2024-2025学年新教材高中数学第8章函数应用测评含解析苏教版必修第一册1

PAGE1-第8章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=则该函数的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析当x<0时,令x(x+4)=0,解得x=-4;当x≥0时,令x(x-4)=0,解得x=0或x=4.综上,该函数的零点有3个.2.(2024福建福州高一期末)函数f(x)=log3(x+1)+x-2的零点所在的一个区间是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)答案B解析因为f(0)=-2,f(1)=log32-1<0,f(2)=1>0,f(3)=log34+1>0,f(4)=log35+2>0,所以函数零点所在的一个区间是(1,2).故选B.3.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()答案C解析二分法求函数零点时,其零点左右两侧的函数值符号相反,而C中零点两侧函数值同号,故选C.4.(2024山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律,指数增长率r与R0,T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,∴r==0.38,∴e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t≈0.69,∴t≈≈1.8(天),故选B.5.(2024河南焦作高一期末)已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0至少有两个实数根,则实数a的取值范围为()A.(0,1) B.(0,1]C.[0,2) D.[0,2]答案A解析方程f(x)-a=0至少有两个实数根,等价于函数f(x)的图象与直线y=a至少有两个不同的交点.作出直线y=a与函数f(x)的图象,如图所示.依据图象可知,当0<a<1时,函数f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点;当a=1时,函数f(x)的图象与直线y=a有一个交点;当a>1或a≤0时,函数f(x)的图象与直线y=a没有交点,所以a的取值范围是(0,1).6.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是()答案B解析由鱼缸的形态可知,水的体积随着h的减小,先削减得慢,后削减得快,又削减得慢.故选B.7.若函数f(x)=(其中a>0,a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是()A.∪(1,3) B.(1,3]C.(2,3) D.(2,3]答案C解析由函数的解析式可知a>2,因为指数函数y=ax是增函数,在区间(2,a]上无零点,所以函数y=loga(x-2)在区间(a,+∞)上存在零点,由于y=loga(x-2)是增函数,故当x=a时,有loga(a-2)<0=loga1,从而a-2<1,即a<3,所以实数a的取值范围是(2,3).故选C.8.(2024天津,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.∪(2,+∞) B.∪(0,2)C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案D解析f(x)=g(x)=f(x)-|kx2-2x|有4个零点,即f(x)=|kx2-2x|有四个交点.(1)若k>0,则如图.①∵,∴k3>k,k2>1,k>1,∴左侧无交点.②x3=kx2-2x要有三个根,即x2-kx+2=0有两根,∵Δ=k2-8>0,∴k>2.综上①②,k>2.(2)若k<0,如图.∵点恰在y=-x上,且过二次函数顶点,∴k<0恒成立.综上,k∈(-∞,0)∪(2,+∞).故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.在一次社会实践活动中,某数学调研小组依据车间持续5个小时的生产状况画出了某种产品的总产量y(单位:kg)与时间x(单位:h)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确推断是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步削减C.最终一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最终两小时内,该车间没有生产该产品答案BD解析由图象得,前3小时内,每小时的产量逐步削减,故A错误,B正确;后2小时均没有生产,故C错误,D正确.故选BD.10.(2024广东东莞高一月考)已知函数f(x)=恰有两个零点,实数m的取值范围可以是()A.(-∞,-2) B.[-2,0)C.[0,4) D.[4,+∞)答案BD解析在同一平面直角坐标系中,作出函数y=-x2-2x,y=x-4的图象,如图,由图象可知,当-2≤m<0时,函数f(x)有两个零点-2和4;当m≥4时,函数f(x)有两个零点-2和0.故选BD.11.(2024广东广州执信中学高二期中)函数f(x)的定义域为[-1,1),其图象如图所示,函数g(x)是定义域为R的奇函数,满意g(2-x)+g(x)=0,且x∈(0,1)时,g(x)=f(x),则以下结论正确的是()A.g(0)=0B.g(x)是以2为周期的函数C.函数g(x)在(-1,5)上有且仅有3个零点D.不等式f(-x)<0的解集为{x|-1<x<0}答案ABD解析对于A,由函数g(x)是定义域为R的奇函数得到g(0)=0,故A正确;对于B,由于g(2-x)=-g(x)=g(-x),所以函数的周期为2,故B正确;对于C,由周期为2可知g(4)=g(2)=g(0)=0,由g(2-x)+g(x)=0可得g(1)+g(1)=2g(1)=0,所以g(3)=g(1)=0,故C错误;对于D,结合函数f(x)的图象,由f(-x)<0得0<-x<1,解得-1<x<0,故D正确.故选ABD.12.(2024山东莒县教化局教学探讨室高一期中)已知函数f(x)=,则下列关于f(x)的性质表述正确的是()A.f(x)为偶函数B.f=-f(x)C.f(x)在[2,3]上的最大值为-D.g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上至少有一个零点答案ABD解析f(x)=的定义城为R,f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A正确;f=-f(x),故B正确;因为f(x)==-1+,当x∈[2,3]时,y=1+x2是增函数,所以f(x)=-1+是减函数,因此f(x)max=f(2)=-1+=-,故C错误;因为g(x)=f(x)+x,所以g(-1)=f(-1)-1=-1,g(0)=f(0)+0=1,即g(-1)g(0)<0.由零点存在定理可得,g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上存在零点,故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.假如函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则另一个零点是.

