人教版高中物理举一反三-选择性必修三专题2.2 气体的等温变化（原卷版）

专题2.2气体的等温变化【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1封闭气体压强的确定】 【题型2图像问题】 【题型3一团气的气缸问题】 【题型4两团气的气缸问题】 【题型5一团气的液柱问题】 【题型6两团气的液柱问题】 【题型7抽、充气问题】 【题型8联系实际】 【题型1封闭气体压强的确定】【例1】汽缸的横截面积为S，质量为m的梯形活塞上面是水平的，下面与右侧竖直方向的夹角为α，如图所示，当活塞上放质量为M的重物时处于静止状态。设外部大气压强为p0，若活塞与缸壁之间无摩擦。重力加速度为g，求汽缸中气体的压强。【变式1-1】若已知大气压强为p0，在下图中各装置均处于静止状态，图中液体密度均为ρ，求被封闭气体的压强。【变式1-2】如图所示，汽缸质量是M，活塞质量是m，不计缸内气体的质量，汽缸置于光滑水平面上，当用一水平外力F拉动活塞时，活塞和汽缸能保持相对静止向右加速，求此时缸内气体的压强有多大？(活塞横截面积为S，大气压强为p0，不计一切摩擦)【变式1-3】如图中两个汽缸质量均为M，内部横截面积均为S，两个活塞的质量均为m，左边的汽缸静止在水平面上，右边的活塞和汽缸竖直悬挂在天花板下。两个汽缸内分别封闭有一定质量的空气A、B，大气压强为p0，重力加速度为g，不考虑活塞与汽缸间的摩擦。求封闭气体A、B的压强各多大？【题型2图像问题】【例2】一定质量的理想气体经历两个不同过程，分别由压强-体积（p-V）图上的两条曲线I和II表示，如图所示，曲线均为反比例函数曲线的一部分。a、b为曲线I上的两点，气体在状态a和b的压强分别，温度分别为Ta、Tb。c、d为曲线II上的两点，气体在状态c和d的压强分别，温度分别为Tc、Td。下列关系式正确的是（）A． B． C． D．【变式2-1】(多选)如图所示为一定质量的气体在不同温度下的两条p-eq\f(1,V)图线。由图可知()A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比B．一定质量的气体在发生等温变化时，其p-eq\f(1,V)图线的延长线是经过坐标原点的C．T1>T2D．T1<T2【变式2-2】（多选）如图1所示为某种橡胶材质的气球内外压强差（）和气球直径d之间的关系图像，其简化情形如图2所示，现取两个这种材质的相同的气球，并将气球1预先充气到直径为将气球2预先充气到直径为然后用一容积可忽略不计的细管将两气球连通（如图3所示），已知气球外部的大气压强为，可将气球始终视为是球体，分析计算时按图2进行，且不考虑温度的变化。则下列说法中正确的是（）A．若，d2=12cm，则气球1的最终直径为2cmB．若，，则气球2的最终直径小于12cmC．若，，则气球2的最终直径为18cmD．若，，则气球1和气球2的最终直径相等【变式2-3】如图所示，空的薄金属筒开口向下静止于恒温透明液体中，筒中液面与A点齐平。现缓慢将其压到更深处，筒中液面与B点齐平，不计气体分子间相互作用，且筒内气体无泄漏(液体温度不变)。下列图像中能体现筒内气体从状态A到B变化过程的是（）A． B． C． D．【题型3一团气的气缸问题】【例3】如图，气缸倒挂在天花板上，用光滑的活塞密封一定量的气体，活塞下悬挂一个沙漏，保持温度不变，在沙缓慢漏出的过程中，气体的（）A．压强变大，体积变大 B．压强变大，体积变小C．压强变小，体积变大 D．压强变小，体积变小【变式3-1】质量为m的薄壁导热柱形汽缸，内壁光滑，用横截面积为S的活塞封闭一定量的理想气体。在下述所有过程中，汽缸不漏气且与活塞不脱离。当汽缸如图(a)竖直倒立静置时。缸内气体体积为V1，温度为T1。已知重力加速度大小为g，大气压强为p0。(1)将汽缸如图(b)竖直悬挂，缸内气体温度仍为T1，求此时缸内气体体积V2；(2)如图(c)所示，将汽缸水平放置，稳定后对汽缸缓慢加热，当缸内气体体积为V3时，求此时缸内气体的温度。【变式3-2】图中竖直圆筒固定不动，粗筒横截面积是细筒的4倍，筒足够长，粗筒中A、B两轻质活塞间封有一定量的理想气体，气柱长L＝17cm，活塞A的上方细筒中的水银深h1＝20cm，粗筒中水银深h2＝5cm，两活塞与筒壁间的摩擦不计，用外力向上托住活塞B，使之处于平衡状态。现使活塞B缓慢向下移动，直至水银恰好全部进入粗筒中，设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强P0相当于75cm高水银柱产生的压强。求：(1)此时气柱的长度；(2)活塞B向下移动的距离。【变式3-3】如图所示，两端开口的导热气缸静置在水平地面上，两个厚度不计的活塞用一根长为的细轻杆连接，两个活塞之间封闭着一定质量的理想气体，两活塞可在气缸内无摩擦滑动，两活塞静止时气缸内两部分气柱长度均为。已知小活塞的横截面积为，大活塞的横截面积为，大活塞的质量为，小活塞的质量为，外界大气压强为，环境温度保持不变，现把气缸固定在以加速度向左加速行驶的小车上，求稳定后活塞移动的距离。【题型4两团气的气缸问题】【例4】如图，一汽缸中由活塞封闭有一定量的理想气体，中间的隔板将气体分为A、B两部分；初始时，A、B的体积均为V，压强均等于大气压p0，隔板上装有压力传感器和控制装置，当隔板两边压强差超过0.5p0时隔板就会滑动，否则隔板停止运动。气体温度始终保持不变。