拓扑群的表示论

19/24拓扑群的表示论第一部分拓扑群表示论的基本概念及其重要性 2第二部分拓扑群的不可约表示 4第三部分拓扑群的连续表示与紧致子群 5第四部分李群与拓扑群表示论的联系 8第五部分表示论在拓扑学中的应用 10第六部分拓扑群表示论中的同调理论 13第七部分非交换拓扑群的表示论 17第八部分拓扑群表示论的现代发展 19

第一部分拓扑群表示论的基本概念及其重要性关键词关键要点主题名称：拓扑群的同态

1.同态是群论中的基本概念，表示两个群之间的结构保持映射。

2.拓扑群的同态除了满足群论的同态定义外，还需满足拓扑结构的连续性。

3.同态可以揭示拓扑群之间的结构关系，为拓扑群的研究提供重要工具。

主题名称：拓扑群的表示

拓扑群表示论的基本概念及其重要性

拓扑群

拓扑群是一个既是一个拓扑空间又是一个群的代数结构。这允许对群论和拓扑学进行综合研究。拓扑群的典型例子包括李群和域上的仿射群。

表示

拓扑群表示论是研究拓扑群作用于拓扑向量空间或其他拓扑空间的研究领域。一个表示是一个同态映射，它将拓扑群映射到可逆算子群上。

既约表示

既约表示是不可分解表示，即不能表示为两个更小的表示的直和。既约表示对于拓扑群的结构分析至关重要。

不可约性

拓扑群表示的不可约性是其不可分解为更小表示的性质。不可约表示对于确定拓扑群的结构非常有用。

表示论的应用

拓扑群表示论在数学和物理学中有着广泛的应用。

*群论：表示论提供了一种分析群结构和性质的方法。

*调和分析：表示论用于研究傅里叶变换和调和函数等谐波分析问题。

*李群：李群表示论是李群理论的基础，在物理学中具有重要应用。

*粒子物理学：表示论用于描述基本粒子的对称性。

*数论：表示论用于研究模形式和数字和。

重要性

拓扑群表示论至关重要，因为它：

*提供了分析拓扑群结构和性质的工具。

*为调和分析和李群理论提供了基础。

*在物理学、数论和许多其他领域有着广泛的应用。

*推动了数学和物理学中各种重要概念的发展。

具体示例

*李群SU(2)：其既约表示对应于自旋-1/2粒子的态。

*域上的仿射群：其表示论用于研究几何和动力系统。

*调和分析中的傅里叶变换：是拓扑群表示论的一个例子。

*数论中的模形式：模形式是具有拓扑群对称性的函数。

参考文献

*Serre,Jean-Pierre.LinearRepresentationsofFiniteGroups.Springer-Verlag,1977.

*Bourbaki,Nicolas.ÉlémentsdeMathématique:GroupesetAlgèbresdeLie.Springer-Verlag,2006.

*Folland,GeraldB.ACourseinAbstractHarmonicAnalysis.CRCPress,1995.第二部分拓扑群的不可约表示拓扑群的不可约表示

不可约表示是表示论中一个基本概念，在拓扑群的表示论中尤为重要。不可约表示可以看作是群作用分解为不可再分解的基本单元。

定义：

性质：

*不可约表示的等价类对应于表示ρ在V上的轨道。

*有限维表示都是有限个不可约表示的直和。

*不可约表示可以被扩展成可约表示，但可约表示不能被扩展成不可约表示。

*对于紧李群，所有不可约表示都是有限维的。

构造：

1.字符理论：

对于G的不可约表示ρ，其特征为：

```

χρ(g)=Tr(ρ(g))

