2024年九年级数学下册28锐角三角函数28.2应用举例2检测题含解析新版新人教版

《28.2应用举例》第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01基础题学问点1利用方向角解直角三角形1．(河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(D)A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里2．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(D)A．25eq\r(3)海里B．25eq\r(2)海里C．50海里D．25海里3．(南京中考)如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：过点C作CH⊥AD，垂足为H，设CH＝xkm，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tanA＝eq\f(CH,AH)，∴AH＝eq\f(CH,tan37°)＝eq\f(x,tan37°).在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∵tan∠CEH＝eq\f(CH,EH)，∴EH＝eq\f(CH,tan45°)＝x.∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴∠AHC＝∠ADB＝90°.∴HC∥DB.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(AC,CB).又∵C为AB的中点，∴AC＝CB.∴AH＝HD.∴eq\f(x,tan37°)＝x＋5.∴x＝eq\f(5×tan37°,1－tan37°)≈eq\f(5×0.75,1－0.75)＝15.∴AE＝AH＋HE＝eq\f(15,tan37°)＋15≈35(km)．因此，E处距离港口A大约35km.学问点2利用坡度、坡角解直角三角形4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(B)A．4eq\r(3)米B．6eq\r(5)米C．12eq\r(5)米D．24米5．已知四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300m，250m，200m，200m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度说法正确的是(B)A．A的最高B．B的最高C．C的最高D．D的最高6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米．参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意，得BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5，BE＝20米，∴eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,2.5).∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝eq\f(CF,tanD)＝20eq\r(3)米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋20eq\r(3)≈90.6(米)．答：坝底AD的长度约为90.6米．02中档题7．(唐山丰南区一模)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，假如海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C)A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里8．(青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地须要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数．参考数据：sin67°≈eq\f(12,13)，cos67°≈eq\f(5,13)，tan67°≈eq\f(12,5)，eq\r(3)≈1.73)解：作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)≈eq\f(12,13)，∴AD≈eq\f(12,13)AB＝480km.cos∠ABD＝eq\f(BD,AB)≈eq\f(5,13)，∴BD≈eq\f(5,13)AB＝200km.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(\r(3),3).∴CD＝eq\f(\r(3),3)BD≈115km.∴AC＝CD＋DA≈595km.答：A地到C地之间高铁线路的长约为595km.9．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶eq\r(3)，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝eq\f(EF,CF)＝eq\f(1,\r(3))＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°.∴EF＝eq\f(1,2)CE＝10米，CF＝10eq\r(3)米．∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10eq\r(3))米．在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋10eq\r(3))米．∴AB＝AH＋HB＝(35＋10eq\r(3))米．答：楼房AB的高为(35＋10eq\r(3))米．03综合题10．(连云港中考)如图，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C.已知AB＝1400米，AC＝1000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．(1)求△ABC的面积；(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD.试求A，D间的距离．(结果精确到0.1米．参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，eq\r(2)≈1.414)解：(1)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E.在Rt△AEC中，∠CAE＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，∴CE＝AC·sin53.2°≈1000×0.8＝800(米)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CE＝eq\f(1,2)×1400×800＝560000(平方米)．(2)连接AD，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则DF∥CE.∵D是BC的中点，∴DF＝eq\f(1,2)CE＝400米，BF＝EF＝eq\f(1,2)