七年级数学培优(1-22讲)

第1讲与有理数有关的概念

考点•方法•破译

1.了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.

2.会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求

一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典・考题・赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前一7米⑵收人一50元⑶体重增加一3千克

【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个

要素：一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两，如“向前与自后、收

入与支出、增加与减少等等”

解:⑴向前一7米表示向后7米⑵收入一50元表示支出50元⑶体重增加一3千克表示体

重减小3千克.

【变式题组】

01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作（）

A.-18%B.-8%C.+2%D.+8%

02.（金华）如果+3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为（）

A.-5吨B.+5吨C.-3吨D.+3吨

03.（山西）北京与纽约的时差一13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京

时间15：00,纽约时问是

22.

【例2】在一了，不，0.0333这四个数中有理数的个数（）

4.1个B.2个C.3个D.4个

正整数

正有理数

正分数

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数〈0按整数、

负整数

负有理数

负份数

正整数

整数4。

分数分类，有理数彳［负整数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为乃=

正分数

分数＜

负分数

3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以乃不是有理数，一了是分数

0.0333是无限循环小数可以化成分数形式，。是整数，所以都是有理数，故选C.

【变式题组】

01.在7,0.15,一〈,-301.31.25,100./,一3001中，负分数为，整数

Zo

为,正整数,

02.（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规

律.击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数

的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正

数，所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数，故答案为一丽y.

【变式题组】

01.（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=

5+4,第四十数是17=9+8…观察并精想第六个数是.

02.（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填一

03.（茂名）有一组数/,2,5,10,17,26…请观察规律，则第8个数为

【例41（2008年河北张家口）若/+称的相反数是一3,则m的相反数是

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互

为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为

相反数，本题号=—4,〃?=-8

【变式题组】

01.（四川宜宾）一5的相反数是（)

11

A.5B.~C.-5D.一二

5

02.己知。与8互为相反数，c与d互为倒数，则a+6+cd=+1

03.如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、8、C内分一

别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反LzL

数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为（）

A.-1,2,0B,0,-2,1C.-2,0,1D.2,1,0

【例5】（湖北）〃、b为有理数，且〃>0,Z?<0,b\>a,则一〃，一b的大小顺

序是（）

A.b<—a<a<.—hB.-a<b<a<—hC.-b<a<.—a<hD.-〃V

2

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示4的点到原点的

a（a>0）

距离，即lai,用式子表示为5=，0（。=0）.本题注意数形结合思想，画一条数轴

-a（a<0）

*6±—'0a-b标出a、6,依相反数的意义标出一〃,一a,故选A.

【变式题组】

01.推理①若。=从则㈤=|";②若|a|=|b|,则a=b；③若则1a|W|”；④若

|a|#6,则其中正确的个数为（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

02.八氏c三个数在数轴上的位置如图，则弓+2+3=.）■―J—尸

03.。、氏c为不等于。的有理散，则旦+-9+号的值可能是.

a\h|c）

【例6】（江西课改）已知|a-4|+由一8|=0,则华的值.

ab

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数。的绝对值都是非负数,

即|a|》0.所以|a—4|20,历一8120.而两个非负数之和为0,则两数均为0.

解：因为la—4|20,历一8|20,又|a一4|+/一8|=0,/.|a-4|=0,\h~8\=0

口e山a+b123

即a-4=0,ft-8=0,d=4,b=8.故一r=—=-

ab328

【变式题组】

01.已知|a|=l,〃=2,|c|=3,且〃求〃+力+C

02.（毕节）若加一31+|〃+2|=0,则m+2〃的值为（）

A.-4B.-1C.0D.4

03.己知|a|=8,1=2,且la—b=6—a,求a和/?的值

［例7］（第18届迎春杯）已知（加+〃）'+|m\=m,且|2m一〃-2I=0,求加〃的值.

【解法指导】本例关键是通过分析（帆+，7产十|向的符号，挖掘出〃7的符号特征,从而把

问题转化为（加+〃）2=0,|2加一〃一2|=0,找到解题途径.

解：（机+，7）’20,|20

（/H+H）2+'m.\NO,而（m+n）2+\m\—m

:.〃220,0%+〃）'+%=〃2,即（m+〃）'=0

••tn-\-n—O①

又丁12m—n-21=0

，2m一〃一2=0

224

由①②得n-----mn—

3

【变式题组】

01.已知（a+b）W+5|=b+5且］2a-b-/|=o,求&-B.

02.（第16届迎春杯）己知y=|x-al+|x+191+|x—a—96,，如果19<a<96.aWxW96,

求y的最大值.

