初中数学“手拉手”模型-共顶点的等腰三角形压轴题三种题型及答案

目录1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADEBAE在同一直线BD交AC于MCE交AD于NMN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．1(2023春·山西运城·八年级统考期中)C为线段AB上一点，△DAC△ECB都是等边三角形，AEDC交于点MDBEC交于点NDBAE交于点PMN个．①MN∥AB∠DPM=60°∠DAP=∠PEC△ACM≌△DCN∠DBE=30°∠AEB=90°．12(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点AE重合)AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDEAD与BE交于点OAD与BC交于点PBE与CD交于点QPQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形DE叠放在一起(C与)重合的图形．(1)将△DE绕点C按顺时针方向旋转30°ADBE．如图22BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△DEC按顺时针方向任意旋转一个角度αADBE3图3中段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)αADα为多少度时，线段AD4(2023春·广东梅州·七年级校考期末(1)如图1ΔABCD为边BC上一动点(点D不与点BC重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADECE．求证：ΔABD≌ΔACE；(2)如图2D在边BCD①AB与CE的位置关系为：；②线段ECACCD之间的数量关系为：；(3)如图3ΔABC中，AB=3P是边AC上一定点且AP=1D为射线BCDP2为边向右侧作等边ΔDPECEBE．请问：PE+BE1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．(11E在BCD在ACBE与AD的数量关系是．(2△DCE绕点C旋转到如图2ADBE(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3△DCE绕点CAC=5CE=22AED三点在同一直线上时AE的长是．1(2023·全国·九年级专题练习)ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°E在边AB上，ED与AC交于点FAD．3(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．2(2023春·八年级课时练习)(1)1△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°AEBD的数量关系为AEBD所在直线的位置关系为；(2)(1)AED在同一直线上，CM为△DCE中DE∠ADB的度数及线段CMADBD3(2023·山东枣庄·统考二模)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°B在线段ADC在线段AEBD=CE(1)△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)BD和CEBD=CE是否依然成(2)△ADE绕点AD落在BCCE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32CD=3DE的长是多少？41(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BCCD=CE∠ACB=∠DCE=42°ADBE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以ABAC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACECDBE．(1)如图1∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD△ACE的形状是②求证：BE=DC．；(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2AB=ADAC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3AB=DBAC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2(2023秋·全国·八年级专题练习)△ABC和△CDEAC=BCCD=CE∠ACB与∠DCE5(1)如图1△ABC和△CDEAD与BE(2)如图2△ABC和△CDE上的点BCD∠ACE=90°∠EMD=°．(3)如图3△ABC和△CDE90°ADBE的中点QP，连接CPCQPQ△PCQ是等腰直角三角形．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1△ABC和△ADE中，AB=ACAD=AE∠BAC=∠DAEBDCE．则△ADB≌BD和线段CE的数量关系式；(2)如图2△ABC和△ADE中，AB=ACAD=AE∠BAC=∠DAE=90°BDCEPBD和线段CE(3)如图3△ABC的两边ABAC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACEBECD，两线交于点P．请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．6目录1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADEBAE在同一直线BD交AC于MCE交AD于NMN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(1)AB=ACAD=AE∠BAC=∠DAE∠BAD=∠CAE△ABD≌△ACE(SAS)以BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE∠ABM=∠CANBAE∠CAN=60°=∠BAC1求证△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由△ABM≌△ACNAM=AN∠CAN=60°△AMN是等边三角形．(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=ACAD=AE∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．AB=AC在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点BAE∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．