```

不同不可约表示的特征是线性独立的。

2.诱导表示：

设H是G的闭子群。对于H的不可约表示σ，可以构造G的诱导表示ρ=IndG,Hσ。ρ通常是可约的，但可以通过分解其不可约成分来得到不可约表示。

3.亏变诱导：

对于G的正规子群N，可以构造亏变诱导表示ρ=ResG,Nσ，其中σ是N的不可约表示。ρ可能不是不可约的，但可以通过分解其不可约成分来得到不可约表示。

4.庞特里亚金对偶：

对于局部紧阿贝尔群G，其不可约表示是特征为酉单元的酉表示。这些表示与G的Pontryagin对偶群相对应。

应用：

*分类拓扑群：不同拓扑群的不可约表示集不同，可以用来对群进行分类。

*研究群的结构：不可约表示的性质可以反映群的代数和几何性质。

*量子力学：不可约表示在量子力学中描述系统的量子态，每个量子态对应于一个不可约表示。第三部分拓扑群的连续表示与紧致子群拓扑群的连续表示与紧致子群

在拓扑群的表示论中，紧致子群在理解群的连续酉表示方面发挥着至关重要的作用。本节将介绍紧致子群与连续表示之间的关系。

Peter-Weyl定理

Peter-Weyl定理是拓扑群表示论中的一个里程碑式定理。它刻画了紧致群的连续酉表示集。

定理（Peter-Weyl定理）：设G是一个紧致群，则G的所有不可约连续酉表示均为有限维的，并且它们按等价类分解成一系列互不相同的不可约表示的直和。

推论：

*紧致群的连续酉表示集是有限维的。

*紧致群的连续酉表示的维数是G的元素个数的因子。

紧致子群与连续表示

在一般情况下，拓扑群的连续表示与紧致子群之间存在密切的关系。

定义：一个拓扑群的紧致子群是一个包含在群中、且本身为紧致群的子群。

定理：设G是一个局部紧拓扑群，H是G的一个紧致子群。则G的每个连续酉表示在H上有等价表示。

证明：

假设ρ:G→U(H)是G的一个连续酉表示。设K是H的一个开邻域，则K也存在一个开邻域V，使得VxH⊆K。定义一个映射：

```

π:G×H→U(H)

π(g,h)=ρ(gx)

```

其中x∈V，gV⊆V。易见，π是一个连续映射。将π限制在H上，得到一个映射：

```

ρ'|H:H→U(H)

ρ'|H(h)=π(e,h)=ρ(hx)

```

其中e是G的单位元。由于ρ是连续的，π也是连续的，所以ρ'|H也是连续的。因此，ρ'|H是H的一个连续酉表示，且与ρ在H上等价。

推论：

*G的连续酉表示的不可约分解在H上保持不变。

*如果H的某个不可约表示出现在G的一个连续酉表示中，那么它将出现在所有G的连续酉表示中。

应用

紧致子群与连续表示之间的关系在拓扑群表示论中具有广泛的应用。例如，利用紧致子群可以：

*构造G的不可约连续酉表示

*分解G的不可约连续酉表示

*证明某些拓扑群的表征定理第四部分李群与拓扑群表示论的联系关键词关键要点【李群的表示论和拓扑群表示论的联系】：

1.李群是满足特定条件的拓扑群。

2.李群的表示论是拓扑群表示论的一个特例，专门研究李群的表示。

3.李群表示论在数学和物理学中都有广泛的应用，例如在对称性和不变性的研究中。

【拓扑群的酉表示】：

拓扑群与拓扑群表示论的联系

李群，以挪威数学家索菲斯·李（SophusLie）的名字命名，是一类重要的拓扑群。它们由一个可微流形组成，并配备了一个连续的群运算，使得群运算与流形的可微结构兼容。李群在数学和物理学中都有着广泛的应用，特别是微分几何、代数拓扑和表示论等领域。

拓扑群表示论是研究拓扑群及其表示的一种分支。表示是指将拓扑群同态映射到线性变换群的一种同态映射。拓扑群的表示论在数学的许多领域都有着重要的应用，包括数论、代数几何和数学物理等。

李群与拓扑群表示论之间存在着密切的联系，主要体现在以下几个方面：

1.李代数与李群表示

李代数是研究李群局部性质的一种代数工具。李群的李代数是李群在单位元处的切空间，它是一个有限维实李代数。通过外导数算子，可以建立李群与李代数之间的一种双射关系，称为李对偶性。这个李对偶性将李群的表示论与李代数的表示论联系在一起。

具体来说，李群的表示可以通过它的李代数表示来构造。给定一个李群G的表示ρ，其李代数g的表示ρ_g可以通过外导数算子导出：ρ_g(X)=dρ(X)(1)，其中X∈g，1∈G。反之，给定一个李代数g的表示ρ_g，可以通过积分算子构造李群G的表示ρ：ρ(g)=exp(∫₀¹ρ_g(g(t))dt)，其中g∈G。