向右缓慢推动活塞，使B的体积减小为eq\f(V,2)。(1)求A的体积和B的压强；(2)再使活塞向左缓慢回到初始位置，求此时A的体积和B的压强。【变式4-1】如图所示，圆柱形汽缸放在水平面上，容积为V，圆柱内面积为S的活塞(质量和厚度可忽略不计)将汽缸分成体积比为3∶1的上下两部分，一轻质弹簧上下两端分别固定于活塞和汽缸底部，此时弹簧处于压缩状态，活塞上部气体压强为p0，弹簧弹力大小为eq\f(p0S,4)，活塞处于静止状态。要使活塞移动到汽缸正中间并能保持平衡，可通过打气筒向活塞下部汽缸注入压强为p0的气体(汽缸下部有接口)。已知活塞处于正中间时弹簧恰好恢复原长，外界温度恒定，汽缸和活塞导热性能良好，不计活塞与汽缸间的摩擦，求：(1)初始状态活塞下部气体压强；(2)需要注入的压强为p0的气体的体积。【变式4-2】(多选)如图所示，一竖直放置的汽缸被轻活塞AB和固定隔板CD分成两个气室，CD上安装一单向阀门，单向阀门只能向下开启；气室1内气体压强为2p0，气室2内气体压强为p0，气柱长均为L，活塞面积为S，活塞与汽缸间无摩擦，汽缸导热性能良好。现在活塞上方缓慢放上质量为m的细砂，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．若m＝eq\f(p0S,g)，活塞下移eq\f(L,2)B．若m＝eq\f(p0S,2g)，活塞下移eq\f(2L,3)C．若m＝eq\f(p0S,g)，气室1内气体压强为3p0D．若m＝eq\f(3p0S,g)，气室1内气体压强为3p0【变式4-3】如图甲所示，一竖直导热汽缸静置于水平桌面，用销钉固定的导热活塞将汽缸分隔成A、B两部分，每部分都密闭有一定质量的理想气体，此时A、B两部分气体体积相等，压强之比为2∶3，拔去销钉，稳定后A、B两部分气体体积之比为2∶1，如图乙。已知活塞的质量为M，横截面积为S，重力加速度为g，外界温度保持不变，不计活塞和汽缸间的摩擦，整个过程不漏气，求稳定后B部分气体的压强。【题型5一团气的液柱问题】【例5】如图所示，长为L、横截面积为S、质量为m的筒状小瓶，底朝上漂浮在某液体中。平衡时，瓶内空气柱长为0.21L，瓶内、外液面高度差为0.10L；再在瓶底放上一质量为m的物块，平衡时，瓶底恰好和液面相平。已知重力加速度为g，系统温度不变，瓶壁和瓶底厚度可忽略。求：(1)液体密度ρ；(2)大气压强p0。【变式5-1】一种水下重物打捞方法的工作原理如图所示。将一质量M＝3×103kg、体积V0＝0.5m3的重物捆绑在开口朝下的浮筒上向浮筒内充入一定量的气体，开始时筒内液面到水面的距离h1＝40m，筒内气体体积V1＝1m3，在拉力作用下浮筒缓慢上升。当筒内液面到水面的距离为h2时，拉力减为零，此时气体体积为V2，随后浮筒和重物自动上浮。已知大气压强p0＝1×105Pa，水的密度ρ＝1×103kg/m3，重力加速度的大小g＝10m/s2。不计水温变化，筒内气体质量不变且可视为理想气体，浮筒质量和筒壁厚度可忽略。求V2和h2。【变式5-2】如图所示，下端封闭、上端开口且粗细均匀的玻璃管与水平方向成角倾斜放置，管内用长度为的水银柱封闭了长度为的空气柱，大气压强恒为，将该玻璃管绕其下端缓慢逆时针旋转至竖直，空气柱可看作理想气体且温度不变，则密闭空气柱的长度将变为（）A． B． C． D．【变式5-3】如图甲所示，一根粗细均匀的细玻璃管开口向上竖直放置，管中有一段长度为24cm的水银柱，下端封闭了一段长度为16cm的空气柱。现将该玻璃管在竖直平面内缓慢旋转至开口向下且与水平方向成30°角的位置，如图乙所示，水银未流出，求此时试管内封闭气柱的长度。(设环境温度保持不变，大气压强恒为76cmHg)【题型6两团气的液柱问题】【例6】如图所示，粗细均匀、一端开口的直角玻璃管竖直放置，管内用两段水银柱封闭着A、B两段气体（可看做理想气体），A气柱长度，竖直管中水银柱和水平管左端水银柱长度均为，B气柱长度，水平管右端水银柱长度。现在缓慢地将玻璃管逆时针转过，已知大气压，环境温度保持不变，求稳定后A，B气柱的长度。【变式6-1】如图所示，在两端封闭、粗细均匀的U形细玻璃管内有一段水银柱，水银柱的两端各封闭有一段空气。当U形管两端竖直朝上时，左、右两边空气柱的长度分别为l1＝18.0cm和l2＝12.0cm，左边气体的压强为12.0cmHg。现将U形管缓慢平放在水平桌面上，没有气体从管的一边通过水银逸入另一边。求U形管平放时两边空气柱的长度。在整个过程中，气体温度不变。【变式6-2】如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管的上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为l1＝13.5cm，l2＝32cm。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差h＝5cm。已知外界大气压为p0＝75cmHg。求A、B两管内水银柱的高度差。【变式6-3】一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞。初始时，管内汞柱及空气柱长度如图所示。用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止。