演练巩固-反馈提高

3

01.观察下列有规律的数蜉，七/总片…根据其规律可知第9个数是（）

Zo1ZZUoU4Z

1111

56B'72C'90D'HO

02.（芜湖）一6的绝对值是（）

11

6瓦c_D--

A.-666

03.在一万,乃,8.0.3四个数中，有理数的个数为（）

4.1个B.2个C.3个D.4个

04.若一个数的相反数为则这个数是（）

A.a—bB.b-aC.-a+bD.-a-b

05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是（）

A.。和6B.0和一6C.3和一3D.0和3

06.若一。不是负数，则）

4.是正数B.不是负数C.是负数D.不是正数

07.下列结论中，正确的是（）

①若a=b,则㈤=㈤②若a=一4则|a|=b

③若则。=一方④若5=㈤，则a=b

A.①②B.③④C.①④D.②③

08.有理数〃、方在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b,-a,历|的大小关系正确

的是（）

A.b>a>-a>hB.b>h>a>-a,iii.

C.a>ft>b>_aD.a>\b\>~a>bb01o

09.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数

7E___•1，］，I-

10.已知|x+2|+|y+2|=0,则孙=.c0ab

11.4、仄c三个数在数轴上的位置如图，求当+与+碑?+善

Uv«€zv*C-

12.若三个不相等的有理数可以表示为1、a、。+人也可以表示成0、b、《的形式，试求“、

b的值.

13.已知|0|=4,㈤=5,|c|=6,且a>5>c,求a+6—C.

14.具有非负性，也有最小值为0,试讨论：当x为有理数时，/一/|+—3|有没有最

小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.

4

15.点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为,AB.当A、B两

点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,AB\—0B\=—a—b\当

A、8两点都不在原点时有以下三种情况：

①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=OB\-\OA\=\b\-\a\=b-a^\a-b\；

②如图3,点A、8都在原点的左边，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-{-a)=

\a~b\；

③如图4,点A、B在原点的两边，\AB=|OB—OA=|Z>|—|a|=—b—(—a)=

a-b\；

综上，数轴上A、B两点之间的距离A81=|a-b|.

。⑷B_0AB_5.4。BOA_

'E],b~~>&r_*~ba~0~~*~b~~a_>

的102囱30-

回答下列问题：

⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示一2和一5的两点之间的

距离是,,数轴上表示1和一3的两点之间的距离是；

⑵数轴上表示x和一1的两点分别是点A和8,则A、8之间的距离是,

如果|AB|=2,那么X=；

⑶当代数式|x+l|+|x—2]取最小值时，相应的x的取值范围是.

培优升级-奥赛检测

01.(重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为199年的线段，则此线段在这条数轴上最多

能盖住的整数点的个数是()

A.1998B.1999C.2000D.2001

02.(第/8届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数〃、仄c对应的点的位置如图所示，有

下列四个结论:①abcVO;②|a—+|b—<=|a—c|；③(a—b)(b—c)列-a)>0；

®\a<\-bc.其中正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个。.1个

03.如果a、b、c是非零有理数，且a+3+c=0.那么/+£+志+就会的所有可能的

5

值为（）

4.-1B.1或一1C.2或一2D.0或一2

04.已知I"=一，"，化简："?一/1一|，〃一21所得结果（）

A.-1B.1C.2m—3D.3—2〃？

05.如果0Vp<15,那么代数式|x—p：+|x—15|+|x—p—15|在的最小值（）

A.30B.0C.15D.一个与p有关的代数式

06.|x+l|+小一2|+除一3|的最小值为.

07.若a>0,b<0,使|x—〃|+|x一钮=”一b成立的x取值范围.

08.（武汉市选拔赛试题）非零整数m,n满足|加+㈤-5=0所有这样的整数组⑸，n）

共有一组

09.若非零有理数”、〃、P满足普+W+V=L则$%=

10.（19届希望杯试题）试求。一届+|x—2|+|x—3|+…+|x—1997|的最小值.

11.已知(|x+Z|+1x—21)(|y-21+|y+11)(Iz—31+1z+/|)—36,求x+2y+3的最大

值和最小值.

12.电子跳蚤落在数轴上的某点如第一步从A向左跳1个单位得配第二步由k向右跳2

个单位到他，第三步由他向左跳3个单位到禽，第四步由心向右跳4个单位到左…按以

上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点如。新表示的数恰好19.94,试求6所表

示的数.

13.某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1/台、3台，

14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能

使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.

6

第2讲有理数的加减法

考点•方法•破译

i.理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2.准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3.理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4.会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典•考题•赏析

【例1】(河北唐山)某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时

又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为()

A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一

个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对

值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18+(-

1.5)+(0.3)=16.8,故选C.

【变式题组】

01.今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为一6℃,西安市最低气温2℃,

这一天延安市的最低气温比西安低()

A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃

02.(河南)飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为

03.(浙江)珠穆朗玛峰海拔8848孙吐鲁番海拔高度为一155〃?，则它们的平均海拔高度为

【例2】计算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)

【解法指导】应用加法运算简化运算，-83与一17相加可得整百的数，+26与-26

互为相反数，相加为0,有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结

合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.