2.李群的表示分类

李群的表示分类是拓扑群表示论中的一项重要问题。对于李群，其表示可以分为既约表示、不可约表示和不可分表示三种类型。既约表示是指不能分解为两个或多个子表示的表示。不可约表示是指可以分解为多个既约表示的表示。不可分表示是指既约表示与不可约表示的直和。

李群的表示分类可以通过其李代数的表示分类来实现。这是因为李群的表示与李代数的表示之间存在着李对偶性。通过李对偶性，李群的表示类型可以从李代数的表示类型推导出来。

3.李群表示在物理学中的应用

李群及其表示在物理学中有广泛的应用，尤其是在对称性和守恒定律的研究中。例如，在量子力学中，对称变换群往往是李群，如平移群、旋转群、洛伦兹群等。通过研究这些李群的表示，可以获得物理系统对称性变换下的不变性性质，以及守恒定律。

此外，李群表示在粒子物理、广义相对论和凝聚态物理等领域也有着重要的应用。它们为物理学家提供了描述和理解物理系统对称性和守恒定律的有效数学工具。

总结

李群与拓扑群表示论之间有着密切的联系。李代数与李群表示之间的李对偶性将两者的表示论联系在一起。李群的表示分类可以通过李代数的表示分类来实现。李群及其表示在物理学中有着广泛的应用，为物理学家提供了描述和理解物理系统对称性和守恒定律的有效数学工具。第五部分表示论在拓扑学中的应用关键词关键要点李群的表示论

1.李群的表示论是李群与线性代数之间的桥梁，它将李群的代数结构与李代数的表示理论联系起来。

2.李群的表示论对李群的分类、分析和几何性质的研究具有重要意义，在物理学、数学和工程科学等领域有着广泛的应用。

3.李群的表示论与调和分析、偏微分方程和数论等其他数学分支有着紧密的联系，促进了这些领域的交叉融合和发展。

拓扑群的傅里叶变换

1.拓扑群的傅里叶变换是拓扑群上的函数的分析工具，它将函数分解为分解为群表示的特征函数的积分。

2.拓扑群的傅里叶变换在调和分析、数论和表示论中有着广泛的应用，例如解析数论中的自守形式的分析。

3.拓扑群的傅里叶变换是研究非交换群的调和分析和表示论的重要工具，在非交换几何和量子物理中有潜在的应用。

拓扑群的上同调理论

1.拓扑群的上同调理论是将同调代数应用于拓扑群的框架，它研究拓扑群的同伦群和同调群。

2.拓扑群的上同调理论与群论、几何拓扑和代数拓扑紧密相关，在研究拓扑群的拓扑性质和分类方面发挥着重要作用。

3.拓扑群的上同调理论在群论中具有应用，例如证明有关群的同胚性质和可解性的定理。

拓扑群的K-理论

1.拓扑群的K-理论是使用K-群的研究拓扑群的代数不变量的理论，它将代数拓扑和群论结合起来。

2.拓扑群的K-理论在研究拓扑群的分类、拓扑性质和表示论方面有着应用，例如对有限群的分类和李群的稳定性问题。

3.拓扑群的K-理论与数论和代数几何有着密切的联系，在研究数论问题和代数簇的几何性质方面发挥着作用。

拓扑群的L2-同调

1.拓扑群的L2-同调是使用l2-范数研究拓扑群的同调理论，它与经典的上同调理论互补。

2.拓扑群的l2-同调在量子场论、算子代数和非交换几何中有着应用，例如研究量子场论中的局部算符和非交换几何中的量子群。

3.拓扑群的l2-同调是研究拓扑群的调和分析和谱理论的重要工具，在研究李群和阿贝尔群的表示论方面发挥作用。表示论在拓扑学中的应用

拓扑群体表示论是表示论的一个分支，它研究拓扑群（装备了连续群运算的拓扑空间）的表示。表示论在拓扑学中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：