求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离。已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0cmHg。环境温度不变。【题型7抽、充气问题】【例7】甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体)。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为eq\f(1,2)p。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后(ⅰ)两罐中气体的压强；(ⅱ)甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。【变式7-1】得益于我们国家经济的高速发展，普通人的住房条件得到不断改善，越来越多的人搬进了漂亮的楼房，但是马桶阻塞却成了一个越来越让人头疼的问题，疏通器是解决此类问题的工具之一。在疏通马桶时，疏通器气体体积需缩小到原来的eq\f(1,4)才能打通堵塞的管道。疏通器如图所示，通过打气筒将气体打入储气室，拨动开关，储气室内气体喷出。若储气室容积为2V，初始时内部气体压强为p0，每次可打入压强为p0、体积为eq\f(V,2)的气体，以上过程温度变化忽略不计，则要能疏通马桶需要向储气室打气几次？【变式7-2】呼吸机在抗击新冠肺炎的战“疫”中发挥了重要的作用。呼吸机的工作原理可以简述为：吸气时会将气体压入患者的肺内，当压力上升到一定值时，呼吸机会停止供气，呼气阀也会相继打开，患者的胸廓和肺就会产生被动性的收缩，进行呼气。若吸气前肺内气体的体积为V0，肺内气体压强为p0(大气压强)。吸入一些压强为p0的气体后肺内气体的体积变为V，压强为p，若空气视为理想气体，整个过程温度保持不变，则吸入气体的体积为()A．V－V0 B．eq\f(pV,p0)C.eq\f(pV－V0,p0) D．eq\f(pV－p0V0,p0)【变式7-3】血压仪由加压气囊、臂带、压强计等构成，如图所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数为臂带内气体的压强高于大气压强的数值。充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为V；每次挤压气囊都能将60cm3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5V，压强计示数为150mmHg。已知大气压强等于750mmHg，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则V等于()A．30cm3B．40cm3C．50cm3 D．60cm3【题型8联系实际】【例8】新冠肺炎疫情发生以来，各医院都特别加强了内部环境消毒工作。如图所示，是某医院消毒喷雾器设备。喷雾器的储液桶与打气筒用软细管相连，已知储液桶容积为10L，打气筒每打次气能向储液桶内压入p0＝1.0×105Pa的空气V0′＝200mL。现往储液桶内装入8L药液后关紧桶盖和喷雾头开关，此时桶内压强为p＝1.0×105Pa，打气过程中储液桶内气体温度与外界温度相同且保持不变，不计储液桶两端连接管以及软细管的容积。(1)若打气使储液桶内消毒液上方的气体压强达到3×105Pa后，求打气筒打气次数至少是多少？(2)当储液桶内消毒液上方的气体压强达到3×105Pa后，打开喷雾器开关K直至储液桶消毒液上方的气压为2×105Pa，求在这过程中储液桶喷出药液的体积是多少？【变式8-1】(多选)如图所示是医院给病人输液的部分装置示意图。在输液过程中，下列说法正确的是()A．A瓶中的药液先用完B．当A瓶中液面下降时，B瓶内液面高度保持不变C．随着液面下降，A瓶内C处气体压强逐渐增大D．随着液面下降，A瓶内C处气体压强保持不变【变式8-2】一种测量稀薄气体压强的仪器如图(a)所示，玻璃泡M的上端和下端分别连通两竖直玻璃细管K1和K2。K1长为l，顶端封闭，K2上端与待测气体连通；M下端经橡皮软管与充有水银的容器R连通。开始测量时，M与K2相通；逐渐提升R，直到K2中水银面与K1顶端等高，此时水银已进入K1，且K1中水银面比顶端低h，如图(b)所示。设测量过程中温度、与K2相通的待测气体的压强均保持不变。已知K1和K2的内径均为d，M的容积为V0，水银的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：(1)待测气体的压强；(2)该仪器能够测量的最大压强。【变式8-3】如图所示，为一种演示气体实验定律的仪器——哈勃瓶，它是一个底部开有圆孔，瓶颈很短的导热平底大烧瓶。瓶内塞有一气球，气球的吹气口反扣在瓶口上，瓶底的圆孔上配有一个橡皮塞。在一次实验中，瓶内由气球和橡皮塞封闭一定质量的气体，封闭气体的压强为，在对气球缓慢吹气过程中，当瓶内气体体积减小时，压强增大，若使瓶内气体体积减小，则其压强为（）A． B． C． D．