解：(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(―83)+(-17)]+[CH-

26)+(-26)]+15=(-100)+15=-85

【变式题组】

131

01.(-2.5)+(-3-)+(-1-)+(-1-)

244

02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)

7

03.0.125+31+2

+11-+(-0.25)

43

【例3】计算」c°°,1

+JJH---------------------

1x22x33x42008x2009

【解法指导】依-1—=--一］一进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

n(n+l)nn+\

解：原式=(1—)+(----)+(-----)++(------------)

2233420082009

,1111111

=1----1-------1-------FH----------------------

2233420082009

2008

=1——-

20092009

【变式题组】

01.计算1+(-2)+3+(-4)+…+99+(-100)

02.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为工的长方形,

2

接着把面积为工的长方形等分成两个面积为工的正方形，再把面1

242

积为L的正方形等分成两个面积为1的长方形，如此进行下去，

48J

试利用图形揭示的规律计算8

1

1111111141

-+—+-+-+1------F―-+——■=.32

161

24816326412825664

【例4】如果。<0,b>0,a+b<0,那么下列关系中正确的是()

A.a>h>—h>—aB.a>—a>h>—b

C.b>a>~b>~ciD.~a>b>—b>a

【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大

小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.

解：：a<0,人>0,是异号两数之和

又a+b<0,：.a、b中负数的绝对值较大，

将a、b、—a、-b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是一一6

>a11111-

【变式题组】ab0-b-a

01.若m>0,n<0,且则/"+"0.(填〉、〈号)

02.若ZMVO,n>0,且则"?+〃0.(填>、〈号)

03.己知a<0,b>0,c<0,K|c|>|/?|>|«|,试比较a、b、c>a+b、的大小

8

238

【例5】4---(—33—)—(—1.6)一(~21一)

51111

【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把

减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.

238238

解：4---(—33—)一(-1.6)一(—21—)=4—F33F1.6+21—

5111151111

38

=4.4+1.6+(33—+21—)=6+55=61

1111

【变式题组】

01.(―1)-(+^)-(--­(+1

32632

31

02.4---(+3.85)一(—3—)+(—3.15)

44

219

03.178-87.21-(-43—)+153----12.79

2121

【例6】试看下面一列数：25、23、21、19…

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第〃个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过

观察推理、猜想出第”个数的规律，再用其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7,第〃个数为25—2(〃-1)

(2)：〃=13时，25-2(13-1)=1,〃=14时,25-2(14-1)=-1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,b其和=(25+1)+(23

+3)H---F(15+11)+13=26X6+13=169

9

【变式题组】

01.（杭州）观察下列等式

1--1=1-,2-2-=8-,3-3--2—7,4——4=6乙4…依你发现的规律，解答下列问

225510101717

题.

⑴写出第5个等式；

⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02.观察下列等式的规律

9一1=8,16—4=12,25—9=16,36-16=20

⑴用关于〃的自然数）的等式表示这个规律;

⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

【例7】（第十届希望杯竞赛试题）求!+I212312

-)+(-+-+-)+(-+-+

2344455

341248,49

—I-)++(------1-------1-----\—+——)

5550505050

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1,由此我

们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

1231248

解：设S=—F(一+一)+(—I-----1—)++(-----\——HT

233444505050崇

121321494821

则有S=—+（-+-）+(-+-+-)+…+(—+…

23344450505050

将原式和倒序再相加得

11122「1、123321

25=—I-----F(—I------1-----1—)+(—F—+—I-----1-----1—)+•,*+(-----F

22333344444450

2+"+%竺+竺+―2.1

50505050505050

49x(49+1)

即2s=l+2+3+4H-----F49=-JL乙乙D

2

1225

：.S=-------

2

【变式题组】

01.计算2—22-23-24-25-26-27-28-29+210

11

02.（第8届希望杯试题）计算（1------)(—I----1------F…+

232003234短+

11.1,1

------)(—I-----1------\~•••H---------)

-1420042342003

10

演练巩固,反馈提局

01.加是有理数，则加+；”（）

A.可能是负数B.不可能是负数

C.比是正数D.可能是正数，也可能是负数

=

02.如果|口=3,b|2f那么。+/?|为（）

A.5B.1C.1或5D.±1或±5

03.在1,-1,一2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）

A.1B.0C.—1D.-3

04.两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）

A.两数一定都是正数B.两数都不为0

C.至少有一个为负数D.至少有一个为正数

05.下列等式一定成立的是（）

A.\x\—x=0B.—x~x=0C.|x|+|~x\=0D.|x|—\x\=0

06.一天早晨的气温是一6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,则午夜气温是（）

A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃

07.若〃VO,贝ij|。一（一。）|等于（）

A.~aB.0C.2aD.—2a

08.设x是不等于0的有理数，则氏凶值为（）

2x

A.0或15.0或2C.0或一1D.0或一2

09.（济南）2+（—2）的值为—

10.用含绝对值的式子表示下列各式：

⑴若〃V0,b>0,则6—〃=,a-b=

⑵若则|々一〃=

⑶若a<b<0f则a—b=

11.计算下列各题:

