关键.

23.在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.

（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少

是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？

(2)到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计

划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道

路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2,且里程数之比为2:1,为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.

经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路

硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道

路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.

【23题答案】

【答案】⑴40千米；(2)10.

【解析】

【分析】(1)设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不

等式进行求解即可得；

(2)根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道

路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%,列方程进行求解即可得.

【详解】(1)设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：

x>4(50-x),

解不等式得：x>40,

答：道路硬化的里程数至少是40千米；

(2)由题意得:

2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km

道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km

，今年6月起：

道路硬化经费为：13(1+a%)万/千米，里程数：40(l+5a%)km,

道路拓宽经费为：26(l+5a%)万/千米，里程数：10(l+8a%)km,

又•.•政府投入费用为：780(l+10a%)万元，

列方程：13(l+a%)x40(l+5a%)+26(l+5a%)xl0(l+8a%)=780(l+10a%),

令a%=t,方程可整理为：

13(1+t)x40(l+5t)+26(l+5t)x10(l+8t)=780(l+10t),

520(l+t)(l+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+1Ot),

化简得：2(l+t)(l+5t)+(l+5t)(l+8t)=30+lOt),

2(l+t)(l+5t)+(1+5t)(1+8t)=3(l+10t),

1012-t=0,

t（10t-l）=0,

.••t]=0（舍去）,t2——）

综上所述：a=10,

答：a的值为10.

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓

宽的里程数及每千米需要的经费求出.

24.如图，在平行四边形ABCO中，点。是对角线AC的中点，点E是3c上一点，且=连接

并延长交于点R，过点5作AE的垂线，垂足为H,交AC于点G.

（1）若AH=3，HE=1,求△ABE的面积；

（2）若44cB=45°，求证：DF=V2CG.

【24题答案】

【答案】（D2币;（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由AH=3,HE=1可求得AB的长，根据勾股定理可求得BH的长，然后根据三角形的面积公

式进行求解即可；

（2）过点A作AMJ_BC于点M,交BG于点K,过点G作GNJ_BC于点N,结合图形根据已知条件可以

得到NMAE=/NBG,继而可得到AE=BG,通过证明AAMEMABNG,可得ME=NG,根据等

腰三角形的性质可求得BE=0GC，再根据平行四边形的性质可以证明AAFOMACEO,从而得

AF=CE,继而可得DF=BE=0CG.

【详解】（1）:AH=3,HE=1,

AB=AE=AH+HE=4,

又••・在RSABH中,BH=JAB2-AR2="2-32=g,

,-.S=-AEABH=-X4XV7=2>/7；

△ABcF.22

(2)过点A作AMLBC于点M,交BG于点K,过点G作GN_LBC于点N,

•1.NAMB=/AME=/BNG=90。，

•.•/ACB=45。，

/MAC=/ACB=/NGC=45。

•.AB=AE，

BM=ME=-BE,/BAM=/EAM,

2

又•「AELBG,

.♦./AHK=90。，

在AAHK和ABMK中，

NAHK+^MAE+—AHK=180。，

NAMB+NNBG+NBKM=180。，

..^MAE=^NBG，

设/BAM=^MAE=/NBG=a,

"AG=^MAC+qAM=450+a,

“GA=NACB+/NBG=45°+a，

;.4AG=4GA,

AB=BG>

AE=BG>

在AAME和ABNG中，

ZAME=NBNG

<ZMAE=NNBG,

AE=BG

.-.△AME^ABNG(AAS),

.•.ME=NG,

在等腰Rt^ABE中，NG=NC,

GC=V2NG=V2ME=—BE.

2

BE=V2GC，

•••O为AC的中点，

OA=OC»

•.•四边形ABCD为平行四边形，

AD||BC,AD=BC,

.•./OAF=/OCE，

NATO=/CEO，

.-.△AFO=ACEO(AAS),

.•.AF=CE,

.•.AD-AF=BC-CE,

即DF=BE,

DF=BE=V2CG

【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质

等，综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.

25.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为

“极数”.

(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”，记

rn

D(m)=一，求满足D(m)是完全平方数的所有m.

【25题答案】

【答案】（1）是；（2）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.

【解析】

［详解I分析1（1）根据“极数”的概念写出即可,设任意一个“极数”为肛（9-x）（9-y）（其中1WXW9,0WyW9,

且x、y为整数），整理可得由孙（9—x）（9—y）=99（9x+y+1）,由此即可证明；

（2）设m=A^（9-x）（9-y）（其中l<x<9,0<y<9,且x、y为整数），由题意则有

D（m）=3（10x+y+l）,根据lSx$9,0<y<9,以及D（m）为完全平方数且为3的倍数，可确定

出D（m）可取36、81、144、225,然后逐一进行讨论求解即可得.

【详解】（1）如：1188,2475,9900（答案不唯一，符合题意即可）；

猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：

设任意一个“极数”为孙（9-x）（9-y）（其中1WXW9,0<y<9,且x、y为整数），

xy（9-x）（9-y）

=1000x+100y+l0（9-x）+（9-y）

=1000x+100y+90-lOx+9-y

=990x+99y+99

=99（10x+y+l）,

：x、y为整数，则10x+y+l为整数,

.•.任意一个“极数”是99点倍数；

（2）设m=W9_x）（9_y）（其中l<x<9,0<y<9,且x、y为整数），

由题意则有D（m）=99（1°1+）+1）=3dox+y+i）,

33

Vl<x<9,0<y<9,

A33<3（10x+y+l）<300,

又YD（m）为完全平方数且为3的倍数，

；.D（m）可取36、81、144、225,

①D（m）=36时,3（10x+y+l）=36,

10x+y+l=12,

x=1,y=l,m=l188；

②D（m）=81时,3（10x+y+l）=81,

10x+y+l=27,

；.x=2,y=6,m=2673；

③D（m）=144时，3（10x+y+l）=144,

10x+y+l=48,

；.x=4,y=7,m=4752；

④D（m）=225时,3（10x+y+l）=225,

10x+y+l=75,

.'.x=7,y=4,m=7425；

综上所述，满足D（m）为完全平方数的m的值为1188,2673,4752,7425.

【点睛】本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征，分类讨

论等，易错点是容易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征.

五、解答题（本大题1个小题，共12分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步

骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

26.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线旷=-x?+4x上，且横坐标为1，点8与点A关于抛物线

的对称轴对称，直线A3与y轴交于点。，点。为抛物线的顶点，点E的坐标为（U）

（1）求线段的长；

（2）点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交A8于点〃，点尸为丫轴上一

点，当APBE的面积最大时，求PH+HF+」FO的最小值：

2

（3）在（2）中，PH+HF+』F。取得最小值时，将ACEH绕点C顺时针旋转60°后得到过

2

点尸'作CF'的垂线与直线AB交于点。，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在

点S,使得点。,Q,«,S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理

由.

【26题答案】