参考答案【题型1封闭气体压强的确定】【例1】汽缸的横截面积为S，质量为m的梯形活塞上面是水平的，下面与右侧竖直方向的夹角为α，如图所示，当活塞上放质量为M的重物时处于静止状态。设外部大气压强为p0，若活塞与缸壁之间无摩擦。重力加速度为g，求汽缸中气体的压强。答案p0＋eq\f(（m＋M）g,S)解析对活塞进行受力分析，如图所示，由平衡条件得p气S′＝eq\f(（m＋M）g＋p0S,sinα)又因为S′＝eq\f(S,sinα)所以p气＝eq\f(（m＋M）g＋p0S,S)＝p0＋eq\f(（m＋M）g,S)。【变式1-1】若已知大气压强为p0，在下图中各装置均处于静止状态，图中液体密度均为ρ，求被封闭气体的压强。解析：在题图甲中，以高为h的液柱为研究对象，由平衡条件知pAS＝－ρghS＋p0S，所以p甲＝pA＝p0－ρgh；在题图乙中，以B液面为研究对象，由平衡条件有pAS＋ρghS＝p0S，得p乙＝pA＝p0－ρgh；在题图丙中，仍以B液面为研究对象，有pAS＋ρghsin60°S＝p0S，所以p丙＝pA＝p0－eq\f(\r(3),2)ρgh；在题图丁中，以液面A为研究对象，由平衡条件得pAS＝(p0＋ρgh1)S，所以p丁＝pA＝p0＋ρgh1；在题图戊中，从开口端开始计算：右端为大气压p0，同种液体同一水平面上的压强相同，所以b气柱的压强为pb＝p0＋ρg(h2－h1)，而a气柱的压强为pa＝pb－ρgh3＝p0＋ρg(h2－h1－h3)。答案：甲：p0－ρgh乙：p0－ρgh丙：p0－eq\f(\r(3),2)ρgh丁：p0＋ρgh1戊：pa＝p0＋ρg(h2－h1－h3)pb＝p0＋ρg(h2－h1)【变式1-2】如图所示，汽缸质量是M，活塞质量是m，不计缸内气体的质量，汽缸置于光滑水平面上，当用一水平外力F拉动活塞时，活塞和汽缸能保持相对静止向右加速，求此时缸内气体的压强有多大？(活塞横截面积为S，大气压强为p0，不计一切摩擦)解析：以活塞和汽缸为研究对象，根据牛顿第二定律加速度为：a＝eq\f(F,M＋m) ①以汽缸为研究对象，再根据牛顿第二定律得p0S－pS＝Ma缸内气体的压强p＝p0－eq\f(M,S)a ②由①、②式联立可得：p＝p0－eq\f(FM,M＋mS)。答案：p0－eq\f(FM,M＋mS)【变式1-3】如图中两个汽缸质量均为M，内部横截面积均为S，两个活塞的质量均为m，左边的汽缸静止在水平面上，右边的活塞和汽缸竖直悬挂在天花板下。两个汽缸内分别封闭有一定质量的空气A、B，大气压强为p0，重力加速度为g，不考虑活塞与汽缸间的摩擦。求封闭气体A、B的压强各多大？答案p0＋eq\f(mg,S)p0－eq\f(Mg,S)解析在图甲中选活塞为研究对象，进行受力分析pAS＝p0S＋mg得pA＝p0＋eq\f(mg,S)在图乙中选汽缸为研究对象p0S＝pBS＋MgpB＝p0－eq\f(Mg,S)【题型2图像问题】【例2】一定质量的理想气体经历两个不同过程，分别由压强-体积（p-V）图上的两条曲线I和II表示，如图所示，曲线均为反比例函数曲线的一部分。a、b为曲线I上的两点，气体在状态a和b的压强分别，温度分别为Ta、Tb。c、d为曲线II上的两点，气体在状态c和d的压强分别，温度分别为Tc、Td。下列关系式正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据理想气体的气态方程，及曲线均为反比例函数曲线的一部分，可得曲线I为等温变化，故可得a、b两点的温度相同，A错误；根据理想气体的气态方程，a到c为等压变化，即有B正确；根据理想气体的气态方程，由图像可知又故C错误；根据理想气体的气态方程，由图像可知又，，故，D错误。故选B。【变式2-1】(多选)如图所示为一定质量的气体在不同温度下的两条p-eq\f(1,V)图线。由图可知()A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比B．一定质量的气体在发生等温变化时，其p-eq\f(1,V)图线的延长线是经过坐标原点的C．T1>T2D．T1<T2解析：选BD题图是一定质量的气体在发生等温变化时的p-eq\f(1,V)图线，由题图知p∝eq\f(1,V)，所以p与V应成反比，A错误；由题图可以看出，p-eq\f(1,V)图线的延长线是过坐标原点的，故B正确；根据一定质量的气体同体积下温度越高压强越大，可知C错误，D正确。【变式2-2】（多选）如图1所示为某种橡胶材质的气球内外压强差（）和气球直径d之间的关系图像，其简化情形如图2所示，现取两个这种材质的相同的气球，并将气球1预先充气到直径为将气球2预先充气到直径为然后用一容积可忽略不计的细管将两气球连通（如图3所示），已知气球外部的大气压强为，可将气球始终视为是球体，分析计算时按图2进行，且不考虑温度的变化。则下列说法中正确的是（）A．若，d2=12cm，则气球1的最终直径为2cmB．若，，则气球2的最终直径小于12cmC．若，，则气球2的最终直径为18cmD．若，，则气球1和气球2的最终直径相等【答案】AD【详解】细管将两气球连通后，气体总是从气压大的气球流向气压小的气球；由乙图可知，（体积设为V）、（体积为）时，气球1中的气压大于气球2中的气压，故气体从气球1流向气球2，气球1的半径缩小，气球2的半径增大，设最终两球气压均变为，即气球1的直径减为（体积为），则有解得气球2的体积（气球直径为时的体积），符合题意，故A正确，B错误。由乙图可知，（体积为）、（体积为）时，气球2中的气压大于气球1中的气压，故气体从气球2流向气球1，气球2的半径缩小，气球1的半径增大，设最终两球气压均变为，即气球2的直径减为（体积为），则有解得气球1的体积（气球直径为时的体积），不符合题意，故可知，两气球最终体积相同，故D正确，C错误。