专题9 导数中的同构问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (北师大版2019)

专题9导数中的同构问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(北师大版2019)主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容为北师大版2019年高中数学选择性必修第二册“专题9导数中的同构问题”，主要涉及导数的应用，以及如何利用同构思想解决导数问题。

2.教学内容与学生已有知识的联系主要体现在：本节课是在学生已经学习了导数的定义、性质、求导法则以及导数在函数研究中的应用等知识的基础上，进一步探讨导数中的同构问题。教材中涉及到的同构思想有助于学生深化对导数概念的理解，提高解决实际问题的能力。核心素养目标1.理解导数中的同构问题，提升逻辑思维与数学抽象能力。

2.通过解决同构问题，培养数学建模与数学运算技能。

3.增强问题解决意识，提高分析问题和解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了导数的基本概念、求导法则，以及导数在函数图像分析中的应用等相关知识。

2.学习兴趣：学生对导数在解决实际问题中的应用表现出较高的兴趣，对于同构问题可能较为陌生，但好奇心驱使他们愿意探索新方法。

学习能力：学生在数学逻辑思维和抽象思维方面具备一定的基础，能够理解并应用导数的基本概念。

学习风格：学生习惯通过例题和练习来巩固知识，喜欢在探究中发现问题并解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：对同构概念的理解可能存在障碍，将同构思想应用于导数问题的过程中可能会感到困惑，以及解决复杂同构问题时可能缺乏有效的策略和方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-教科书：北师大版2019年高中数学选择性必修第二册

-教学PPT

-黑板与粉笔

-计算器

-数学软件（如GeoGebra）

-白板与白板笔

-实物模型（如有需要）

-课程教学平台（如学校指定的在线学习系统）教学过程设计1.导入环节（用时5分钟）

-教师通过展示一个生活中的实际问题，例如物体的运动速度与时间的关系，引导学生思考如何利用导数来描述这种变化。

-提出问题：“在研究物体运动时，我们如何通过导数来找到物体在某一时刻的速度？”

-学生思考并回答，教师总结并引出本节课的主题“导数中的同构问题”。

2.讲授新课（用时20分钟）

-教师首先解释同构的概念，并通过几个简单的例子让学生直观感受同构思想在数学中的应用。

-接着，教师通过具体例题，展示如何将同构思想应用于导数问题的解决过程中。

-例题1：给定函数f(x)，求f'(x)的同构函数。

-例题2：利用同构思想求极值问题。

-在讲解过程中，教师引导学生积极参与，通过提问和解答问题来检查学生对新知识的理解程度。

3.巩固练习（用时10分钟）

-教师给出几个练习题，要求学生在纸上独立完成，并及时给出答案和解析。

-练习题1：给定一个复杂的导数问题，要求学生利用同构思想简化问题并求解。

-练习题2：讨论同构思想在解决实际问题中的应用。

-教师选取几名学生上黑板展示解题过程，其他学生进行评价和讨论。

4.课堂提问与师生互动（用时5分钟）

-教师提问：“通过今天的学习，你们认为同构思想在数学中有什么重要作用？”

-学生回答，教师总结并强调同构思想在数学问题解决中的价值。

-教师再次提问：“在解决导数问题时，你们认为还有什么方法可以简化问题？”

-学生分享自己的想法，教师进行点评和指导。

5.总结与拓展（用时5分钟）

-教师总结本节课的主要内容，强调同构思想在导数问题解决中的应用。

-提出拓展性问题，鼓励学生在课后进行思考和探索。

-布置作业：要求学生在课后完成几道与同构问题相关的练习题，并准备在下节课上分享解题思路。

整个教学过程注重学生的参与和互动，通过实例和练习，帮助学生理解同构思想在导数问题中的应用，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。教学资源拓展1.拓展资源：

-《高等数学》中关于导数和微分方程的章节，以加深对导数概念的理解。

-《数学分析》中涉及到的极限、连续性和导数理论，为同构问题的深入理解提供理论基础。

-数学科普书籍，如《数学之美》中关于数学思想的探讨，帮助学生从更广泛的角度理解同构思想。

-在线教育平台上的相关课程和教学视频，如KhanAcademy、Coursera等，提供额外的学习资源。

-学术论文和期刊文章，特别是那些探讨导数在物理学、工程学等领域应用的论文。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读《高等数学》的相关章节，特别是关于导数的应用和微分方程的初步知识，以加深对导数本质的理解。

-建议学生自学《数学分析》中关于极限、连续性和导数的基本理论，这有助于他们在遇到更复杂的同构问题时，能够从理论上进行分析和解决。

-推荐学生阅读数学科普书籍，特别是关于数学思想和方法的部分，这有助于他们拓宽视野，理解同构思想在数学中的广泛应用。

-建议学生利用在线教育平台，如KhanAcademy和Coursera，观看相关的教学视频，以巩固和拓展课堂所学知识。

-鼓励学生查阅相关的学术论文和期刊文章，了解导数在物理学、工程学等领域的应用，从而加深对数学知识的实际应用的理解。

-建议学生参与数学竞赛或数学建模活动，这些活动能够提供实际问题的解决经验，并锻炼他们运用同构思想解决问题的能力。

-鼓励学生组建学习小组，共同探讨和解决同构问题，通过合作学习，互相启发思维，提高问题解决能力。

-建议学生在日常生活中留意与导数相关的现象，如物体的运动、温度变化等，尝试用数学知识解释这些现象，从而增强对数学的兴趣和应用意识。课堂1.课堂评价：

-提问：在课堂教学中，教师通过提问的方式检查学生对同构问题的理解和掌握程度。问题设计应涵盖基础知识、应用能力和思维拓展等方面。例如，教师可以提问：“如何将一个复杂的导数问题转化为同构问题？”或“你能给出一个同构思想解决导数问题的实例吗？”