1.拓扑不变量的构造

拓扑群的表示可以用来构造拓扑不变量，即不随同胚而改变的拓扑性质。例如：

*亏格:曲面的亏格可以通过其基本群的表示来计算。

*同伦群:空间的同伦群可以通过其基本群的表示来计算。

*稳定同痕不变量:空间的稳定同痕不变量可以通过其同伦群的表示来计算。

2.拓扑空间的分类

拓扑群的表示可以用来对拓扑空间进行分类。例如：

*李群:李群是拓扑群的一种重要类型，可以用它们的李代数来分类。

*约化群:约化群是李群的一种子群，可以通过其不变量来分类。

*阿贝尔群:阿贝尔群是拓扑群的一种特殊类型，可以用它们的Pontryagin对偶来分类。

3.同调论和上同调论

表示论在同调论和上同调论中扮演着重要的角色。例如：

*同调群的表示:同调群可以通过拓扑群的表示来表示，称为链复形的表示。

*上同调群的表示:上同调群可以通过拓扑群的表示来表示，称为上链复形的表示。

*光谱序列:光谱序列是一种用于计算同调和上同调群的代数工具，它与拓扑群的表示密切相关。

4.代数拓扑学

表示论在代数拓扑学中具有广泛的应用，包括：

*纤维化:拓扑空间的纤维化可以通过拓扑群的表示来理解。

*覆盖空间:拓扑空间的覆盖空间可以通过拓扑群的表示来构造。

*基本群:空间的基本群可以通过拓扑群的表示来理解，并用于研究空间的同伦类型。

5.几何拓扑学

表示论在几何拓扑学中也扮演着重要的角色，包括：

*三维流形:三维流形的拓扑性质可以用它们的的基本群和同伦群的表示来理解。

*纽结理论:纽结的拓扑性质可以用它们的群环的表示来理解。

*低维拓扑:低维拓扑中的许多问题都可以用表示论的方法来解决。

具体示例

以下是一些具体示例，说明表示论在拓扑学中的应用：

*三叶草纽结的群环表示:三叶草纽结的群环表示可以计算出其不变量，如琼斯多项式和亚历山大多项式。

*庞加莱猜想的证明:表示论在庞加莱猜想（三维流形等价于三维球体的猜想）的证明中发挥了关键作用。

*Donaldson定理:Donaldson定理（四维流形光滑结构存在性定理）的证明依赖于表示论中关于纽结和四流形的理论。

总结

表示论是拓扑学中的一门重要工具，它提供了构造拓扑不变量、分类拓扑空间以及研究同调论、代数拓扑学和几何拓扑学等学科的强大方法。通过研究拓扑群的表示，数学家可以深入理解拓扑空间的性质和结构。第六部分拓扑群表示论中的同调理论关键词关键要点拓扑群表示论中的同调理论

