2025年高考数学总复习 62 第八章 第二节 两条直线的位置关系、距离公式

第二节两条直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自查自测知识点一两直线的位置关系1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上．(√2．(教材改编题)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于()A．4 B．－4C．1 D．－1A解析：因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以23＝m6≠1－13．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于()A．－6 B．4C．－10 D．－4D解析：因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10.因为垂足为(1，b)，所以10×1－4×b+2＝0，24．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A．－1，13C．1，13 B解析：3x+核心回扣1.两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C12.两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A1x知识点二三种距离公式1．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为()A．25 B．55C．5 D．2C解析：点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝2－2．在平面直角坐标系中，已知A(4，3)，B(2，1)，C(5，－2)三点，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形C解析：因为|AB|2＝(4－2)2＋(3－1)2＝8，|AC|2＝(4－5)2＋(3＋2)2＝26，|BC|2＝(2－5)2＋(1＋2)2＝18，所以AB2+BC2＝|AC|2，所以△ABC是直角三角形．故3．(教材改编题)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．2解析：由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意，所以a＝－1.此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，所以l1与l2之间的距离d＝－1核心回扣1.两点间的距离公式(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝(x(3)特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝x22．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax3．两条平行直线间的距离公式两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C【常用结论】直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．应用1过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0A解析：因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设所求直线方程为x－2y＋c＝0.又直线经过点(1，0)，代入直线方程得c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.应用2经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．4x－3y＋9＝0解析：(方法一)由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.由方程组2可解得交点为－53，79，代入4x－3y＋m＝0，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.(方法二)由题意可设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0(*)．又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入(*)式，得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.两直线的平行与垂直1．(2024·济宁模拟)直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能确定C解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1，所以两条直线相交但不垂直2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10 B．－2C．0 D．8A解析：因为l1∥l2，所以kAB＝4－mm+2＝－2，解得m＝－8，此时直线l1为2x＋y＋12＝0，符合题意．又因为l2⊥l3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m3．已知两条直线l1：x＋ysinα＋1＝0和l2：2xsinα＋y＋1＝0，若l1∥l2，则α的值为________．kπ±π4，k∈Z解析：(方法一)当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sin要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等，且两直线不重合综上，当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2(方法二)由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，所以sinα＝±22又B1C2－B2C1≠0，所以sinα－1≠0，即sinα≠1.所以α＝kπ±π4，k∈Z故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2判定两条直线位置关系的方法(1)已知两条直线的斜率存在①两条直线平行⇔两条直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两条直线垂直⇔两条直线的斜率之积为－1.(2)已知两条直线的斜率不存在当两条直线在x轴上的截距不相等时，两条直线平行；否则两条直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．两直线的交点与距离问题【例1】(1)(2024·滨州模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95 B．C．2910 D．C解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行．由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离的最大值为()A．1 B．2C．3 D．2B解析：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为|AP|＝2.(3)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3 B．4C．2 D．6B解析：由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)与点(1，0)间的距离的平方，得其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝3+0－利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)应用两平行直线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．提醒：利用几何意义转化为点与点、点与线的距离求最值．1．直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝()A．7 B．17C．14 D．17B解析：由两直线方程可知l1∥l2，直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0.因为l1与l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以2m+34+36＝10，2．(2024·鞍山模拟)已知直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，记点P(3，2)到l的距离为d，则d的取值范围为()A．0，2 BC．[0，2] D．[0，2)B解析：由直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，可得λ(x＋y－3)＋2x－y－3＝0，由x+y即直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0过定点A(2，1)，则|PA|＝2－易知直线l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0无论λ取何值，都不能表示直线l1：x＋y－3＝0，且直线PA与直线l1垂直，此时点P到l1的距离为|PA|＝2，又当直线l过点P，即λ＝－12时，d＝0所以0≤d＜2.对称问题考向1关于点的对称问题【例2】直线3x－2y＝0关于点13，0对称的直线方程为A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0B解析：(方法一)设所求直线上任一点为(m，n)，则其关于点13，0对称的因为点23－m，－n在直线3m－所以323－m－2(－n)＝0，化简得3m－2n－2所以所求直线方程为3m－2n－2＝0.