故选AD。【变式2-3】如图所示，空的薄金属筒开口向下静止于恒温透明液体中，筒中液面与A点齐平。现缓慢将其压到更深处，筒中液面与B点齐平，不计气体分子间相互作用，且筒内气体无泄漏(液体温度不变)。下列图像中能体现筒内气体从状态A到B变化过程的是（）A． B． C． D．解析：筒内气体发生等温变化，由玻意耳定律可知，气体的压强与体积成反比，金属筒从A下降到B的过程中，气体体积V变小，压强p变大。答案：C【题型3一团气的气缸问题】【例3】如图，气缸倒挂在天花板上，用光滑的活塞密封一定量的气体，活塞下悬挂一个沙漏，保持温度不变，在沙缓慢漏出的过程中，气体的（）A．压强变大，体积变大 B．压强变大，体积变小C．压强变小，体积变大 D．压强变小，体积变小解析：选B,设活塞和沙漏的总质量为m，则对活塞分析可知则当m减小时，p增大；根据玻意耳定律可知，体积减小。答案：B【变式3-1】质量为m的薄壁导热柱形汽缸，内壁光滑，用横截面积为S的活塞封闭一定量的理想气体。在下述所有过程中，汽缸不漏气且与活塞不脱离。当汽缸如图(a)竖直倒立静置时。缸内气体体积为V1，温度为T1。已知重力加速度大小为g，大气压强为p0。(1)将汽缸如图(b)竖直悬挂，缸内气体温度仍为T1，求此时缸内气体体积V2；(2)如图(c)所示，将汽缸水平放置，稳定后对汽缸缓慢加热，当缸内气体体积为V3时，求此时缸内气体的温度。解析：(1)图(a)状态下，对汽缸受力分析，如图1所示，则封闭气体的压强为p1＝p0＋eq\f(mg,S)当汽缸按图(b)方式悬挂时，对汽缸受力分析，如图2所示，则封闭气体的压强为p2＝p0－eq\f(mg,S)对封闭气体由玻意耳定律得p1V1＝p2V2解得V2＝eq\f(p0S＋mg,p0S－mg)V1。(2)当汽缸按图(c)的方式水平放置时，封闭气体的压强为p3＝p0由理想气体状态方程得eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p3V3,T3)解得T3＝eq\f(p0SV3T1,p0S＋mgV1)。答案：(1)eq\f(p0S＋mg,p0S－mg)V1(2)eq\f(p0SV3T1,p0S＋mgV1)【变式3-2】图中竖直圆筒固定不动，粗筒横截面积是细筒的4倍，筒足够长，粗筒中A、B两轻质活塞间封有一定量的理想气体，气柱长L＝17cm，活塞A的上方细筒中的水银深h1＝20cm，粗筒中水银深h2＝5cm，两活塞与筒壁间的摩擦不计，用外力向上托住活塞B，使之处于平衡状态。现使活塞B缓慢向下移动，直至水银恰好全部进入粗筒中，设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强P0相当于75cm高水银柱产生的压强。求：(1)此时气柱的长度；(2)活塞B向下移动的距离。答案(1)20cm(2)8cm解析(1)设气体初态的压强为p1，则有p1＝p0＋h1＋h2设S为粗圆筒的横截面积，气体初态的体积V1＝SL设气体末态的压强为p2，有p2＝p0＋h2＋eq\f(h1,4)设末态气柱的长度为L′，气体体积为V2＝SL′由玻意耳定律得p1V1＝p2V2联立各式代入数据解得L′＝20cm(2)活塞B下移的距离d＝L′－L＋eq\f(h1,4)代入数据解得d＝8cm【变式3-3】如图所示，两端开口的导热气缸静置在水平地面上，两个厚度不计的活塞用一根长为的细轻杆连接，两个活塞之间封闭着一定质量的理想气体，两活塞可在气缸内无摩擦滑动，两活塞静止时气缸内两部分气柱长度均为。已知小活塞的横截面积为，大活塞的横截面积为，大活塞的质量为，小活塞的质量为，外界大气压强为，环境温度保持不变，现把气缸固定在以加速度向左加速行驶的小车上，求稳定后活塞移动的距离。【答案】当时，活塞向右移动的距离为；当时，活塞向右移动的距离为【详解】设封闭气体的初始压强为，以两活塞和轻杆为整体，根据受力平衡可得解得封闭气体的初始体积为把气缸固定在以加速度向左加速行驶的小车上，假设稳定后活塞向右移动的距离为，且大活塞未到气缸横截面积变化处，此时封闭气体的压强为，以两活塞和轻杆为整体，根据牛顿第二定律可得解得封闭气体的体积为由玻意耳定律可得联立解得令可得可知当时，活塞向右移动的距离为；当时，活塞向右移动的距离为。【题型4两团气的气缸问题】【例4】如图，一汽缸中由活塞封闭有一定量的理想气体，中间的隔板将气体分为A、B两部分；初始时，A、B的体积均为V，压强均等于大气压p0，隔板上装有压力传感器和控制装置，当隔板两边压强差超过0.5p0时隔板就会滑动，否则隔板停止运动。气体温度始终保持不变。向右缓慢推动活塞，使B的体积减小为eq\f(V,2)。(1)求A的体积和B的压强；(2)再使活塞向左缓慢回到初始位置，求此时A的体积和B的压强。[解析](1)对B气体分析，发生等温变化，根据玻意耳定律有p0V＝pB·eq\f(1,2)V，解得pB＝2p0，对A气体分析，也发生等温变化，根据玻意耳定律有p0V＝pAVA，pA＝pB＋0.5p0，联立解得VA＝0.4V。(2)再使活塞向左缓慢回到初始位置，假设隔板不动，则A的体积为eq\f(3,2)V，由玻意耳定律可得p0V＝p′×eq\f(3,2)V，则A此情况下的压强为，p′＝eq\f(2,3)p0<pB－0.5p0，则隔板一定会向左运动，设稳定后气体A的体积为VA′、压强为pA′，气体B的体积为VB′、压强为pB′，根据等温变化有p0V＝pA′VA′，p0V＝pB′VB′，VA′＋VB′＝2V，pA′＝pB′－0.5p0，联立解得pB′＝eq\f(3－\r(5),4)p0(舍去)，pB′＝eq\f(3＋\r(5),4)p0，VA′＝(eq\r(5)－1)V。