∠BAM=∠CAN在△ABM和△ACN中，AB=AC∠ABM=∠ACN∴△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．本题主要考查等边三角形的性质和判定1(2023春·山西运城·八年级统考期中)C为线段AB上一点，△DAC△ECB都是等边三角形，AEDC交于点MDBEC交于点NDBAE交于点PMN个．①MN∥AB∠DPM=60°∠DAP=∠PEC△ACM≌△DCN∠DBE=30°∠AEB=90°．根据等边三角形的性质得到AC=CDBC=CE∠ACD=∠BCE=60°∠ACE=∠BCE，∠DCE=60°AD∥CE∠DAP=∠PEC③正确；根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB∠DPM=∠ACM=60°②正△ACM≌△DCN④CM=CN△CMN是等边三角形，求得∠CMN=60°MN∥AB①∠AEB=90°．故⑤正确．2∵△DAC△ECB都是等边三角形，∴AC=CDBC=CE∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ADC=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD∠DCE=60°，∴AD∥CE，∴∠DAP=∠PECAC=CD在△ACE与△BCD中，∠ACE=∠BCD，CE=CB∴△ACE≌△BCDSAS，∴∠CAE=∠CDB，∵∠PMD=∠AMC，∴∠DPM=∠ACM=60°∠CAM=∠CDN在△ACM与△DCN中，AC=CD，∠ACM=∠DCN=60°∴△ACM≌△DCN∴CM=CN，∴△CMN是等边三角形，∴∠CMN=60°，∴∠CMN=∠ACD，∴MN∥AB∵∠DBE=30°∠BPE=∠APD=60°，∴∠AEB=90°．故⑤正确；判定和性质是解题的关键．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点AE重合)AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDEAD与BE交于点OAD与BC交于点PBE与CD交于点QPQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；(1)见解析；(2)见解析．(1)由等边三角形的性质可知AC=BCCD=CE∠ACB=∠DCE=60°∠ACD=∠BCE证明△ADC≌△BECAD=BE；3(2)由等边三角形的性质可知∠ACB=∠DCE=60°AC=BC∠ACP=∠BCQ=60°．再根据△ADC≌△BEC可得出∠CAP=∠CBQ用证明△APC≌△BQC(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BCCD=CE∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，AC=BC∴∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD=BE；(2)证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°AC=BC，∴∠BCQ=180°-∠ACP-∠ECD=60°，∴∠ACP=∠BCQ=60°．∵△ADC≌△BEC∴∠CAP=∠CBQ．∠CAP=∠CBQ∴AC=BC∠ACP=∠BCQ∴△APC≌△BQCASA．∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°，∴△CPQ为等边三角形．关键．3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形DE叠放在一起(C与)重合的图形．(1)将△DE绕点C按顺时针方向旋转30°ADBE．如图22BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△DEC按顺时针方向任意旋转一个角度αADBE3图3中段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)αADα为多少度时，线段AD(1)BE=AD4(2)BE=AD(3)当α为180ADa+bα为0度或360AD小值为a-b．(1)先由等边三角形判断出AC=BCCE=CD∠BCE=∠ACD△BCE≌△ACD(2)同(1)(3)当点D在AC的延长线上时，ADa+bD在线段AC上时，ADa-b(1)解：BE=AD证明：∵点C与C重合，△ABC和△CDE，11∴△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BCCE=CD，由旋转知，∠BCE=∠ACD=30°，BC=AC在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD，CE=CD∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，(2)解：BE=AD，证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BCCE=CD，由旋转知，∠BCE=∠ACD，BC=AC在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD，CE=CD∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD；(3)D在AC的延长线上时，ADAC+CD=a+b∴当α为180ADa+b，当点D在线段AC上时，ADAC-CD=a-b5∴当α为0度或360ADa-b．△BCE≌△ACD是解本题的关键．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末(1)如图1ΔABCD为边BC上一动点(点D不与点BC重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADECE．求证：ΔABD≌ΔACE；(2)如图2D在边BCD①AB与CE的位置关系为：；②线段ECACCD之间的数量关系为：；(3)如图3ΔABC中，AB=3P是边AC上一定点且AP=1D为射线BCDP为边向右侧作等边ΔDPECEBE．