2025年高考数学总复习 30 课时质量评价(三十)

课时质量评价(三十)1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，a－2b＝3，则a·A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又|a|＝1，|b|＝3，所以代入得a·b＝1.2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为()A．－5e B．C．－2e D．2eC解析：设a与b所成的角为θ，则cosθ＝a·故a在b上的投影向量为(|a|cosθ)e＝－2e.3．(多选题)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，则下列说法正确的是()A．m·n＝－1B．m与n的夹角为2πC．|m－n|＝7D．(m＋n)⊥(m－n)ABC解析：因为|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，所以m2+n2即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确；因为cos〈m，n〉＝m·nmn＝－12，且0≤所以〈m，n〉＝2π3，故B因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝7，故C正确；因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误．4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6 B．－5C．5 D．6C解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·即25+3t5＝3＋t，解得5．(2024·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60˚，a＝3，S△ABC＝1534，则AB边上的中线长为(A．49 B．7C．49D解析：由S△ABC＝12absinC＝12×3×b不妨设AB的中点为M，则CM＝故CM＝12CA+CB2即AB边上的中线长为726．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．2π3解析：由b＝(－1，0)，得|b|＝因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，即a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0.因为|a|＝4，所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－12因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π37．已知AB＝(cos23˚，cos67˚)，BC＝(2cos68˚，2cos22˚)，则△ABC的面积为________．22解析：根据题意知AB＝(cos23˚，cos67˚)所以BA＝(－cos23˚，－sin23˚)，则BA＝1.又因为BC＝(2cos68˚，2cos22˚)＝(2cos68˚，2sin68˚)，所以BC＝2.由BA·BC＝－2cos23˚cos68˚＝－2(cos23˚cos68˚＋sin23˚·sin68˚)＝－2×cos45˚＝－2，得cosB＝BA·BCBABC＝－22，所以B＝135˚.故S△8．在平面直角坐标系中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足AB－tOC·OC＝0，求解：(1)由题意可得AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB+AC＝(2，6)，AB－AC＝所以AB+AC＝210，AB故所求的两条对角线的长分别为210，(2)由题意可得，OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋由AB－tOC·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)即－6－4t－5－t＝0，从而5t＝－11，解得t＝－1159．(多选题)(数学与文化)八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有()A．OA·B．OBC．AH·D．AHABD解析：对于A，OA·OD＝1×1×cos3π对于B，OB+OH对于C，AH＝BC，HO＝BO，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，对于D，AH·AB＝AB2cosπ4，由余弦定理可得AB2＝2－10．(多选题)(2024·广东一模)已知向量a＝1，3，b＝(cosα，sinα)，则下列结论正确的是(ABDA．若a∥b，则tanα＝3B．若a⊥b，则tanα＝－3C．若a与b的夹角为π3，则D．若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是－11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90˚.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是(A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6]D解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4)．设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，所以PA·PB＝x2－3x+又x－322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上的点到点32，2距离的平方，圆心(0，0)到点32，2的距离为5即PA·PB∈[－4，6].故选12．(数学与生活)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM·PN的取值范围是(A．[1，2] B．[2，3]C．3B解析：如图所示，取AF的中点Q，连接OA，OF，OQ，OP.根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝3.又PM·PN＝PO＝PO＝PO2+PO·ON+OM－根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，PO有最小值为3，此时PO2－1＝2.当点P位于正六边形的顶点时，PO有最大值为2，此时PO2－1＝3.故PM·PN的取值范围是[2，13．在△ABC中，AB＝3sinx，sinx，AC＝(－(1)设f(x)＝AB·AC，若f(A)＝0，求角(2)若对任意的实数t，恒有AB－tAC≥BC，解：(1)f(x)＝AB·AC＝－3sin2x＋sinxcosx＝－3×因为f(A)＝0，所以sin2A又因