[答案](1)0.4V2p0(2)(eq\r(5)－1)Veq\f(3＋\r(5),4)p0【变式4-1】如图所示，圆柱形汽缸放在水平面上，容积为V，圆柱内面积为S的活塞(质量和厚度可忽略不计)将汽缸分成体积比为3∶1的上下两部分，一轻质弹簧上下两端分别固定于活塞和汽缸底部，此时弹簧处于压缩状态，活塞上部气体压强为p0，弹簧弹力大小为eq\f(p0S,4)，活塞处于静止状态。要使活塞移动到汽缸正中间并能保持平衡，可通过打气筒向活塞下部汽缸注入压强为p0的气体(汽缸下部有接口)。已知活塞处于正中间时弹簧恰好恢复原长，外界温度恒定，汽缸和活塞导热性能良好，不计活塞与汽缸间的摩擦，求：(1)初始状态活塞下部气体压强；(2)需要注入的压强为p0的气体的体积。答案(1)eq\f(3,4)p0(2)eq\f(9,16)V解析(1)对活塞受力分析得p0S＝p1S＋eq\f(p0S,4)解得p1＝eq\f(3,4)p0。(2)设当活塞处于正中间时，上部气体压强为p2，则p0×eq\f(3V,4)＝p2×eq\f(V,2)又弹簧处于原长，则下部气体压强也为p2，则p1×eq\f(V,4)＋p0Vx＝p2×eq\f(V,2)联立解得Vx＝eq\f(9,16)V。【变式4-2】(多选)如图所示，一竖直放置的汽缸被轻活塞AB和固定隔板CD分成两个气室，CD上安装一单向阀门，单向阀门只能向下开启；气室1内气体压强为2p0，气室2内气体压强为p0，气柱长均为L，活塞面积为S，活塞与汽缸间无摩擦，汽缸导热性能良好。现在活塞上方缓慢放上质量为m的细砂，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．若m＝eq\f(p0S,g)，活塞下移eq\f(L,2)B．若m＝eq\f(p0S,2g)，活塞下移eq\f(2L,3)C．若m＝eq\f(p0S,g)，气室1内气体压强为3p0D．若m＝eq\f(3p0S,g)，气室1内气体压强为3p0解析：选AD若m＝eq\f(p0S,g)，对活塞AB有pS＝p0S＋mg，解得p＝2p0。单向阀未打开，所以气室2内的气体质量不变，气室1内气体质量不变，压强也不变。根据玻意耳定律得pxS＝p0LS，解得此时气室2内气柱长度x＝eq\f(L,2)，所以活塞下移eq\f(L,2)，A正确，C错误；若m＝eq\f(p0S,2g)，对活塞AB有p′S＝p0S＋mg，解得p′＝1.5p0，单向阀未打开，所以气室2内的气体质量不变，气室1内气体质量不变，压强也不变，同理根据玻意耳定律得p′x′S＝p0LS，解得x′＝eq\f(2L,3)，所以活塞下移Δx＝L－x′＝eq\f(L,3)，B错误；若m＝eq\f(3p0S,g)，对活塞AB有p″S＝p0S＋mg，解得p″＝4p0，单向阀打开，如果气室2的气体未完全进入气室1，则有p0LS＋2p0LS＝4p0x″S，解得x″＝eq\f(3L,4)，假设不成立，所以气体完全进入气室1，则有p0LS＋2p0LS＝pxLS，解得px＝3p0，D正确。【变式4-3】如图甲所示，一竖直导热汽缸静置于水平桌面，用销钉固定的导热活塞将汽缸分隔成A、B两部分，每部分都密闭有一定质量的理想气体，此时A、B两部分气体体积相等，压强之比为2∶3，拔去销钉，稳定后A、B两部分气体体积之比为2∶1，如图乙。已知活塞的质量为M，横截面积为S，重力加速度为g，外界温度保持不变，不计活塞和汽缸间的摩擦，整个过程不漏气，求稳定后B部分气体的压强。答案eq\f(3Mg,2S)解析设汽缸总容积为V，初始状态eq\f(pA,pB)＝eq\f(2,3)①最终平衡状态pB′＝pA′＋eq\f(Mg,S)②A、B两部分气体做等温变化，由玻意耳定律，得pA·eq\f(V,2)＝pA′·eq\f(2V,3)③pB·eq\f(V,2)＝pB′·eq\f(V,3)④联立解得pB′＝eq\f(3Mg,2S)【题型5一团气的液柱问题】【例5】如图所示，长为L、横截面积为S、质量为m的筒状小瓶，底朝上漂浮在某液体中。平衡时，瓶内空气柱长为0.21L，瓶内、外液面高度差为0.10L；再在瓶底放上一质量为m的物块，平衡时，瓶底恰好和液面相平。已知重力加速度为g，系统温度不变，瓶壁和瓶底厚度可忽略。求：(1)液体密度ρ；(2)大气压强p0。答案(1)eq\f(10m,LS)(2)eq\f(19mg,S)解析(1)初态，瓶内气体压强为p1＝p0＋0.1Lρg瓶处于平衡状态时，有p1S＝p0S＋mg联立解得液体密度ρ＝eq\f(10m,LS)。(2)初态，瓶内气体压强p1＝p0＋eq\f(mg,S)由题意知瓶内气柱长度为L1＝0.21L末态，设瓶内气柱长度为L2，瓶内气体压强为p2瓶内气体压强p2＝p0＋ρgL2瓶和物块整体处于平衡状态，有p2S＝p0S＋2mg联立解得L2＝0.2L瓶内气体做等温变化，由玻意耳定律p1L1S＝p2L2S联立解得p0＝eq\f(19mg,S)。【变式5-1】一种水下重物打捞方法的工作原理如图所示。将一质量M＝3×103kg、体积V0＝0.5m3的重物捆绑在开口朝下的浮筒上向浮筒内充入一定量的气体，开始时筒内液面到水面的距离h1＝40m，筒内气体体积V1＝1m3，在拉力作用下浮筒缓慢上升。