请问：PE+BE(1)见解析(2)平行EC=AC+CD(3)有最小值，5(1)由ΔABC和ΔADEAB=ACAD=AE∠BAC=∠DAE=60°∠BAC=∠DAE∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∠BAD=∠CAE证明ΔABD≌ΔACE；(2)①由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)∠B=∠ACE=60°CE=BD∠BAC=∠ACEAB∥CE；②因为CE=BDAC=BCCE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)在BC上取一点MDM=PCEMΔEPC≌ΔEDM(SAS)EC=EM∠CEM=60°ΔCEM∠ECD=60°E在∠ACDCD上截取=CPE与点C重合时，BE+PE=BE+E≥=5(1)证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=ACAD=AE，6∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAEAB=AC在ΔABD和ΔACE中，∠BAD=∠CAE，AD=AE∴ΔABD≌ΔACE(SAS)；(2)平行，EC=AC+CD由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，∴∠B=∠ACE=60°CE=BD，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∵CE=BDAC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)BC上取一点MDM=PC接EM，∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED∠DEP=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形内角和为180°∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°-180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，PE=ED在ΔEPC和ΔEDM中，∠EPC=∠EDM，PC=DMΔEPC≌ΔEDM(SAS)，∴EC=EM∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=180°-60°-60°=60°，即点E在∠ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取=CP，PC=C在ΔCEP和Δ中，∠PCE=∠CE=60°CE=CE，ΔCEP≌Δ(SAS)，∴PE=E，7则BE+PE=BE+E由三角形三边关系可知，BE+E≥，，即当点E与点C重合，BE+E=时，∵=BE+=BC+CP=3+2=5，∴BE+PE=BE+E≥=5，∴BE+PE最小值为5．PE+BE有最小值，相关图形的性质定理是解题的关键．1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．(11E在BCD在ACBE与AD的数量关系是．(2△DCE绕点C旋转到如图2ADBE(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3△DCE绕点CAC=5CE=22AED三点在同一直线上时AE的长是．(1)BE=ADBE⊥AD(2)(3)21+2或21-2(1)利用等腰直角三角形的性质得出AC=BCEC=DCBE=AD∠ACB=90°(2)先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD△BCE≌△ACDSASBE=AD∠CAD=∠CBEAC与BE交于MAD与BE交于N∠MAN+∠AMN=90°812(3)分两种情况，①当点E在线段AD3C作CM⊥AD于MCM=EM=DE=2AM12②当点D在线段AE4C作CN⊥AE于NCM=EM=DE=2求出根据勾股定理得，AN(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC=BCEC=DC，∴AC-DC=BC-EC，∴BE=AD，点E在BCD在AC∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故：BE=ADBE⊥AD；(2)成立；如图2AC与BE交于MAD与BE交于N，由题意可知：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠CE，∴∠BCE=∠ACD，BC=AC在△BCE与△ACD中：∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≌△ACDSAS，∴BE=AD∠CAD=∠CBE，又∵∠ACB=90°∠BMC=∠AMN，在△ANM中，∴∠MAN+∠AMN=∠CBE+∠BMC=90°，∴∠ANM=90°，∴BE⊥AD，所以结论成立；(3)①当点E在线段AD3C作CM⊥AD于M，∵△DCECE=22，∴DE=CE+CD2=4，∵CM⊥AD，12∴CM=EM=DE=2，在Rt△ACM中，AC=5，∴AM=AC-CM2=5-22=21，∴AE=AM-EM=21-2；②当点D在线段AE4C作CN⊥AE于N，∵△DCECE=22，∴DE=CE+CD2=4，∵CN⊥AD，912∴CN=NE=DE=2，在Rt△ACN中，AC=5，∴AN=AC-CN2=5-22=21，∴AE=AN+NE=21+2，综上，AE的长为21-2或21+2，故答案为:21-2或21+2．1(2023·全国·九年级专题练习)ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°E在边AB上，ED与AC交于点FAD．(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．(1)见解析(2)见解析(1)根据∠BCA=∠DCE=90°∠BCE=∠ACDBC=AC,CE=CD△BCE≌△ACD(2)根据△BCE≌△ACD得∠B=∠CAD∠CAD+∠CAE=90°(1)证明：∵∠BCA=∠DCE=90°，∴∠BCE+∠ECA=∠ECA+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∴BC=AC,CE=CD，BC=AC在△BCE和△ACD中，∠BCE=∠ACD，CE=CD∴△BCE≌△ACDSAS；(2)证明：∵△BCE≌△ACD，∴∠B=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAE=90°，∴∠CAD+∠CAE=90°，即∠DAE=90°，∴AB⊥AD．102(2023春·八年级课时练习)(1)1△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°AEBD的数量关系为AEBD所在直线的位置关系为；(2)(1)AED在同一直线上，CM为△DCE中DE∠ADB的度数及线段CMADBD(1)AE=BDAE⊥BD(2)∠ADB=90°AD=2CM+BD(1)延长AE交BD于点HAH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCDSAS(2)由△ACE≌△BCD(1)如图1AE交BD于点HAH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BCCD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⏊BD．故答案为：AE=BDAE⏊BD．(2)∠ADB=90°AD=2CM+BD；2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由(1)可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DM=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．