1.同调群的定义和性质：

-拓扑空间的同调群是研究该空间拓扑性质的代数不变量。

-它们通过奇异同调和德拉姆同调等方法构造，并具有重要性质，如可交换性和稳定性。

2.同调群与表示论的联系：

-拓扑群表示论中，一个拓扑群的同调群与该群的表示密切相关。

-模环上的群代数的同调群是该群的表示空间，而群环上的同调群包含有关群表示结构的信息。

表示的同调理论

1.表示同调空间的定义：

-表示同调空间是研究某个群的表示的同伦不变量。

-它是一个格拉斯曼流形，其同调群与该群的表示理论有关。

2.表示同调理论的应用：

-表示同调理论已成功应用于研究有限群、李群和代数群的表示理论。

-它提供了理解这些群的表示的强大工具，并导致了诸如格罗滕迪克概型等重要定理的发展。

奇异同调理论

1.奇异同调的定义和计算：

-奇异同调是一种构造拓扑空间同调群的方法，通过定义奇异链复形并计算其同调。

-它是研究拓扑空间基本性质的经典工具。

2.奇异同调在表示论中的应用：

-奇异同调理论已用于计算拓扑群的同调群，并为理解群表示提供了见解。

-它特别适用于非紧群和无穷维群。

德拉姆同调理论

1.德拉姆同调的定义和特点：

-德拉姆同调是一种构造拓扑流形的同调群的方法，通过研究其微分形式。

-它在代数拓扑和微分几何中有着广泛的应用。

2.德拉姆同调在表示论中的应用：

-德拉姆同调理论已用于研究李群和对称群的表示。

-它为理解这些群的表示的几何性质提供了新的视角。

非交换同调理论

1.非交换同调的定义和概念：

-非交换同调理论是对交换同调理论的推广，它适用于非交换环和代数。

-它提供了研究非交换结构，如群环和代数群的表示的新方法。

2.非交换同调在表示论中的应用：

-非交换同调理论在理解有限群和无穷维群的表示方面发挥着重要作用。

-它有助于揭示这些群的表示的更精细结构和不变量。拓扑群表示论中的同调理论

在拓扑群表示论中，同调理论提供了探索拓扑群及其表示的强大工具。它基于拓扑空间的基本不动点集合，可以揭示群和表示的代数和拓扑性质。

基本定义

给定拓扑群G和G的表示V，其同调群定义如下：

*零阶同调群（H₀(V))：表示V的不变子空间的商空间。

*n阶同调群（H_n(V))：表示V中G不动点的不变闭包的n维奇异链群的商群。

微分算子

同调群之间通过微分算子边界算子（∂）关联，该算子满足如下性质：

*自然性：∂对于表示同态是自然同态。

*交换性：∂²=0。

同调序列

微分算子允许我们构造同调序列：

```

...→H<sub>n+1</sub>(V)→H<sub>n</sub>(V)→H<sub>n</sub>(W)→H<sub>n-1</sub>(V)→...

```

其中W表示V的G不动点。

应用

拓扑群表示论中的同调理论有广泛的应用，包括：

*性质分类：它用于对表示进行分类，例如完全可约表示或不可约表示。

*同调群的计算：它提供了计算同调群的方法，例如通过惠特尼和-赫奇定理。

*拓扑不变量：它可以构造与表示相关的拓扑不变量，例如亏格和勒贝格数。

*表示的稳定性：它用于研究表示的稳定性，例如对于紧致群的单元表示。

拓扑群表示论中的非交换同调

在拓扑群表示论中，非交换同调理论也发挥着重要作用。它建立在链复形的范畴上，而不是阿贝尔群的范畴上。这允许我们探索更复杂的群和表示的同调性质。

K-理论

K-理论是拓扑群表示论中的非交换同调理论的一个重要分支。它将代数群的表示与拓扑空间的K-群联系起来，提供了研究群表示的强大框架。

结语

拓扑群表示论中的同调理论是一个深刻而有力的理论，它提供了探索拓扑群及其表示的代数和拓扑性质的强大工具。它已经成为数学和理论物理学中不可或缺的领域。第七部分非交换拓扑群的表示论关键词关键要点李群的无限维表示论

1.研究李群在无穷维希尔伯特空间上的无限维表示。

2.利用李代数的结构理论来研究无限维表示的性质。

3.应用于量子力学、数学物理和表示论等领域。

谱度理论

非交换拓扑群的表示论

1.绪论

拓扑群表示论研究的是拓扑群（即具有群结构和拓扑结构的数学对象）的表示，即群元素到线性算子的同态映射。非交换拓扑群的表示论与交换拓扑群的表示论有很大不同，主要是因为非交换群的结构更为复杂。

2.诱导表示

诱导表示是将一个子群的表示扩展到整个群的表示的方法。对于非交换拓扑群，诱导表示的理论更加复杂，因为需要考虑拓扑结构。

3.马斯垂特定理

马斯垂特定理断言，一个紧致连通李群的所有不可约连续有限维表示都是有限维的。这一定理对于非交换拓扑群的表示论至关重要，因为它提供了构造和分类表示的框架。

4.双余性：庞特里亚金对偶

双余性是表示论中的一个重要概念，它描述了群表示与群上函数空间之间的一一对应关系。对于非交换拓扑群，庞特里亚金对偶给出了群表示和群的特征函数之间的对偶性。

5.傅立叶变换：哈尔分析

傅立叶变换是群表示论中的基本工具，它将函数分解为其频率分量的过程。对于非交换拓扑群，哈尔分析提供了一类特殊的函数集合，可用于定义傅立叶变换，这对于研究群的表示至关重要。

