高考总复习理数（人教版）课时作业提升第06章数列第1节数列的概念与简单表示法

课时作业提升(三十一)数列的概念与简单表示法A组夯实基础1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，… B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，… D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)解析：选C根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C．2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5＝()A．eq\f(3,2) B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,5) D．eq\f(2,3)解析：选Da2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2)＝1＋eq\f(－1,2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(－1,a4)＝eq\f(2,3).3．(2018·海淀期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为()A．5 B．6C．7 D．8解析：选B由(n＋1)an＝nan＋1得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))为常数列，则eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B．4．已知数列{an}的通项公式an＝n2－(6＋2λ)n＋2016，若a6或a7为数列{an}的最小项，则实数λ的取值范围是()A．(3,4) B．[2,5]C．[3,4] D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(9,2)))解析：选D依题意，由二次函数的性质可知，当eq\f(11,2)＜3＋λ＜eq\f(15,2)，即eq\f(5,2)＜λ＜eq\f(9,2)时，a6或a7为数列{an}的最小项，故实数λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(9,2))).5．(2018·昆明检测)在数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,3)，anan＋2＝1，则a2018＋a2019＝()A．eq\f(5,6) B．eq\f(7,3)C．eq\f(7,2) D．5解析：选B依题意，a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,3)，a3＝2，a4＝3，a5＝eq\f(1,2)，a6＝eq\f(1,3)，…，数列{an}是周期为4的数列，所以a2018＋a2019＝a2＋a3＝eq\f(7,3).6．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(4,11－2n)(n∈N*)，则满足an＋1＜an的n的取值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C由an＋1＜an，得an＋1－an＝eq\f(4,9－2n)－eq\f(4,11－2n)＝eq\f(8,9－2n11－2n)＜0，解得eq\f(9,2)＜n＜eq\f(11,2)，又n∈N*，所以n＝5.7．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝()A．2n－1－1 B．2n－1C．2n－1 D．2n＋1解析：选B当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.8．数列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的通项公式为________.解析：由已知得，数列可写成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通项公式为an＝eq\f(n,2n－1).答案：an＝eq\f(n,2n－1)9．已知数列{an}的通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·3n－1，n为偶数，,2n－5，n为奇数，))则a3a4＝________.解析：由题意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4答案：5410．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.因为当n＝1时，不符合an＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2))11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．12．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求数列{an}的通项公式．解：由a1＝S1＝eq\f(1,6)(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S1＞1，得a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1,6)(an＋1＋1)(an＋1＋2)－eq\f(1,6)(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.B组能力提升1．将石子摆成如图所示的梯形，称数列5,9,14，…为“梯形数列”，记此“梯形数列”的第n项为an，则a6＝()A．25 B．30C．35 D．40解析：选C方法一由题意知a2－a1＝4，a3－a2＝5，…，a6－a5＝8，由此得a6－a1＝4＋5＋…＋8＝eq\f(5×4＋8,2)＝30，所以a6＝30＋a1＝35.故选C．方法二观察得出a6即为“上底为2，下底为8，高为7的梯形的面积数”即a6＝eq\f(2＋8×7,2)＝35.故选C．2．一给定函数y＝f(x)的图象在下列各图中，并且对任意a1∈(0,1),由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an(n∈N*)，则该函数的图象是()解析：选A由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an，可以知道x∈(0,1)时f(x)>x，即f(x)的图象在y＝x图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件．3．(2018·白银月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝________.解析：由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，∴an＋1＝4an(n≥2)．∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3×4n－2，n≥2))4．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝eq\f(2,an＋1)且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．所以bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)n＝1，,\f(1,n)n≥2.))(2