-观察：教师在课堂上观察学生的参与度、反应和合作情况，以及他们在解决同构问题时的思维过程。教师应注意学生在解题过程中是否能够正确应用同构思想，以及他们是否能够有效地与他人合作交流。

-测试：在课程结束时，教师可以安排一个小测验，以评估学生对课堂内容的掌握情况。测试题应包括选择题、填空题和解答题，旨在检测学生对同构概念的理解和运用能力。

-及时解决问题：在评价过程中，教师应及时发现学生的问题，并提供个性化的指导和建议。对于普遍存在的问题，教师应适时调整教学策略，确保学生能够克服困难。

2.作业评价：

-批改：教师应认真批改学生的作业，不仅关注答案的正确性，还要关注解题过程和思路的合理性。批改作业时，教师应记录下学生的常见错误和不足之处，以便在课堂上进行针对性的讲解。

-点评：在作业批改后，教师应选择具有代表性的作业进行点评，指出学生的优点和需要改进的地方。点评可以是全班性的，也可以是个别性的，旨在帮助学生认识到自己的进步和不足。

-反馈：教师应及时向学生反馈作业评价结果，鼓励他们继续努力。反馈可以包括书面的评语，也可以是面对面的交流。教师应鼓励学生针对评价结果进行反思，并提出改进措施。

-鼓励：对于在作业中表现出色的学生，教师应给予表扬和鼓励，以激发他们的学习动力。同时，教师也应鼓励那些在作业中遇到困难的学生，帮助他们建立信心，克服挑战。重点题型整理题型一：求导数同构函数

题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的同构函数。

解答：首先求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-6x。同构函数是原函数导数的形式，因此f'(x)的同构函数可以表示为g(x)=3x^2-6x+c，其中c为任意常数。

题型二：利用同构思想求极值

题目：函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-6x+1在x∈[0,3]区间内求极值。

解答：首先求出f(x)的导数f'(x)=4x^3-12x^2+12x-6。令f'(x)=0，得到x的值。通过分析f'(x)的符号变化，确定极值点。解得x=1和x=2，计算f(1)和f(2)的值，比较大小，得到极大值和极小值。

题型三：导数同构在物理中的应用

题目：一个物体做直线运动，其位移函数s(t)=t^3-6t^2+9t+1（t为时间，单位：秒，s为位移，单位：米）。求物体在t=2秒时的速度和加速度。

解答：首先求出位移函数s(t)的导数s'(t)=3t^2-12t+9，这是物体在任意时刻t的速度函数v(t)。再求v(t)的导数a(t)=6t-12，这是物体的加速度函数。将t=2代入v(t)和a(t)，得到物体在t=2秒时的速度v(2)=-3米/秒，加速度a(2)=-6米/秒^2。

题型四：导数同构在函数图像分析中的应用

题目：分析函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)内的单调性和凹凸性。

解答：首先求出f(x)的导数f'(x)=3x^2-3。令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，函数在这两个区间内单调递增。令f'(x)<0，解得-1<x<1，函数在这个区间内单调递减。接着求二阶导数f''(x)=6x，令f''(x)>0，解得x>0，函数在x>0时凹。令f''(x)<0，解得x<0，函数在x<0时凸。

题型五：综合应用题

题目：已知函数g(x)=x^2+bx+c在x=1时取得极值，且g'(1)=3。求b和c的值，并求出g(x)在x∈[-2,3]区间内的最大值和最小值。

解答：首先求出g(x)的导数g'(x)=2x+b。由于g'(1)=3，代入得b=1。又因为g(x)在x=1时取得极值，所以g'(1)=0，解得b=-2。因此，b=-2，c的值未知。接着求二阶导数g''(x)=2，由于g''(x)>0，函数在整个定义域内凹。最后，通过计算g(-2)、g(1)和g(3)的值，比较大小，得到函数在x∈[-2,3]区间内的最大值和最小值。教学反思与总结在整个教学过程中，我围绕“导数中的同构问题”这一主题，力求通过多种教学手段和方法，帮助学生理解和掌握相关知识。现在，我对这次教学进行反思和总结。

教学反思：

在教学方法上，我尝试通过创设情境、提出问题的方式激发学生的兴趣和求知欲，但在实际操作中，我发现部分学生对情境的迁移能力较弱，难以将情境与导数同构问题联系起来。这提示我在今后的教学中，需要更加深入地了解学生的认知特点，设计更加贴近学生生活经验的情境。

在教学策略上，我注重了知识的系统性和连贯性，但在讲解同构思想的应用时，可能过于侧重理论，导致一些学生在实际操作中仍然感到困惑。今后，我需要更多地结合具体实例，让学生在实践中理解和掌握同构思想。

在课堂管理上，我努力营造了一个轻松、自由的学习氛围，鼓励学生提问和表达自己的观点。但我也注意到，一些学生在讨论时可能会偏离主题，需要我更加细致地引导和调控课堂节奏。

教学总结：

本节课在知识传授方面，我认为学生已经较好地掌握了导数的基本概念和求导法则，对同构思想也有了一定的认识。在技能培养方面，学生通过练习巩固了对同构问题的解决方法，提高了分析问题和解决问题的能力。在情感态度方面，学生对数学学习的兴趣有所提高，对同构问题的好奇心也明显增强。

然而，我也发现了一些不足之处。例如，部分学生在面对复杂的同构问题时，仍然感到困难重