6.分解定理

分解定理断言，一个紧致非交换拓扑群的连续有限维表示可以分解为不可约表示的直和。这一定理对于理解和构造群的表示非常重要。

7.酉表示理论

酉表示理论研究的是酉群（即酉空间上的群）的表示。对于非交换拓扑群，酉表示理论特别重要，因为它与量子力学和统计物理等领域有密切联系。

8.算子代数方法

算子代数方法将群表示论与算子代数理论联系起来。对于非交换拓扑群，C*-代数和冯·诺依曼代数用于研究群的表示。

9.调和分析

调和分析是研究函数在其定义域上行为的数学分支。对于非交换拓扑群，调和分析用于研究群上的函数和表示之间的关系。

10.应用

非交换拓扑群的表示论在数学和物理学的许多领域有着广泛的应用，包括：

*物理学：描述基本粒子的对称性

*数论：研究数论中的伽罗瓦群

*代数几何：研究代数簇的自同态群

*流体力学：分析湍流的特征

结论

非交换拓扑群的表示论是一个充满挑战和富有成效的数学领域。它的理论为理解和分类群的表示提供了框架，并在数学和物理学的各个领域有着广泛的应用。第八部分拓扑群表示论的现代发展关键词关键要点【局部紧群的单元表示】：

1.局部紧群的表示理论是拓扑群表示论的重要分支，它研究局部紧群的连续酉表示。

2.彼得-外尔定理给出了局部紧群的不可约酉表示的分类，并将其与团的哈尔测度联系起来。

3.诱导表示和马斯表示理论提供了构造局部紧群的表示的有力工具。

【非阿贝尔群的调和分析】：

拓扑群表示论的现代发展

拓扑群表示论在现代数学中占据着重要的地位，近年来取得了长足的发展，推动了多个相关领域的进步。

#局部紧群的表示论

局部紧群的表示论是拓扑群表示论的核心领域，其现代发展主要集中在以下几个方面：

酉表示的一般理论

酉表示的一般理论旨在建立酉表示的抽象框架，包括哈尔测度、酉等价和不变量积分等概念。这一理论的完善为后续的发展奠定了基础。

单位元附近的表示

局部紧群的单位元附近的表示刻画了群在单位元附近的行为，对理解群的结构非常重要。近年来，这一领域的研究取得了突破性进展，如哈里什-钱德拉模和级数公式的发展。

自表示

自表示是群自身作用于自身表示空间的特殊表示。自表示的理论与群的同调和K-理论密切相关，近年来得到了广泛的研究。

算子代数和李群表示

算子代数和李群表示的交叉领域得到了蓬勃发展，推动了算子代数和表示论之间的相互作用。这一领域的研究为理解李群的非交换几何结构提供了新的视角。

#无限维群的表示论

无限维群的表示论是近几十年来兴起的新领域，其现代发展主要集中在以下几个方面：

李代数表示

李代数表示的理论研究李代数在无限维希尔伯特空间中的表示。这一理论与拓扑群表示论、调和分析和算子代数有着广泛的交叉。

自同构组表示

自同构组表示的理论研究无限维拓扑群的自同构群在希尔伯特空间中的表示。这一理论与无限维李群表示论和算子代数紧密相关。

无限维酉群表示

无限维酉群表示的理论研究无穷维酉群在希尔伯特空间中的表示。这一理论与量子力学、统计物理和算子代数有着紧密的联系。

#应用

拓扑群表示论的现代发展在多个领域产生了广泛的应用，包括：

量子物理

量子物理中，李群表示论用于描述基本粒子的对称性和相互作用，在量子场论和粒子物理中发挥着至关重要的作用。

调和分析

调和分析中，拓扑群表示论用于研究局部紧群上的调和函数和积分算子，在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。

算子代数

算子代数中，拓扑群表示论用于研究算子代数的结构和性质，在量子信息和数学物理中有着重要的作用。

#未来展望

拓扑群表示论的现代发展方兴未艾，其未来的研究方向主要集中在以下几个方面：

无限维群表示论的进一步发展

无限维群表示论是一个充满活力的新领域，未来将继续探索其内部结构和应用潜力。

局部紧群表示论的精细化

局部紧群表示论的现代发展将继续深入，探索更精细的结构和性质，如自表示和算子代数表示之间的关系。

与其他领域的交叉

拓扑群表示论将继续与算子代数、调和