当筒内液面到水面的距离为h2时，拉力减为零，此时气体体积为V2，随后浮筒和重物自动上浮。已知大气压强p0＝1×105Pa，水的密度ρ＝1×103kg/m3，重力加速度的大小g＝10m/s2。不计水温变化，筒内气体质量不变且可视为理想气体，浮筒质量和筒壁厚度可忽略。求V2和h2。解析：当F＝0时，由平衡条件得Mg＝ρg(V0＋V2)，代入数据得V2＝2.5m3。设筒内气体初态、末态的压强分别为p1、p2，由题意得p1＝p0＋ρgh1，p2＝p0＋ρgh2，在此过程中筒内气体温度和质量不变，由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，联立解得h2＝10m。答案：2.5m310m【变式5-2】如图所示，下端封闭、上端开口且粗细均匀的玻璃管与水平方向成角倾斜放置，管内用长度为的水银柱封闭了长度为的空气柱，大气压强恒为，将该玻璃管绕其下端缓慢逆时针旋转至竖直，空气柱可看作理想气体且温度不变，则密闭空气柱的长度将变为（）A． B． C． D．答案：C解析：选C，被封闭气体做等温变化，初态末态根据玻意耳定律可得解得故选C。【变式5-3】如图甲所示，一根粗细均匀的细玻璃管开口向上竖直放置，管中有一段长度为24cm的水银柱，下端封闭了一段长度为16cm的空气柱。现将该玻璃管在竖直平面内缓慢旋转至开口向下且与水平方向成30°角的位置，如图乙所示，水银未流出，求此时试管内封闭气柱的长度。(设环境温度保持不变，大气压强恒为76cmHg)答案25cm解析设试管横截面积为S，图乙中封闭气柱的长度为L图甲中封闭气体压强为p1＝(24＋76)cmHg＝100cmHg体积为V1＝16S图乙中封闭气体压强为p2＝(76－12)cmHg＝64cmHg体积为V2＝LS由玻意耳定律p1V1＝p2V2解得L＝25cm【题型6两团气的液柱问题】【例6】如图所示，粗细均匀、一端开口的直角玻璃管竖直放置，管内用两段水银柱封闭着A、B两段气体（可看做理想气体），A气柱长度，竖直管中水银柱和水平管左端水银柱长度均为，B气柱长度，水平管右端水银柱长度。现在缓慢地将玻璃管逆时针转过，已知大气压，环境温度保持不变，求稳定后A，B气柱的长度。【答案】15cm；50cm【详解】设玻璃管的横截面积为S，初态时，B气柱压强将玻璃管逆时针转过后，B气柱压强变为设B气柱长度为，则根据玻意耳定律有得初态时A气柱压强如图所示末态时假设B气柱下方有长度为x的水银未进入水平管中，则A气柱压强变为A气柱长度为根据玻意耳定律有解得（另一负根舍去），故假设成立，A气柱长度为【变式6-1】如图所示，在两端封闭、粗细均匀的U形细玻璃管内有一段水银柱，水银柱的两端各封闭有一段空气。当U形管两端竖直朝上时，左、右两边空气柱的长度分别为l1＝18.0cm和l2＝12.0cm，左边气体的压强为12.0cmHg。现将U形管缓慢平放在水平桌面上，没有气体从管的一边通过水银逸入另一边。求U形管平放时两边空气柱的长度。在整个过程中，气体温度不变。答案22.5cm7.5cm解析设U形管两端竖直朝上时，左、右两边气体的压强分别为p1和p2。U形管水平放置时，两边气体压强相等，设为p，此时原左、右两边气柱长度分别变为l1′和l2′。由力的平衡条件有p1＝p2＋ρg(l1－l2)①式中ρ为水银密度，g为重力加速度大小。由玻意耳定律有p1l1＝pl1′②p2l2＝pl2′③两边气柱长度的变化量大小相等l1′－l1＝l2－l2′④由①②③④式和题给条件得l1′＝22.5cm⑤l2′＝7.5cm。⑥【变式6-2】如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管的上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为l1＝13.5cm，l2＝32cm。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差h＝5cm。已知外界大气压为p0＝75cmHg。求A、B两管内水银柱的高度差。解析：对B管中的气体，水银还未上升产生高度差时，初态压强为p1B＝p0，体积为V1B＝l2S，末态压强为p2B，设水银柱离下端同一水平面的高度为h2，体积为V2B＝(l2－h2)S，由水银柱的平衡条件有p2B＝p0＋ρgh，B管中气体发生等温压缩变化过程，根据玻意耳定律有p1BV1B＝p2BV2B，联立解得h2＝2cm，对A管中的气体，初态压强为p1A＝p0，体积为V1A＝l1S，末态压强为p2A，设水银柱离下端同一水平面的高度为h1，则气体体积为V2A＝(l1－h1)S，由水银柱的平衡条件有p2A＝p0＋ρg(h＋h2－h1)，A管内气体发生等温压缩变化过程，根据玻意耳定律有p1AV1A＝p2AV2A，联立可得2h12－191h1＋189＝0，解得h1＝1cm或h1＝eq\f(189,2)cm>l1(舍去)，则两水银柱的高度差为Δh＝h2－h1＝1cm。答案：1cm【变式6-3】一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞。初始时，管内汞柱及空气柱长度如图所示。用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止。