⑴23+(-27)+9+5(2)-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25

⑶一0.5-3,+2.75-7-

(4)33.1-10.7-(-22.9)一|

429

12.计算1-3+5—7+9—11+・・・+97—99

II

13.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收

工时所走的路线（单位：千米）为：

+10,-3,+4,-2,-8,+13,-7,+12,+7,+5

⑴间收工时距离A地多远？

⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？

14.将1997减去它的工，再减去余下的再减去余下的再减去余下的,……以此类

2345

推，直到最后减去余下的」一，最后的得数是多少？

1997

15.独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与

众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如l+L来表示2,用工+」+_£表

31554728

示2等等.现有90个埃及分数：1,1,,―,你能从中挑出10个，

723459091

加上正、负号，使它们的和等于一1吗？

12

培优升级•奥赛检测

1-2+3-4+-14+15

01.（第16届希望杯邀请赛试题）等于（）

-2+4-6+8-+28-30

1111

A.-B.——C.一D.——

4422

11

02.自然数a、6、c、d满足rH--+T2/=1，则

ab~3a+JbcT

A13715

B.—C.D.—

8163264

03.（第17届希望杯邀请赛试题）八b、cd是互不相等的正整数，且〃%d=441,则〃+

6+c+"值是()

A.30B.32C.34D.36

199519951996199619971997nl

04.（第7届希望杯试题）若a-,b=-----------，c=-------------，贝!J〃、b、c

199619961997199719981998

大小关系是（）

A.a<h<cB.b<c<aC.c<h<aD.a<c<h

1

05.T)(l+(1+---------)(1+）的值得整数部分为

(1+T1—x3贵0+七1998x20001999x2001

()

A.1B.2C.3D.4

06.（―2严'+3X（-2产3的值为（)

A.-22003B.22003C.一22mMD.22M4

07.（希望杯邀请赛试题）若则（4%+1）颉"

112123、1259

08.—F(—I—)+(—I-----1—)+…+(------1-------F•••H-----)—

233444606060

1919197676

09.

7676761919

10.1+2—22—2：，—2,1—25—26—27—2s—29+2")=

11.求32MlX72002X13,所得数的末位数字为一

12.已知(“+力尸+4+5|=6+5,且知a—卜一11=0,求血

1

13.计算(-------1)(1)(--——1)…(--——1)(--——1)

19981997199610011000

14.请你从下表归纳出13+23+33+4'+…+〃3的公式并计算出13+23+33+4，+…+10。3的

值.

第3讲有理数的乘除、乘方

考点•方法•破译

i.理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算,

会利用运算律简化乘法运算.

2.掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3.了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.

4.掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的

混合运算.

5.理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混

合运算.

经典・考题•赏析

【例1】计算

(1)1x(—L)(2)1x1(3)(—!-)x(--!-)(4)2500x()

242424

3713

(5)()x()x(1—)x()

5697

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律,

二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.

⑶i(q)=+j鸿

(4)2500x0=0

【变式题组】

01.d)(-5)x(-6)⑵(―⑶(-8)x(3.76)x(-0.125)

24

(4)(-3)x(-l)x2x(-6)x0x(-2)

243.(2x3x4x5)x(l-l-l-l)

02.(-9—)x50

252345

14

04.(—5)x3；+2x3；+(—6)x33

【例2】已知两个有理数b,如果abVO,且a+6V0,那么（）

A.a>0,h<0B.a<0,h>0

C.a.b异号D.a、6异号且负数的绝对值较大

【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故4、人异号，又依加法法则，异号相加

取绝对值较大数的符号，可得出判断.

解：由MV0知力异号，又由a*3V0,可知异号两数之和为负，依加法法则得负

数的绝对值较大，选。.

【变式题组】

01.若a+b+c=O,且bVcVO,则下列各式中，错误的是()

A.a+b>0B.b+c<0C.ah+ac>0D.a+hc>0

02.已知a+b>0,a-b<0,ab<0,贝Ua0,b0,|a|\b\.

03.(山东烟台)如果a+8V0,->0,则下列结论成立的是()

a

A.a>0,h>0B.aVO,h<0C.〃>0,h<0D.〃V0,h

>0

04.（广州）下列命题正确的是（）

A.若ab>0,则a>0,b>0