三角形解决问题．3(2023·山东枣庄·统考二模)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE11=90°B在线段ADC在线段AEBD=CE(1)△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)BD和CEBD=CE是否依然成(2)△ADE绕点AD落在BCCE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32CD=3DE的长是多少？(1)BD=CE(2)①45°②310(1)只需要利用SAS证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE；(2)①由等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°△ABD≌△ACE即可得到∠ABD=∠ACE=45°②先由勾股定理得到BC=6∠ACE=∠ABD=45°BD=CE，则∠BCE=90°CE=9DE=CE+CD2=310．(1)解：BD=CE∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=ACAD=AE，由旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS，∴BD=CE；(2)解∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC∠BAD=CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，∴∠ABD=∠ACE=45°；②∵AB=AC=32，∴BC=AB+AC2=6，∵△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD=45°BD=CE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°CE=BD=BC+CD=6+3=9；∴DE=CE+CD2=9+32=310．性质与判定条件是解题的关键．121(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BCCD=CE∠ACB=∠DCE=42°ADBE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．(1)见解析(2)42°(1)可证△ACD≌△BCEBE=AD；(2)根据全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE∠AMB．(1)∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，CA=CB在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠BAC+∠ABC=180°-42°=138°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAC-∠CAD+∠ABC+∠CBE=∠BAC+∠ABC=138°，∴∠AMB=180°-138°=42°．1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以ABAC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACECDBE．13(1)如图1∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD△ACE的形状是②求证：BE=DC．；(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2AB=ADAC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3AB=DBAC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①②(1)①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB=ADAE=AC∠DAB=∠CAE=60°△BAE≌△DAC(2)①证明△BAE≌△DAC②根据已知可得△BAE与△DAC不全(1)①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD△ACE是等边三角形，②证明：∵△ABD△ACE是等边三角形，∴AB=ADAE=AC∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE与△DAC中，AB=AD∵∠BAE=∠DAC，AE=AC∴△BAE≌△DACSAS．∴BE=DC．(2)①当AB=ADAE=AC∵AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，∴△BAE≌△DACSAS，∴BE=DC；②当AB=DBAC=EC∵∠BAD=∠CAE≠60°，∴AB=DB≠ADAC=EC≠AE，∴△BAE与△DAC不全等，∴BE≠DC．14等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023秋·全国·八年级专题练习)△ABC和△CDEAC=BCCD=CE∠ACB与∠DCE(1)如图1△ABC和△CDEAD与BE(2)如图2△ABC和△CDE上的点BCD∠ACE=90°∠EMD=°．(3)如图3△ABC和△CDE90°ADBE的中点QP，连接CPCQPQ△PCQ是等腰直角三角形．(1)AD=BE(2)45(3)详见解析(1)的定义可证∠ACD=∠BCESAS证明△ACD≌△BCE即可；(2)的定义和∠ACE=90°可求出∠DCE=ACB=45°(1)可知△ACD≌△BCE∠ADC=∠BEC子三角形即可求出∠EMD的度数；(3)由(1)可知△ACD≌△BCE得∠CAQ=∠CBPBE=AD．根据SAS证明△ACQ≌△BCPCQ=CP∠ACQ=∠BCP(1)AD=BE．△ABC和△CDE所以∠ACB=∠DCE∠ACD=∠BCE．AC=BC,在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,CD=CE,所以△ACD≌△BCESAS．所以AD=BE．(2)∵△ABC和△CDE∴∠ACB=∠DCE．∵∠ACE=90°，∴∠DCE=ACB=45°．由(1)可知△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵∠MOE=∠COD，∴∠EMD=∠DCE=45°．15故答案为：45；(3)由(1)可知△ACD≌△BCE，所以∠CAQ=∠CBPBE=AD．因为ADBE的中点分别为QP，所以AQ=BP．CA=CB,在△ACQ和△BCP中，∠CAQ=∠CBP,AQ=BP,所以△ACQ≌△BCP