2025年高考数学总复习 23 课时质量评价(二十三)

课时质量评价(二十三)1．(2024·海口模拟)若tanα·tanβ＝2，则cosαA．－3 B．－1C．13 A解析：由题意，得cosα－βcosα+β＝cos2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P12，32，现将角α的终边按逆时针方向旋转π3，记此时角αA．－32，C．(1，0) D．(0，1)B解析：由三角函数的定义知，sinα＝32，cosα＝12，将角α的终边按逆时针方向旋转π3所得的角为α＋π3，故点Q的横坐标为cosα+π3＝cosαcosπ3－点Q的纵坐标为sinα+π3＝sinαcosπ3＋cosα·sinπ3＝33．(数学与文化)公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18˚.若4m2＋n＝16，则mnA．1 B．2C．4 D．8C解析：因为m＝2sin18˚，由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18˚)2＝16cos218˚，所以mn2cos227˚－4．已知α，β∈π3，5π6，若sinα+π6＝45，cosA．1665 B．C．5665 D．A解析：由题意可得α＋π6∈π2，π，β－所以cosα+π6＝－35，sinβ所以sin(α－β)＝－sinα+π6－β－5．(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是()A．cos(－15˚)＝6B．sin15˚sin30˚sin75˚＝1C．cos(α－35˚)cos(25˚＋α)＋sin(α－35˚)·sin(25˚＋α)＝－1D．2sin18˚cos36˚＝1BD解析：对于A，cos(－15˚)＝cos15˚＝cos(45˚－30˚)＝cos45˚cos30˚＋sin45˚sin30˚＝6+对于B，sin15˚sin30˚sin75˚＝sin15˚sin30˚cos15˚＝12sin15˚cos15˚＝14sin30˚＝对于C，cos(α－35˚)cos(25˚＋α)＋sin(α－35˚)·sin(25˚＋α)＝cos[(α－35˚)－(25˚＋α)]＝cos(－60˚)＝cos60˚＝12对于D，2sin18˚cos36˚＝2cos72˚cos36˚＝2×sin144˚2sin6．sin12°218解析：因为sin12°2cos2127．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tanα+π3＝－2，则cosα－1010解析：因为α∈π，3π2，则α＋π又tanα+π3＝－2<0，故α＋π3∈3π2，11π6，则cos故cosα+π12＝cosα+π3－π＝55×28．已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α，β为锐角，则α＋2βπ4解析：因为sinα＝210，且α为锐角，所以cosα＝1－sin2因为cosβ＝31010，且β为锐角，所以sinβ＝1－cos2那么sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－所以cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinαsin2β＝7210×因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈0，9．已知2sinα＝2sin2α2(1)求sinαcosα＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tanβ＝1，求α解：(1)由已知得2sinα＝－cosα，所以tanα＝－12则sinαcosα＋cos2α＝sinαcosα+cos(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan2β＝2tanβ1－则tan(α＋2β)＝tanα+tan2β因为β∈0，π2，所以2又tan2β＝－13＞－33，则2β∈因为α∈(0，π)，tanα＝－12＞－33，则α∈5π6，π，则α＋2β∈5π3，10．(数学与生活)所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1－cos(A，B).已知P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，R(cosα，－sinα)，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tanA．17 B．C．4 D．7A解析：由OP＝(cosα，sinα)，OQ＝(cosβ，sinβ)，OR＝(cosα，－sinα)，得cos(P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(cos(Q，R)＝OQ·OROQOR＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(所以1－cos则cosα－βcosα+β＝cosαcos11．(2024·1月·九省适应性测试)已知θ∈3π4，π，tan2θ＝－4tanθA．14 B．C．1 D．3A解析：由tan2θ＝－4tanθ+得2tanθ1－tan2θ＝－4tan即(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－12因为θ∈3π4，π，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝故1+sin2θ2cos2θ+故选A．12．(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是()A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．315sinx＋35cosx＝35sinxC．f(x)＝sinx2＋cosx2D．sin50˚(1＋3tan10˚)＝1CD解析：对于A，左边＝－[cos(α－β)·cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；对于B，315sinx＋35cosx＝6532sinx对于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin所以f(x)的最大值为2，故C正确；对于D，由sin50˚(1＋3tan10˚)＝sin50˚·1＝sin50˚·cos10˚+3sin1013．如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴的非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝55，点B的横坐标是－7(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意知，OA＝OM＝1，则有S△OAM＝12OA·OM·sinα＝55，解得sinα又α为锐角，则cosα＝1－sin2因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－72则cosβ＝－7210，sinβ＝1－所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×－7(2)由(1)知sinα＝255，cosα＝55，sinβ＝210，cosβ则sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝255×－从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)＝255×－因为α为锐角，sinα＝255>22，则有α∈π4，又β∈π2，π，因此2α－β∈－π2，π214．已知△ABC不是直角三角形，且在△ABC中，sinAsinBsin(C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝34(1)若tanC＝2，λ＝1，求1tan(2)是否存在λ，使得1tanA+解：(1)由tanθ＝340＜θ＜π2，可得sinθ＝由λ＝1，得sinAsinBsin(C－θ)＝sin2C，则sinAsinB·45sinC－由tanC＝2，可得s