求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离。已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0cmHg。环境温度不变。解析：设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为l2。活塞被下推h后，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；左管中空气柱的压强为p2′，长度为l2′。以cmHg为压强单位。由题给条件得p1＝p0＋(20.0－5.00)cmHg①l1′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20.0－\f(20.0－5.00,2)))cm②由玻意耳定律得p1l1＝p1′l1′③联立①②③式和题给条件得p1′＝144cmHg④依题意p2′＝p1′⑤l2′＝4.00cm＋eq\f(20.0－5.00,2)cm－h⑥由玻意耳定律得p2l2＝p2′l2′⑦联立④⑤⑥⑦式和题给条件得h＝9.42cm。⑧答案：144cmHg9.42cm【题型7抽、充气问题】【例7】甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体)。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为eq\f(1,2)p。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后(ⅰ)两罐中气体的压强；(ⅱ)甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。答案(ⅰ)eq\f(2,3)p(ⅱ)eq\f(2,3)解析(ⅰ)假设乙罐中的气体被压缩到压强为p，其体积变为V1，由玻意耳定律有eq\f(1,2)p(2V)＝pV1①现两罐气体压强均为p，总体积为(V＋V1)。设调配后两罐中气体的压强为p′，由玻意耳定律有p(V＋V1)＝p′(V＋2V)②联立①②式可得p′＝eq\f(2,3)p③(ⅱ)若调配后甲罐中的气体再被压缩到原来的压强p时，体积为V2，由玻意耳定律有p′V＝pV2④设调配后甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比为k，k＝eq\f(V2,V)⑤联立③④⑤式可得k＝eq\f(2,3)⑥【变式7-1】得益于我们国家经济的高速发展，普通人的住房条件得到不断改善，越来越多的人搬进了漂亮的楼房，但是马桶阻塞却成了一个越来越让人头疼的问题，疏通器是解决此类问题的工具之一。在疏通马桶时，疏通器气体体积需缩小到原来的eq\f(1,4)才能打通堵塞的管道。疏通器如图所示，通过打气筒将气体打入储气室，拨动开关，储气室内气体喷出。若储气室容积为2V，初始时内部气体压强为p0，每次可打入压强为p0、体积为eq\f(V,2)的气体，以上过程温度变化忽略不计，则要能疏通马桶需要向储气室打气几次？[解析]设疏通器内气体初始状态参量分别为p1、T1、V1，气体压缩后状态参量分别为p2、T2、V2，由题意知T1＝T2，p1＝p0，V1＝2V，V2＝eq\f(V,2)，由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，可得p2＝4p0，设打气筒需要向储气室打气n次，打气前气体状态参量分别为p3、T3、V3，打气后气体状态参量分别为p4、T4、V4，由题意知T3＝T4，p3＝p0，V3＝2V＋neq\f(V,2)，p4＝p2＝4p0，V4＝2V，由玻意耳定律得p3V3＝p4V4，解得n＝12。[答案]12【变式7-2】呼吸机在抗击新冠肺炎的战“疫”中发挥了重要的作用。呼吸机的工作原理可以简述为：吸气时会将气体压入患者的肺内，当压力上升到一定值时，呼吸机会停止供气，呼气阀也会相继打开，患者的胸廓和肺就会产生被动性的收缩，进行呼气。若吸气前肺内气体的体积为V0，肺内气体压强为p0(大气压强)。吸入一些压强为p0的气体后肺内气体的体积变为V，压强为p，若空气视为理想气体，整个过程温度保持不变，则吸入气体的体积为()A．V－V0 B．eq\f(pV,p0)C.eq\f(pV－V0,p0) D．eq\f(pV－p0V0,p0)解析：选D设压入的气体体积为V1，气体做等温变化，则pV＝p0V0＋p0V1，解得V1＝eq\f(pV－p0V0,p0)，故D正确，A、B、C错误。【变式7-3】血压仪由加压气囊、臂带、压强计等构成，如图所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数为臂带内气体的压强高于大气压强的数值。充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为V；每次挤压气囊都能将60cm3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5V，压强计示数为150mmHg。已知大气压强等于750mmHg，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则V等于()A．30cm3B．40cm3C．50cm3