2025年高考数学总复习 37 课时质量评价(三十七)

课时质量评价(三十七)1．在空间直角坐标系中，AB＝(1，－1，0)，BC＝(－2，0，1)，平面α的一个法向量为m＝(－1，0，1)，则平面α与平面ABC夹角的正弦值为()A．336 B．C．34 D．A解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB=x－y=0，n·BC=－2x+z=0.取x＝1，则y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ABC的一个法向量．设平面α与平面ABC的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉2．(数学与文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90˚，AB＝2，BC＝22，若直线CA1与直线AB所成角为60˚，则AA1＝()A．3 B．2C．22 D．23B解析：如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，22，0)．设A1(2，0，z)(z>0)，则BA＝(2，0，0)，CA1＝(2，－22，z)，所以|cos〈BA，CA1〉|＝42×12+z2＝3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为()A．33 B．C．13 D．B解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(0，2，1)，C(2，2，0)，所以CE＝(0，－2，1)，CF＝(－2，0，1)．设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，则CE·n取x＝1，则y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ECF的一个法向量．易知m＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·nmn＝所以平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为634．(多选题)如图，三棱锥D­ABC的各棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是()A．OA，OB，OC的长度相等B．直线OD与BC所成的角是45˚C．直线AD与OB所成的角是45˚D．直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为3AC解析：因为三棱锥D­ABC的各棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，所以OA＝OB＝OC＝2，故A正确．如图，建立空间直角坐标系，可得O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(2，2，2)，所以OB＝(0，2，0)，AC＝(－2，0，2)，AD＝(0，2，2)，OD＝(2，2，2因为OD·BC＝0，所以OD⊥BC，即直线OD与BC所成的角是90˚，故B不正确．cos〈AD，OB〉＝AD·OBADOB＝22，可得直线AD设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)为平面ACD的一个法向量．设直线OB与平面ACD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈OB，n〉|＝OB·nOBn＝22×3＝335．如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线．已知三棱锥P­ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，AB∥CD，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值为()A．34 B．C．155 D．C解析：以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(2，2，0)，A(0，0，0)，E(2，－1，0)，则有PC＝(2，2，－2)，AE＝(2，－1，0)，AP＝(0，0，2)．设平面PAE的法向量n＝(x，y，z)，则n·AE令x＝1，则y＝2，z＝0，即n＝(1，2，0)，所以cos〈PC，n〉＝PC·nPC所以直线PC与平面PAE所成角的正弦值为155.故选C6．在空间直角坐标系中，若A(1，－2，0)，B(2，1，6)，则向量AB与平面Oxz的法向量的夹角的正弦值为________．74解析：设平面Oxz的法向量为n＝(0，t，0)(t≠0)．由题意知AB＝(1，3，6)，所以cos〈n，AB〉＝n·ABnAB＝3t4t.因为〈n，AB〉∈[0，π]，所以sin〈7．若在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60˚，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．24解析：设M为AC的中点，连接MB，MA1，如图，由题意知△ABC所以BM⊥AC，同理A1M⊥AC.因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，MA，MB，MA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，3)，C1(－2，0，3)，所以AC1＝(－3，0，3)，A1B＝(0，3，－设异面直线AC1与A1B所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AC1，A1B〉|＝AC故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为248．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为________4解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设DD1＝a(a＞0)，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，所以AC＝(－2，2，0)，AD1＝(－2，0，a)，CC1＝(0，0，a设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC取x＝1，则y＝1，z＝2a，所以n＝1，1，故cos〈n，CC1〉＝n·CC1n因为直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，所以22a2+4＝139．在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，AC＝22，PB⊥平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN＝6，Q为线段AB上的点(不包括端点A，B)．若异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434，则BQBA＝(A．14 B．C．12 D．A解析：因为AB＝BC＝2，AC＝22，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC.因为PB⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PB⊥AB，PB⊥BC.以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，A(2，0，0)，所以BM＝2.因为MN＝6，所以BN＝MN2－BM2＝2，所以PB＝4，则P(0，设BQBA＝λ，则BQ＝λBA(0<λ<1)，所以Q(2λ，0，0)易知PM＝(1，1，－4)，CQ＝(2λ，－2，0)，所以PM·CQ＝1×2λ＋1×(－2)＋(－4)×0＝2λ－2，|PM|＝12+12+－42＝3因为异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434所以|cos〈PM，CQ〉|＝PM·CQPMCQ＝2λ－232×4λ2+4＝10．(多选题)(2024·嘉兴模拟)如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，下列说法正确的是()A．直线EF与直线AB所成的角为πB．直线EF与直线AD所成的角为πC．直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为3D．直线EF与平面ABD所成的角的正弦值为2ABC解析：如图，将正四面体ABCD放在正方体AGBH­MCND中，设正方体AGBH­MCND的棱长为2，以A为原点，AG，AH，AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(2，0，2)，D(0，2，2)，E(1，1，0)，F(1，1，2)．因为EF＝(0，0，2)，AB＝(2，2，0)，所以EF·AB＝0，即EF⊥AB，故A正确．因为AD＝(0，2，2)，cos〈EF，AD〉＝EF·ADEF所以直线EF与直线AD所成的角为π4，故B设平面BCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，BC＝(0，－2，2)，BD＝(－2，0，2)，则m·BC取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，所以m＝(1，1，1)为平面BCD的一个法向量．所以cos〈EF，m〉＝EF·mEFm＝故直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为33，故C设平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·AB取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1，所以n＝(1，－1，1)为平面ABD的一个法向量．所以cos〈EF，n〉＝EF·nEFn＝223＝33，故直线EF11．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90˚.若PA＝PD＝AB＝DC＝2，∠APD＝60˚，则平面PBC与平面PAB夹角的余弦值为______．77解析：如图，取AD的中点F，BC的中点E，连接PF，FE，由已知可得FE∥AB，FE∥DC因为∠BAP＝∠CDP＝90˚，所以AB⊥PA，DC⊥PD，所以FE⊥PA，FE⊥PD.又因为PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面PAD，所以FE⊥平面PAD.因为AD，PF⊂平面PAD，所以FE⊥AD，FE⊥PF.因为PA＝PD，所以PF⊥AD.以F为原点，FA，FE，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为PA＝PD＝AB＝DC＝2，∠APD＝60˚，所以AD＝2，所以A(1，0，0)，P(0，0，3)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)．所以BC＝(－2，0，0)，BP＝(－1，－2，3)，BA＝(0，－2，0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，则n·BC取y1＝3，则x1＝0，z1＝2，所以n＝(0，3，2)是平面PBC的一个法向量．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，则m·BP取x2＝3，则y2＝0，z2＝1，所以m＝(3，0，1)是平面PAB的一个法向量．设平面PBC与平面PAB的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n，m〉|＝n·mnm＝所以平面PBC与平面PAB夹角的余弦值为7712．(2024·广东一模)如图，已知圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆O1，上异于点C，D的任意一点．(1)若点D到平面ACP的距离为233，证明：O1P⊥(2)求OC与平面ACP所成角的正弦值的取值范围．(1)证明：如图1，连接DP，过点D作DH⊥AP,垂足为H.因为CD是圆O1的直径，所以CP⊥DP.因为AD是圆柱侧面的母线，所以AD⊥平面CDP.因为CP⊂平面CDP，所以AD⊥CP.又因为AD，DP⊂平面ADP，AD∩DP＝D，所以CP⊥平面ADP.因为DH⊂平面ADP,所以DH⊥CP.又因为DH⊥AP，AP，PC⊂平面ACP，AP∩PC＝P，所以DH⊥平面ACP.所以点D到平面ACP的距离为DH，即DH＝23设DP＝a(a>0)，则AP＝a2由AD·DP＝AP·DH，得2·a＝a2+4·233因为CD＝2，所以DP＝PC＝2.因为O1是CD的中点，所以O1P⊥CD．图1图2(2)(方法一)如图2，在平面PCD内，过点O1作O1E⊥O1C交圆O1于点E，连接OO1.因为OO1⊥平面PCD，所以O1E，O1C，O1O两两相互垂直，以O1为原点，分别以O1E，O1C，O1O所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，2)，C(0，1，0)，A(0，－1，2)．设点P(m，n，0)，因为点P在圆O1上，所以m2＋n2＝1，且n∈(－1，1)．则OC＝(0，1，－2)，AC＝(0，2，－2)，CP＝(m，n－1，0)．设平面ACP的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC=0，n·CP=0，即2y－2z=0，mx+n－1设OC与平面ACP所成角为θ，则sinθ＝|cos〈OC，n〉|＝OC·nOCn＝m5因为n－121－n2＝n－1n－11－n1+所以－1＋21+n∈(0，＋所以2+n－121－n所以sinθ＝15·2所以OC与平面ACP所成角的正弦值的取值范围是0，(方法二)由(1)知，点D到平面ACP的距离为DH.连接OD交AC于点F，如图3.图3因为OA∥CD,且OA＝12CD,所以OF＝12所以点O到平面ACP的距离为12DH在Rt△ADP中，由等面积法得DH＝AD·DPAP＝2DP4+DP所以DH＝2DP4+DP2＝2DP24+设OC与平面ACP所成角为θ，所以OC与平面ACP所成角的正弦值sinθ＝12DHOC所以sinθ＝DH25∈所以OC与平面ACP所成角的正弦值的取值范围是0，13．(2024·1月·九省适应性测试)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45˚.(1)证明：C1O⊥平面ABCD；(2)求平面BAA1与平面AA1D