答案3解析函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则f(0)=0,所以m=-3,则f(x)=x2-3x,于是另一个零点是3.14.用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上的近似解,先取区间中点c=,则下一个含根的区间是.

答案解析令f(x)=lnx-2+x,则f(1)=ln1-2+1=-1<0,f(2)=ln2-2+2=ln2>0,f=ln-2+=ln=ln-ln=ln=ln<ln1=0,∴f·f(2)<0,∴下一个含根的区间是.15.已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的取值范围为.

答案(-2,0)解析∵f(x)在(0,1)上有零点,∴-a=x2+x在(0,1)上有解,令y=x2+x=,则函数y=x2+x,x∈(0,1)的值域为(0,2),∴0<-a<2,∴-2<a<0.16.(2024天津西青高一期末)用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园,墙长为16米,则矩形花园面积的最大值是平方米.

答案98解析设与墙平行的篱笆长为x米,由题可得0<x≤16,则花园面积S=x·=-(x-14)2+98,0<x≤16,则当x=14时,S取得最大值为98,故矩形花园面积的最大值是98平方米.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024陕西咸阳高一期末)已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x).(1)证明:函数f(x)是偶函数;(2)求函数f(x)的零点.(1)证明由解得-3<x<3,∴函数的定义域为{x|-3<x<3},关于原点对称,又f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)解f(x)=ln(3-x)+ln(3+x)=ln(9-x2).令f(x)=ln(9-x2)=0,∴9-x2=1,解得x=±2(经检验符合题意).∴函数f(x)的零点为-2和2.18.(12分)(2024湖南张家界高一期末)某变异病毒感染的治疗过程中,须要用到某医药公司生产的A类药品.该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元,每生产x千件需另投入成本为C(x)=x2+20x(单位:万元),每千件药品售价为60万元,此类药品年生产量不超过280千件,假设在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完.(1)求公司生产A类药品当年所获利润y(单位:万元)的最大值.(2)当年产量为多少千件时,每千件药品的平均利润最大?并求最大平均利润.解(1)由题可得0<x≤280,y=60x--160=-x2+40x-160=-(x-200)2+3840≤3840,当x=200时,y取得最大值3840.所以当年产量为200千件时,在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元.(2)可知平均利润为=-+40≤-2+40=32,当且仅当,即x=40时,等号成立.所以当年产量为40千件时,每千件药品的平均利润最大为32万元.19.(12分)(2024广东深圳高一期末)已知函数f(x)=x|x-2|.(1)若x∈[-1,2],求函数f(x)的值域;(2)若函数g(x)=f(x)+ax-1在区间(0,+∞)上恰好有三个零点,求实数a的取值范围.解(1)当x∈[-1,2]时,f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,所以x=1时,f(x)有最大值1;x=-1时,f(x)有最小值-3.故值域为[-3,1].(2)令g(x)=0,得a=-|x-2|,令y=-|x-2|,当x≥2时,y=-x+2,易知函数y=-x+2在[2,+∞)上为减函数,所以y≤;当0<x<2时,y=+x-2≥2-2=0,当且仅当x=1时,等号成立.作出y=-|x-2|的简图如下,由题意及图象可知,a的取值范围为.20.(12分)(2024浙江高一课时练习)利用计算器,用二分法求方程lgx+x-3=0的近似解(精确到0.1).解令f(x)=lgx+x-3,可知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(2)f(3)<0,所以可知方程lgx+x-3=0的解在区间(2,3)内.利用二分法逐步计算,列表如下:区间中点值中点的函数值的符号(2,3)2.5f(2.5)<0(2.5,3)2.75f(2.75)>0(2.5,2.75)2.625f(2.625)>0(2.5,2.625)2.5625f(2.5625)<0因为f(2.5625)f(2.625)<0,且2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以方程lgx+x-3=0的近似解可取2.6.21.(12分)已知函数f(x)是开口向上的二次函数,0和5是函数的两个零点,且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的解析式.解(1)由题意,可设f(x)=ax(x-5)(a>0),∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a=12.∴a=2.∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).(2)由(1)知f(x)=2x2-10x=2,①当t+1<,即t<时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t+1)=2(t+1)2-10(t+1)=2t2-6t-8;②当t>时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,∴g(t)=f(t)=2t2-10t;③当t≤≤t+1,即≤t≤时,f(x)在对称轴处取得最小值,∴g(t)=f=-.综上所述,g(t)=22.(12分)(2024江西赣州高一期末)为削减人员聚集,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示,当S中有x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均上班路上时间为f(x)(单位:分钟),则f(x)=而公交群体中的人均上班路上时间不受x的影响,恒为40分钟,试依据