(方法二)在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，则点O，M关于点13，0的对称点分别为O'2所以所求直线方程为y－即3x－2y－2＝0.中心对称问题的解法设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为P'x2，y2，则易知点由中点坐标公式得x0＝x1+x22，y0＝y1+y22，考向2关于直线的对称问题【例3】(1)唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤2，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A．2 B．10C．22 D．10B解析：设点A(2，0)关于直线x＋y＝3的对称点为点A′(a，b)，则AA′的中点为a+22，b2，由对称性可知ba－要使从点A到河岸线再到军营的总路程最短，则即为点A′到军营的距离最短，所以“将军饮马”的最短总路程为32(2)两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0C解析：设所求直线上任一点M(m，n)，点M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则n－y1因为点M′在直线3x－2y－6＝0上，所以将(*)式代入，得3(n＋2)－2(m－2)－6＝0，化简得2m－3n－4＝0，即l1关于l2对称的直线方程为2x－3y－4＝0.轴对称问题的解法设点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P′(x2，y2)，则易知直线PP′垂直于直线l，且PP′的中点在直线l上，所以kl·kPPy2，即可求得对称点坐标．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得y+2所以A′－33(2)在直线m上取一点M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则2×a+22－3设直线m与直线l的交点为N，由2x－3y+1＝0又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)(方法一)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.(方法二)因为l∥l′，所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．因为点A(－1，－2)到两直线的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得－2+6+C22+32＝－2所以直线l′的方程为2x－3y－9＝0.(方法三)设P(c，d)为直线l′上任意一点，则P(c，d)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－c，－4－d)．因为点P′在直线l：2x－3y＋1＝0上，所以2(－2－c)－3(－4－d)＋1＝0，所以2c－3d－9＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.课时质量评价(四十七)1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于()A．－2 B．2C．－1 D．1C解析：直线l1的斜率k1＝a－1－42－a＝a－52－a，直线l2的斜率k2＝－2，2．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝()A．3 B．0C．－3 D．0或－3D解析：因为直线l1与直线l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.3．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于()A．23 B．25C．2 D．4B解析：因为菱形四条边都相等，且对边平行，所以每条边上的高也相等．因为直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为1－3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为c1于是有c1－c24．直线l与直线y＝1、直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是()A．23 B．3C．－23 D．－C解析：设P(a，1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)，得a解得a＝－2，b＝4，所以P(－2所以直线l的斜率k＝1－5．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合B解析：由题意可知，直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分别为－sinAa，又在△ABC中，asinA＝bsinB，所以－sin6．(多选题)已知直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0，且l1⊥l2，则()A．直线l1恒过定点－B．直线l2恒过定点(1，1)C．m＝0或m＝1D．m＝0或m＝－3AC解析：由直线l1的方程可得m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，令x+y故直线l1恒过定点－13，13，由直线l2的方程可得m(x＋y)＋(x－1)＝0，令x+y故直线l2恒过定点(1，－1)，故选项B不正确；因为直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m＋1)＋m(m－3)＝0，即m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝1，所以选项C正确，选项D错误．7．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．345解析：由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3+n2＝2×7+8．(2024·鞍山模拟)若实数a，b，c，d满足(b－a2＋lna)2＋(c－d－2)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．2解析：因为(b－a2＋lna)2＋(c－d－2)2＝0，所以b－a2＋lna＝0，c－d－2＝0，即b＝a2－lna，d＝c－2，令f(x)＝x2－lnx，g(x)＝x－2.设直线y＝x＋m与曲线y＝f(x)＝x2－lnx相切于点P(x0，y0)，由f(x)＝x2－lnx，得f′(x)＝2x－1x则f′(x0)＝2x0－1x0.由2x0－1x0＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，所以f(x所以P(1，1)，则点P到直线y＝x－2的距离d＝1－而(a－c)2＋(b－d)2的几何意义为曲线y＝f(x)上的点(a，b)与直线y＝x－2上点(c，d)的距离的平方，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为22＝2.故答案为2.9．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.(1)求顶点C的坐标；(2)求△ABC的面积．解：(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝0上，所以n－1m－5＝－2(2)设B(a，b)，由题意知，Ma+所以a解得a＝－1，b＝－3故kBC＝3+34+1＝65，直线BC：y－即6x－5y－9＝0.又因为|BC|＝4+点A到直线BC的距离d＝6×所以S△ABC＝12×6110．已知两点A(－4，8)，B(2，4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．213 B．9C．74 D．10C解析：依题意，设B(2，4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，所以n－4所以B′(3，3)．如图，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与点C′重合时取等号，所以(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－3211．(新定义)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是()A．(－4，0) B．(0，－4)C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)A解析：设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为2+m3，4+n3，代入欧拉线方程得2+m3－4+易得AB边的中点为(1，2)，kAB＝4－00－2＝－2，线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y+3＝0，x－y+2＝0，解得x＝－1，y＝1.所以△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)2联立①②，解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，舍去，所以顶点C的坐标是(－4，0)．12．若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________．(4，5)42解析：因为直线l1：y＝kx＋1恒过定点(0，1)，又两直线关于点(2，3)对称，所以两直线经过的定点也关于点(2，3)对称，所以直线l2恒过定点(4，5)，所以l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为4－13．在平面直角坐标系中，P是曲线y＝x＋4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________4解析：由y＝x＋4x(x>0)，